5.1.1利用函数性质判断方程解的存在性 第一课时 课件-2021-2022学年上学期高一数学北师大版（2019）必修第一册（40张PPT）

第一课时
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性
北师大（2019）必修1
看看这一节我们要学什么
1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系.
2.掌握函数零点存在定理.
3.能结合图象求解零点问题.
环节一
引入零点概念
判 断方程实根情况
判断下列方程是否有实数解，有几个实数解？
?
?
(3)????2?????+6=0
?
1个
2个
0个
难以判断
方程的解与函数图像的关系
求方程的实数解,画出相应函数图象的简图，并求出图象和x轴交点,指出方程的实数解与相应函数图象有什么联系?
方程
?
根
?
函数
?
0
x
y
3
-2
与x轴交点
( -2 , 0 ) , ( 3 , 0 )
图像
环节二
零点定义
零点的定义
既然“方程的实数解”与“函数图象和x轴交点的横坐标”关系如此紧密，那么我们有必要将“函数图象和x轴交点的横坐标”起一个新的名字，这就是函数的“零点”
我们把函数y=f(x)的图象与横轴的交点的横坐标
称为这个函数y=f(x)的零点。
零点的理解
1.函数的零点是点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点,因此函数的零点不是点,是方程f(x)=0的解,即函数的零点是一个实数.
零点的理解
2. 方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系．
零点的理解
3.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),思考是否所有的函数都有零点?并说明理由.
不一定.因为函数的零点就是方程的根,并不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.
如:指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点,对数函数有唯一一个零点.
环节三
求函数零点
求零点
例1. 函数f(x)＝(x－1 )(x2－4)的零点( )
(A) (1,0), (－2,0), (2,0) (B) 1, 2
(C) (0,1), (0,－ 2), (0,3) (D) 1, － 2, 2
D
零点不是点
求零点
?
0
无零点
图像验证
x
0
y
与横轴交于原点，所以零点是0
求零点
?
0
无零点
图像验证
x
0
y
与横轴没有交点，所以零点不存在
求零点的方法
方程法
解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
缺点
有许多方程无法解
图像法
画出函数y=f(x)的图象, 其图象与x轴
交点的横坐标是函数y=f(x)的零点
缺点
① y=f(x)的图像可能无法画；②只能判断零点个数和大致位置，要知道零点准确值还得靠计算。
图像法的变通
原理
变通
函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.
转化成两个函数图象的交点问题,两个函数图象有几个交点,就说明有几个零点.
图像法的变通
例3.判断函数f(x)=ex+x-2零点个数
方程法
令f(x)=ex+x-2=0，因方程无法解，所以无法判断；
f(x)=ex+x-2是超越函数，由指数函数与一次函数组成，无法作图；
图像法
图像变通法
?
图像法的变通
例3.判断函数f(x)=ex+x-2零点个数
x
0
y
1
?
?
?
?
第二次总结求零点的方法
方程法
解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
图像法
?
环节四
零点存在定理
零点存在定理
如果方程无法解+图像变通不变通都无法画，有没有办法判断在某个区间内，函数有没有零点？
设疑
零点存在定理
现在有两组镜头（如图），哪一组能说明小马的行程一定渡河?
第1组
第2组
y=f(x)
y
0
( a,f(a) )
( b,f(b) )
( b,f(b) )
将小河抽象成 轴，在 轴上取一点O为坐标原点，如图建立直角坐标系，将小马的两个位置抽象
为 两点， 两点对应的横坐标分别为 ， 。
f(a)·f(b)<0
当A、B与x轴怎样的位置关系时， AB间一段连续不断的函数图象与x轴一定有交点？此时A、B两点的纵坐标有何关系？如何用数学符号(式子)来表示?
零点存在定理
零点存在定理
2.观察二次函数f(x)＝x2－x－6的图象：
在区间[-3，0]上, f(-3)__ 0, f(0)___ 0 ，
f(-3)·f(0)___0(填“＜”或“＞”)
在区间(-3，0)上____(有/无)零点；
在区间[1，4]上, f(1)__ 0, f(4)___ 0
f(1)·f(4)____0（填“＜”或“＞”）．
在区间(1，4)上____ (有/无)零点；
3
4
-1
6
x
y
O
-2
-6
2
1
-3
<
有
<
＞
<
<
＞
有
零点存在定理
函数f(x)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)< 0 ，那么函数f(x)在区间(a,b)上是否一定存在零点，请举例说明。
区间内图像不连续
零点存在定理
函数f(x)在区间(a,b)上一定存在零点的条件
(1)函数 f(x) 图象在区间[a,b]上是连续不断的
(2)满足f(a)·f(b)< 0
零点存在定理
零点存在定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即 f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
零点存在定理的理解
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)< 0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?
定理不能确定零点的个数
d
e
零点存在定理的理解
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？
不满足定理条件时依然可能有零点
a
b
无零点
有零点
零点存在定理的理解
3.若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
定理反之不成立
?
零点存在定理应用
例4.判断方程lnx+2x－6=0在区间(1,3)是否有实数解?并指出在 (0,+∞)内有几个实数解.
分析
首先，方程无法解，排除了【解方程法】
其次，可以【拆开画图】，但只能判断有没有交点，至于说在不在指定的区间内，不清楚。这就需要【零点存在定理】
零点存在定理应用
例4.判断方程lnx+2x－6=0在区间(1,3)是否有实数解?并指出在 (0,+∞)内有几个实数解.
整体作图
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
分拆作图
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
f(1)= － 4, f(3)=ln3由f(1)<0, f(3)>0即f(1)·f(3)<0，
函数f(x)= lnx+2x－6的图象[1,3]在连续不断的，说明这个函数在区间(1,3)内有零点,即方程在(1,3)内有实数解
第三次总结求零点的方法
方程法
解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
图像法
?
零点存在定理
先画出图像（整体画或分拆画），再用定理验证
零点存在定理应用
例4.判断方程lnx+2x－6=0在区间(1,3)是否有实数解?并指出在 (0,+∞)内有几个实数解.
f(1)= － 4, f(3)=ln3由f(1)<0, f(3)>0即f(1)·f(3)<0，函数f(x)= lnx+2x－6的图象[1,3]在连续不断的，说明这个函数在区间(1,3)内有零点,即方程在(1,3)内有实数解
不作图，能不能用定理判断？
解决：有没有？
解决：有几个？
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点，这个零点所在的大致区间是（1，3）
第四次总结求零点的方法
方程法
解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
图像法
?
零点存在定理
先画出图像（整体画或分拆画），再用定理验证。也可以不画图，但要结合单调性。
零点存在定理加强版
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。
零点存在定理加强版
?
学生练习
?
环节五
小结
小结
一个关系：
函数
方程
零点
实数解
数 值
存在性
个 数
两种思想：
三种题型：
函数零点与方程实数解的关系
函数方程思想；数形结合思想．
求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间．
★ 函数零点方程根，
形数本是同根生。
函数零点端点判，
图象连续不能忘。