4 2 1等差数列的概念(第二课时) 课件（共18张PPT）-2020-2021学年高二数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念
(第二课时)
复习
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an - an-1=d(n≥2,n∈N*)
3.推到等差数列通项公式的方法：迭代法、累加法
4.由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。即
2.首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72
（2）38,40,42,44,46,48.
（3）25,24,23,22,21.
(1)an=9n
(2)an=2n+36
(3)an=－n+26
思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
探究
新知
由于an=a1+(n－1)d=dn+(a1-d)，
所以d≠0时，等差数列的an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)，当x=n时的函数值，即an=f(n)。
如图
公差d≠0的等差数列{an}的图像是
点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布
在直线f(x)=dx+(a1-d)上
反之
任给一次函数f(x)=kx+b(k、b为常数)
则f(1)=k+b，f(2)=2k+b，...，f(n)=nk+b
,...构成一个等差数列{nk+b}，首项为
(k+b),公差为k
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1,a1)
(2,a2)
(3,a3)
(4,a4)
(5,a5)
(6,a6)
(7,a7)
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
P15课本练习3 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}a1
a3
a5
a7
d
－7
8
2
－6.5
15
－11
－24
a5=a3+2d=a3+(5－3)d=2+2×(－6.5)=-11
a7=a3+4d=a3+(7－3)d=2+4×(－6.5)=-24
a1=a3+(-2)d=a3+(1－3)d=2+(-2)×(－6.5)=15
归纳：
an=a1+(n－1)d
=am+(n－m)d
练习
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an - an-1=d(n≥2,n∈N*)
2.首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为
an=a1+(n－1)d=an=am+(n－m)d
新知
已知等差数列的任意两项可求公差
P15课本练习4 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列
解：设等差数列{an}的首项为a1与公差为d
由题意可知a1=7，a5=21
∴
则a2=7+3.5=10.5
a3=7+2×3.5=14
a4=7+3×3.5=17.5
故在7和21中插入的3个数分别为10.5，14，17.5
∴a5=a1+4d=21 解得d=3.5
练习
例4.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
分析：a1，a2，a3，a4，a5，...
a1，？ ， ？ ，？ ， a2，？ ，？ ，？ ，a3，...
b1，b2 ， b3 ，b4 ， b5，b6 , b7 , b8 , b9 ,...
例题
例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
解：(1)设数列{bn}的公差为d′.
由题意可知，b1=a1,b5=a2,
于是b5-b1=a2-a1=8.
∵b5-b1=4d′,所以4d′ =8,所以d′ =2.
∴bn＝2+(n-1)×2=2n
∴数列{bn}的通项公式是bn＝2n.
例题
例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
分析：(2)①先求b29=？
②再求an
③令an＝?，解出n
解：(2)由(1)可得b29=2×29=58
因为a1=2，d=8 所以an=8n-6
令8n-6=58 解得n=8
所以b29是数列{an}项，是第8项
例题
例4.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
a1，？ ， ？ ，？ ， a2，？ ，？ ，？ ，a3，...
b1，b2 ， b3 ，b4 ， b5，b6 , b7 , b8 , b9 ,...
a1，a2，a3，a4，a5，...，an ,...
b1，b5，b9 , ...， ....
b13 ,
b17 ,
b4n-3 ,
解：(2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13....项，
这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列{cn}
则cn =4n-3.
令4n-3=29,解得n=8.
所以，b29是数列{an}的第8项.
例题
已知等差数列{an}的通项公式为an=4n－3
则
(1)a1+a9= = a2+a8= =a3+a7= = 2a5= .
(2)a3+a15= = a5+a13= =a8+a10= = 2a9= .
34
34
34
17
34
66
66
66
33
66
猜想：等差数列{an}，p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k,
则ap + aq = as + at= 2ak
探究
分析：只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利用已知条件即可得证。
证明：设数列{an}的公差为d,
则ap =a1+(p-1)d, aq =a1+(q-1)d,
as =a1+(s-1)d, at =a1+(t-1)d.
所以ap + aq =2a1+(p+q-2)d,
as + at =2a1+(s+t-2)d.
因为p+q=s+t,所以ap + aq = as + at.
例5：已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t,∈N*,且p+q=s+t,则ap + aq = as + at
例题
18
练习：已知数列{an}是等差数列，
(1)若a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.
(2)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20= ；
(3)a3+a11=10，则a6+a7+a8= ；
10
15
练习
18
练习：已知数列{an}是等差数列，
(4)若a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5＝________.
(5)若a15=8，a60=20，则a75＝________.
解：(4)法一：根据等差数列性质，可得a4＋a10＝2a7
a4＋a7＋a10＝30＝3a7 即a7 =10
∴a3－2a5＝a3－(a3+a7)=－a7=－10
法二：根据题意，有(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝30，
∴3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝30 即a1＋6d =10
∴a3－2a5＝a1＋3d－2(a1＋4d)=－a1－6d=－(a1＋6d)=－10
练习
18
练习：已知数列{an}是等差数列，
(4)若a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5＝________.
(5)若a15=8，a60=20，则a75＝________.
练习
小结
1.当d≠0时，等差数列的an=a1+(n－1)d=dn+(a1-d)是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)，当x=n时的函数值，即an=f(n)。
2.首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为
an=a1+(n－1)d=an=am+(n－m)d
作业
P17课本练习 1、3、5