【优选作业本】 卷01 21.1 一元二次方程（含解析）

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第二十一章
一元二次方程方程
21.1
一元二次方程
基础夯实练
01
一元二次方程的定义
1.下列方程一定是一元二次方程的是(
)
A.x2+＝0
B.ax2+bx+c＝0
C.(x－1)(x+2)＝1
D.3x2－2xy－5y2＝0
2.已知关于x的方程(m+1)x2+2mx－3＝0是一元二次方程,则m的取值范围是(
)
A.m≠－1
B.m≠1
C.m>－1
D.任意实数
3.(易错题)若方程(n－3)x|n|－1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程,则n＝________。
02
一元二次方程的一般形式
4.[教材P3例题改编]把方程5(x+2)＝3(x2－x)化成一元二次方程的一般形式,其中正确的是(
)
A.5x+10＝3x2+3x
B.3x2－8x－10＝0
C.5x+10＝3x2－3x
D.3x2+8x+10＝0
5.将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为(
)
A.4,5
B.4,－5
C.4,81
D.4x2,－5x
6.(易错题)若一元二次方程(m+2)x2+2x+m2－4＝0的常数项为0,则m＝________
03
一元二次方程的根
7.[教材P4习题21.1第3题改编]方程3x2+x－2＝0的解是(
)
A.x＝－1
B.x＝1
C.x＝－2
D.x＝2
8.已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+a2－1＝0有一个根为x＝0,则a的值为(
)
A.0
B.±1
C.1
D.－1
9.已知a是方程2x2＝x+4的一个根,则代数式4a2－2a的值是________
04
根据实际问题列一元二次方程
10.如图,把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2,设剪去小正方形的边长为xcm,则可列方程为(
)
(第10题图)
A.(30－2x)(40－x)＝600
B.(30－x)(40－x)＝600
C.(30－x)(40－2x)＝600
D.(30－2x)(40－2x)＝600
11.国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为(
)
A.5000(1+2x)＝7500
B.5000
×2(1+x)＝7500
C.5000(1+x)2＝7500
D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2＝7500
12.有x支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场,共比赛了45场根据题意可列出方程:________________
能力提升练
13.若关于x的一元二次方程(x+2)2＝m(2x+1)中不含x的一次项,则m的值是(
)
A.2
B.－2
C.4
D.－4
14.若关于x的一元二次方程ax2+bx－1＝0有一个根为x＝2019,则关于x的一元二次方程a(x－1)2+b(x－1)＝1必有一个根为(
)
A.x＝
B.x＝2020
C.x＝2019
D.x＝2018
15.已知关于x的方程(m2－9)x2+(m+3)x－5＝0.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程？求出此时方程的解
(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程？写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项
16.已知m是方程x2－x－2＝0的一个实数根,求代数式(m2－m)·
eq
\b
\bc\((
m－+1)
的值
17.(原创题)已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm,第三边的长是a
cm(a为整数),且a满足方程2a2－9a－5＝0,请判断该三角形的形状,并说明理由
培优压轴练
18.(新定义题)定义:如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)满足a+b+c＝0,那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)满足a－b+c＝0,那么我们称这个方程为“美好”方程.如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程,那么mn的值为(
)
A.2
B.0
C.－2
D.3
19.(核心素养·与一元二次方程有关的材料阅读题)
请阅读下列材料:
【问题】已知方程x2+x－1＝0,请写出一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍
【解】设所求方程的根为y,则y＝2x,所以x＝
把x＝代入已知方程,得
eq
\b
\bc\(()
eq
\s\up7(2)
+－1＝0.
化简,得y2+2y－4＝0.
故所求方程为y2+2y－4＝0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式)
(1)已知方程x2+x－2＝0,请写出一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数
(2)已知方程2x2－7x+3＝0,请写出一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
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《参考答案及解析》
第二十一章
一元二次方程
21.1
一元二次方程
1.C
[解析]A.原方程为分式方程,所以该选项不符合题意；B.当a＝0时,该方程不是一元二次方程,所以该选项不符合题意；C.由原方程,得x2+x－3＝0,符合一元二次方程的定义所以该选项符合题意；D.方程3x2－2xy－5y2＝0中含有两个未知数所以该选项不符合题意.故选C.
2.A
[解析]关于x的方程(m+1)x2+2mx－3＝0是一元二次方程,∴m+1≠0,即m≠－1.故选A
3.－3
[解析]方程(n－3)x|n|－1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程,∴－1＝2,且n－3≠0,∴n＝－3.
【易错总结】忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件。一元二次方程不仅要求未知数的最高次数是2,还要求二次项的系数不等于0.此题易忽略n－3≠0这个隐含条件,从而得到错误的答案n＝±3.
