4 3 2等比数列的前n项和课件（20张PPT）-2020-2021学年高二数学人教A版选择性必修第二册

(共20张PPT)
4.3.2等比数列的前n项和
复习
等差数列
等比数列
定义
an
-
an-1=d
公差
d
可以是0
q不可以是0
等差中项
2A=a+b
G2=ab
通项公式
an=a1+(n－1)d
=an=am+(n－m)d
an=a1qn-1
=amqn-m
性质(若m+n=p+q=2k)
ap
+
aq
=
as
+
at=
2ak
ap
aq
=
as
at=
引入
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上一颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒......以此类推，每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒已实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千克麦粒的质量约为40克，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言。
让让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，他的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，如何求Sn？所得结果如何？
解：
Sn＝a1＋a2＋
a3＋…＋an-1＋an……①
qSn＝a1q＋a2q＋
a3q＋…＋an-1q＋an
q
①－②
得
错位相减法
qSn＝
a2＋
a3＋…＋an-1＋an＋an
q……②
qSn＝
a2＋
a3＋…＋an-1＋an＋an
q
探究
思考：当q＝1时，如何求Sn？
当公比q≠1时，结合等比数列通项公式，Sn可变形为什么？
探究
等比数列的前n项和公式：
新知
注意：(1)运用公式时，注意公比是否为1
练习
解决问题
让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，他的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍。因此国王不可能实现他的诺言
(1)等比数列
的前7项和为______.
(2)等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是________.
(3)等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝8，则S5＝______.
211
248
练习
n个
判断下列计算是否正确
练习
例7、已知数列{an}是等比数列
例题
解：（1）由题意知,
由
得
例题
解:（3）由题意知
由
得
例题
在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝
，求a4和S5；
练习
在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝
，求a4和S5；
练习
例题
我们知道，等差数列有这样的性质：
那么，在等比数列中，是否也有类似的性质？
探究
例题
例9
已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，证明
Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比
证明：当q=1时，Sn=na1，S2n-Sn=2na1-na1=na1,
S3n-S2n=3na1-2na1=na1,
所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为1
当q≠1时，
所以
所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn
解：
260
练习
小结
1.等比数列的前n项和公式：
2.等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，则
Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn
作业
P37
课本
练习
1、5