6.2.2平面向量的乘除法运算（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word版含解析）

2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第六章 平面向量及其应用
3810532765知识储备
知识储备
6.2.23810532765知识储备
知识储备
平面向量的乘除法运算
1.向量的数乘：我们规定实数false与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作ha,它的长度与方向规定如下:
(1)|falsea|=|false||a|;
(2)当false>0时,入a的方向与a的方向相同;当false<0时,falsea的方向与a的方向相反
由(1)可知，当λ=0时,falsea=0.
2.向量数乘的运算律：根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设false，false为实数，那么falsefalse
falsefalse
falsefalse
特别的，我们有
false
false
3.向量a的单位向量：给定一一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量，叫作a的单位向量，如果a的单位向量记作false,由向量数乘的定义可?知,a=|a|false或false=false
4.向量共线（平行）的定理:向量a（a≠0）当且仅当由唯一一个实数false，使b=falsea
5.向量的现行运算：向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量false，false以任意实数false，false，false，恒有
false
-1524029845例题分析
例题分析
例1.设 e1 ， e2 是空间两个不共线的向量，已知 AB=e1+ke2 ， BC=5e1+4e2 ， DC=?e1?2e2 ，且 A ， B ， D 三点共线，实数 k= ________．
【解析】解：∵A，B，D三点共线，
∴向量 AB 和 BD 共线，故存在实数 λ ，使 AB=λBD ，
由题意可得 BD=BC+CD=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6(e1+e2) ，
即 e1+ke2=6λe1+6λe2 ，
故可得 {6λ=16λ=k ，解得 {λ=16k=1 ，
故 k=1 .
故答案为：1.

例2.如图，在 △ABC 中， BD=13BC ，点 E 在线段 AD 上移动(不含端点)，若 AE=λAB+μAC ，则 λμ= ________， λ2?μ 的最小值是________.
【解析】由题可知， BD→=13BC→ ，设 AE=mAD(0则 AE=m(AB+13BC) =m[AB+13(BA+AC)] ，
所以 AE→=23mAB→+13mAC→ ，
而 AE→=λAB→+μAC→ ，
可得： λ=23m,μ=13m ，所以 λμ=23m13m=2 ，
λ2?μ=49m2?13m=49(m?38)2?116 ，
所以当 m=38 时， λ2?μ 取得最小值 ?116 。
故答案为：①2；② ?116 。
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.设 e1,e2 是两个不共线的向量，且 a=e1+λe2 与 b=?13e2?e1 共线，则实数λ＝（??? ）
A.?－1????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.??13????????????????????????????????????????D.?13
2.已知平面内两个不共线向量 i ， j ，且 a=ki+3j,b=2i+(k?1)j ，若向量 a 与 b 共线，则k=（? ?）
A.?3或-2??????????????????????????????????B.?1或-6??????????????????????????????????C.?-3或2??????????????????????????????????D.?-1或6
3.如图，在正方形 ABCD 中， N 是线段 CD 上的一动点， BN 交 AC 于点 E ，若 CN=λCD ， AE=μAC ，则 μ(λ+1)= （??? ）
A.?13??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?43??????????????????????????????????????????D.?2
4.如图，已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB,AC ， M,N 分别是对边 OB,AC 的中点，点 G 在线段 MN 上， MG=2GN ，现用基向量 OA,OB,OC 表示向量 OG ，设 OG=xOA+yOB+zOC ，则 x,y,z 的值分别是（????????? ）
A.?x=13，y=13，z=13??????????????????????????????????????????B.?x=13，y=13，z=16
C.?x=13，y=16，z=13??????????????????????????????????????????D.?x=16，y=13，z=13
5.设 O 为 △ABC 所在平面内一点，满足 2OA+7OB+3OC=0 ，则 △ABC 的面积与 △BOC 的面积的比值为（? ?）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?83??????????????????????????????????????????C.?127??????????????????????????????????????????D.?4
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 D
【解析】由 a,b 共线，知： a=kb ， k 为实数，
∴ e1+λe2=?k3e2?ke1 ，即 k=?1,λ=13 ，
故答案为：D。
2.【答案】 A
【解析】解： ∵ 向量 a 与 b 共线， ∴? 实数 λ ，使得 a=λb ，
∴ki+3j=λ[2i+(k?1)j] ，化为 (k?2λ)i+(3?λk+λ)j=0 .
∵ i ， j 是同一平面内两个不共线的向量，
∴ {k?2λ=03?λk+λ=0 ，解得 {λ=32k=3 ，或 {λ=?1k=?2 .
故答案为：A.
3.【答案】 B
【解析】取向量 BA ， BC 作为一组基底，则有 BE=BA+AE=BA+μAC=BA+μ(BC?BA) =(1?μ)BA+μBC ， BN=BC+CN=BC+λBA .因为向量 BN 与 BE 共线，所以 1?μ=μλ ，即 μ(λ+1)=1 ，
故答案为：B.

4.【答案】 D
【解析】 ∵OG=OM+MG=12OA+23MN=12OA+23(MA+AN)=12OA+23×12OA+23AN =56OA+23(AB+BN)=56OA+23AB+23×12BC =56OA+23(OB?OA)+13(OC?OB)=16OA+13OB+13OC
∴x=16 ， y=13 ， z=13
故答案为：D
5.【答案】 A
【解析】作 OA′=2OA ， OB′=7OB ， OC′=3OC ，如图，
∵ 2OA+7OB+3OC=0 ，∴ O 是 △A'B'C' 的重心，则 S△OA'B'=S△OB'C'=S△OC'A' ，设 S△OA'B'=S△OB'C'=S△OC'A'=t ，
设 S△OAB=x,S△OAC=y,S△OBC=z ，
∵ OA′=2OA ， OB′=7OB ， OC′=3OC ，
∴ S△OA'B'S△OAB=12OA'?OB'sin∠A'OB'12OA?OBsin∠AOB=14 ，即 x=114t ，同理 y=16t ， z=121t ，
S△ABC=x+y+z=114t+16t+121t=621t ，
∴ S△ABCS△OBC=621t121t=6 ．
故答案为：A．