3 1函数的单调性（第一课时）课件（共35张PPT）——2021-2022学年高一上学期数学北师大版必修第一册

3.1函数的单调性
第一课时
教学目标
01
02
会划分函数的单调区间，判断单调性
03
会用定义证明函数的单调性．
理解函数单调区间、单调性等概念．
1.理解函数单调区间、单调性等概念
2.会划分函数的单调区间，判断单调性
重点
难点
会用定义证明函数的单调性
环节一
创设情境
图2：2018-2023年中国数控机床行业市场规模预测
图1：2009-2017年我国数控机床销售收入
如图为某市2021年1月某天24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：
环节二
增减性概念
01
自然语言
单调性
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义
函数图像自左至右呈 上升 或 下降 趋势的性质
增 函 数
减 函 数
x
y
0
x
y
0
02
图形语言
单调性
03
符号语言
单调性
方案1 在区间上取两个自变量????????，????????，只要????????????????????，证明是减函数.
?
03
符号语言
单调性
方案2 在区间上取无数个自变量只要验证，????越大，函数值越大，证明是增函数；????越大，函数值越小，证明是减函数.
?
03
符号语言
单调性
方案3 区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，则为减函数；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
条件
结论
定义
增函数
设函数f(x)的定义域为I，定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1f(x)在区间D上是
增函数
减函数
当x1f(x2)
f(x)在区间D上是
减函数
增函数与减函数的定义
(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；
(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1(3)同属一个单调区间．
x1，x2的三个特征解读
思考
1.定义中的“任意x1，x2∈D”能否改成“存在x1，x2∈D”？
不能
思考
2.函数y＝????????在(－∞，0)上和(0，＋∞)上都是减函数，能否说它在整个定义域上是减函数？
?
正确的写法是
减区间是?∞,
注意
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 ????∪????上是增（或减）函数．但有时候也可以。
?
函数的图像如下图所示，能否说：
函数在 ?
环节三
判断增减性
图像法
角度一
利用图像，可以直接观察出函数的增减变化情况
例1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)
A．y＝－????????　　　　　　 B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝1－x
?
D　函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.
初中常见函数的图像
一次
二次
反比例
高中常见函数的图像
指数
对数
三角函数
定义法
角度二
例2.定义法证明一次函数单调性
定义域为R，
任取????????,?????????∈????,设????????????????????????????????????=?????????????+?????(?????????????+????) = ?????????????+??????????????????????? =k?????????????????
因为????????所以当k>0时，k????????????????? 当k<0时，k?????????????????>????,即?????????????所以当k>0时，?????????在R上是增函数，
当k<0时， ?????????在R上是减函数
?
定义域
任取值
作差变形
判断符号
得出结论
定义法
角度二
判断并证明函数f(x)＝?????????+1在(0，＋∞)上的单调性
?
[解]　函数f(x)＝－????????＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2) ＝?????????????+
环节四
求增减区间
图像法
角度一
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
10
8
6
4
2
-2
0
θ/?C
t/h
y＝f(x)，x∈[0，24]
函数在区间[4,14]上单调递增；
在区间[0,4]和[14，24]上单调递减.
例3
图像法
角度一
例4.函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　)
A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1] D．[－3，4]
图像法
角度一
例5.画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
[解]　y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x<0，
函数的大致图象如图所示，
单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为(－1，0)，(1，＋∞).
【说明】也可以用【翻转法】快速做图（详见2.2.2函数表示法第二课时）
例6.求函数f（x）＝－（x－3）????的单调区间．
?
分析
这种含绝对值的二次函数，只有用【分段函数法】画图，这在《2.2.2函数表示法第二课时》中介绍过。
[解]　f＝?????2+3????,????≥0????2?3????,????<0
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为，递减区间为，.
?
定义法
角度二
例7.求函数f(x)＝????
图像法和定义法对比
在求区间方面
1.图像法直观，定义法严谨；
2.使用定义法前，也可以用图像法，得到增减区间，再用定义法严格证明。当然，在小题中，能用图像法，就没必要再用定义法。所以，与其说定义法求区间，不如说是验证你前期的猜想。
3.如果图像画不出来，定义也不想使用，怎么办？将来会学导数法
课堂小结
1．核心要点
1.单调性和单调区间概念；
2.求区间、判断单调性、用定义证明
2．数学素养
1．通过单调区间、单调性等概念的学习，培养抽象概括素养．
2．通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养．
谢谢观看