7.3.1复数的三角表示式（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word版含解析）

2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第七章 复数
3810532765知识储备
知识储备
7.3.1复数的三角表示式
1.一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为 r=（cosfalse+icosfalse）的形式
其中，r是复数z的模；false是以x轴的非负半轴为始，向量false所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cosfalse+isinfalse)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。
2.规定：在0≤false<2π范围内的辐角false的值为辐角的主值．通常记作
argz,即0≤argz<2π.
3π
例如，false,falsefalse,false=π,false=false
3.记向量的模false=false=r,可以得到，false
所以，false=rcosfalse=r（cosfalse+sinfalse），
其中 r=false，
cosfalse=false，
sinfalse=false.
这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角false表示复数z.
-1524029845例题分析
例题分析
例1.欧拉公式 eix=cosx+isinx （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发 xi 现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， eπ6i 表示的复数在复平面中位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
【解析】 ∵ eix=cosx+isinx ,
∴ ?当 x=π6 时, eπ6i=cosπ6+isinπ6=32+12i ,
∴ eπ6i 表示的复数对应的点为 (32,12) 在第一象限.
故选:A.
例2.已知复数 z=(m2?8m+15)+(m2?9m+18)i 在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，
（1）z为实数？z为纯虚数？
（2）A位于第三象限？
【解析】 （1）解：复数 z=(m2?8m+15)+(m2?9m+18)i
当m2﹣9m+18＝0，解得 m＝3或m＝6，故当 m＝3或m＝6时，z为实数．
当 {m2?8m+15=0m2?9m+18≠0 ，解得m＝5，故当m＝5时，z为纯虚数；
（2）解：当 {m2?8m+15<0m2?9m+18<0 ???即 {3-5715125095课堂小练
课堂小练
1.已知复数 z 满足 iz=?2+i ，则在复平面内复数 z 表示的点位于（??? ）．
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
2.已知复数 z=3+4i ， z 表示复数z的共轭复数，则复数 iz 的模是（??? ）
A.?5??????????????????????????????????????????B.?25??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?6
3.欧拉公式为 eix=cosx+isinx ,( i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， eπ3i 表示的复数位于复平面中的（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
4.欧拉公式 eix=cosx+isinx （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， m=f(x)x=g(x) 表示的复数在复平面中位于(??? )
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
5.已知i是虚数单位，复数z满足 z(3+4i)=1+i ，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（?? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 D
【解析】设 z=a+bi （a，b ∈R ），其共轭复数为： z=a?bi ，
由条件可得： i(a?bi)=?2+i 即 b+ai=?2+i ，所以 a=1 ， b=?2 ，
所以 z=1?2i ，在复平面内对应的点的坐标为 (1,?2) ，位于第四象限.
故答案为：D.

【分析】首先根据题意求出复数的共轭复数，再由复数的运算性质整理i(a?bi)=?2+i结合复数相等的定义即可求出a、b的值，由此得到复数的代数式再由复数的几何意义即可得出点的位置。
2.【答案】 C
【解析】 ∵z=3?4i? ，
?∴iz=i(3?4i)=4+3i ，
所以 |iz|=42+32=5 ，
故答案为：C．
【分析】首先根据题中所给的复数，求出 z=3?4i? ，应用复数乘法运算求得 iz=i(3?4i)=4+3i ，利用复数模的公式求得结果.
3.【答案】 A
【解析】根据题意 eix=cosx+isinx ，故 eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i ，表示的复数在第一象限.
故选： A .
【分析】计算 eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i ，得到答案.
4.【答案】 B
【解析】因为欧拉公式 eix=cosx+isinx(i 为虚数单位），
所以 e3i=cos3+isin3 ，因为 3∈(π2 ， π) ， cos3<0 ， sin3>0 ，
所以 m=f(x)x=g(x) 表示的复数在复平面中位于第二象限．
故答案为：B．
【分析】利用欧拉公式 eix=cosx+isinx ，化简 m=f(x)x=g(x) 的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．
5.【答案】 A
【解析】复数z满足 z(3+4i)=1+i ，∴ z(3+4i)(3?4i)=(1+i)(3?4i) ，
∴ 25z=7?i ，∴ z=725?125i ．
∴ z=725+125i ．
则复平面内表示z的共轭复数的点 (725,125) 在第一象限．
故答案为：A．