4.B
[解析]去括号,得5x+10＝3x2－3x.移项、合并同类项,得3x2－8x－10＝0.故选B.
5.B
[解析]将方程4x2+81＝5x整理,得4x2－5x+81＝0,则二次项系数和一次项系数分别为4,－5.故选B.
6.2
[解析]由题意,得m2－4＝0,解得m＝±2.又因为m+2≠0,所以m≠－2.故m＝2.
【易错总结】误认为一元二次方程的常数项为0,只是满足常数项为0这一个条件而出错
一元二次方程的常数项为0包含两个条件:第一个条件是常数项为0；第二个条件是二次项系数不为0
7.A
[解析]A.把x＝－1代入,左边＝3－1－＝0＝右边,即x＝－1是原方程的解,该选项符合题意；B.把x＝1代入左边＝3+1－2＝2≠右边,即x＝1不是原方程的解,该选项不符合题意；C.把x＝－2代入,左边＝3×4－2－2＝8≠右边,即x＝－2不是原方程的解,该选项不符合题意；D.把x＝2代入,左边＝3×4+2－2＝12≠右边,即x＝2不是原方程的解,该选项不符合题意.故选A.
8.D
[解析]∵关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+a2－1＝0有一个根为x＝0,∴a2－1＝0.又∵a－1≠0,∴a＝－1.故选D.
9.8
[解析]∵a是方程2x2＝x+4的一个根,∴2a2－a＝4,∴4a2－2a＝2(2a2－a)＝2×4＝8.
10.D
[解析]因为剪去小正方形的边长是xcm,所以无盖纸盒底面的长为(40－2x)cm,宽为(30－2x)cm.根据矩形的面积公式及无盖纸盒的底面积是600cm2,即可得出一元二次方程(30－2x)(40－2x)＝600.故选D.
11.c
12.x(x－1)＝45
[解析]因为有x支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场,所以比赛场数共为x(x－1).又因为共比赛了45场,所以列方程为x(x－1)＝45.
13.A
解整理已知方程,可得x2+(4－2m)x+4－m＝0.因为关于x的一元二次方程(x+2)2＝m(2x+1)中不含x的一次项,所以4－2m＝0,解得m＝2.故选A.
14.B
[解析]设t＝x－1,所以a(x－1)2+b(x－1)＝1即为at2+bt－1＝0.因为关于x的一元二次方程ax2+bx－1＝0有一个根为x＝2019,所以at2+bt－1＝0有一个根为t＝2019,则x－1＝2019,解得x＝2020所以关于x的一元二次方程a(x－1)2+b(x－1)＝1必有一个根为x＝2020.故选B.
15.解
(1)根据一元一次方程的定义可知,m2－9＝0,m+3≠0,解得m＝3.故当m＝3时,此方程是一元一次方程.此时方程为6x－5＝0,解得x＝
(2)根据一元二次方程的定义可知,m2－9≠0,解得m≠±3.故当m≠±3时,此方程是一元二次方程.所以该一元二次方程的二次项系数为m2－9,一次项系数为m+3,常数项为－5.
16.解：m是方程x2－x－2＝0的一个实数根,∴m2－m－2＝0,∴m2－m＝2,m2－2＝m
∴(m2－m)(m－+1)＝2×
eq
\b
\bc\((+1)
＝2×(+1)＝2×(1+1)＝2×2＝4
【方法解读】整体代入法
整体代入法是代数式求值的常用方法之一,在求值过程中,有时不需要将具体某个未知数的值代入,而是直接将某一个整体的值代入所求代数式中,即可求出代数式的值
17.解：
该三角形是直角三角形.理由如下:根据三角形的三边关系可得1当a＝2时,2a2－9a－5＝2×22－9×2－5＝8－18－5＝－15≠0,所以a＝2不满足方程2a2－9a－5＝0.同理可知,当a＝3,4,6时均不满足方程2a2－9a－5＝0,当a＝5时,满足方程2a2－9a－5＝0,即三角形的第三条边的长为5cm因为32+42＝52,所以该三角形是直角三角形。
18.B
[解析]根据题意,得“和谐”方程的一个根为1,“美好”方程的一个根为－1,所以一元二次方程2x2+mx+n＝0的根分别为1和－1,所以,解得.所以mn＝0.故选B
19.解：
(1)y2－y－2＝0
(2)设所求方程的根为y,则y＝,所以x＝,把x＝代入已知方程,得2×
eq
\b
\bc\(()
eq
\s\up7(2)
－7×+3＝0,化简,得3y2－7y+2＝0。故所求方程为3y2－7y+2＝0
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