【优选作业本】卷02 21.2.1 解一元二次方程【配方法】（含解析）

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第二十一章
一元二次方程方程
21.2
解一元二次方程
21.2.1
配方法(共二课时)
课时1
直接开平方法
基础夯实练
01
解形如x2＝p(p≥0)的方程
1.(易错题)一元二次方程4x2＝36的解是
(
)
A.x＝3
B.x＝－3
C.x＝±9
D.x1＝3,x2＝－3
2.(原创题)若关于x的一元二次方程x2+3＝a有实数根,则a的值可以为________(写出一个即可)
02
解形如(mx+n)2＝p(p≥0)的方程
3.关于x的方程(x+m)2＝n能用直接开平方法求解的条件是
(
)
A.m≥0,n≥0
B.m≥0,n≤0
C.m为任意数,n≥0
D.m为任意数,n>0
4.一元二次方程(x+6)2＝10可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6＝,则另一个一
元一次方程是________________。
5.[教材P6练习改编]解下列方程:
(1)x2－9＝0；
(2)(x－3)2＝7；
(3)4(x－2)2－3＝0.
能力提升练
6.关于x的方程(ax+b)2＝c,下列叙述正确的是
(
)
A.不论c为何值,方程均有实数根
B.方程的根是x＝
C.当c>0时,方程可化为ax+b＝或ax+b＝－
D.当c＝0时,x＝
7.若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m－1和2m+4,则的值为
(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
8.解方程(2x－1)2＝(3－x)2的结果为________________
9.已知关于x的方程a(x+m)2+b＝0(a,b,m均为常数,且a≠0)的根是x＝3或x＝7,则关于x的方程a(3x+m－1)2+b＝0的根是________________。
10.(新定义运算题)在实数范围内定义运算“?”,其法则为a?b＝a2－b2,求方程(4?3)?x＝24的解
11.解关于x的方程:x2－1＝1－ax2(a≠－1).
课时2
配方法
基础夯实练
01
二次三项式的配方
1.下列二次三项式是完全平方式的是
(
)
A.x2－8x－16
B.x2+8x+16
C.x2－4x－16
D.x2+4x+16
2.(原创题)已知x2－16x+a＝(x－b)2,则a－b＝________。
3.若x2+2(m－3)x+16是关于x的完全平方式,则m＝________。
02
用配方法解一元二次方程
4.(易错题)一元二次方程y2－y－配方后可化为
(
)
A.
eq
\b
\bc\((
y+)
eq
\s\up7(2)
＝1
B.
eq
\b
\bc\((
y－)
eq
\s\up7(2)
＝1
C.
eq
\b
\bc\((
y+)
eq
\s\up7(2)
＝
D.
eq
\b
\bc\((
y－)
＝
5.下列用配方法解方程x－x－2＝0的4个步骤,出现错误的是
(
)
A.①
B.②
C.③
D.④
6.用配方法解下列方程时,配方有错误的是
(
)
A.将x2+8x+9＝0化为(x+4)2＝25
B.将x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
C.将2t2－7t－4化为
eq
\b
\bc\((
t－)
eq
\s\up7(2)
D.将3x2－4x－2＝0化为(x－)2＝
7.用配方法解方程x+x－＝0时,该方程可配方为[(x+1)2+k]＝0,则k＝________
8.如果方程x2+4x+n＝0可以配方成(x+m)2＝3,那么(n－m)2020＝________
9.[教材P9练习第2题改编]用配方法解下列一元二次方程:
(1)x2+10x+16＝0；
(2)x2+4＝3x；
(3)x(x+3)＝7x+21
(4)6x2－x－3＝9.
能力提升练
10.已知一元二次方程x2+2mx+3＝0配方后为(x+n)2＝22,那么一元二次方程x2－2nx－3＝0配方后为
(
)
A.(x+5)2＝28
B.(x+5)2＝19或(x－5)2＝19
C.(x+5)2＝19
D.(x+5)2＝28或(x－5)2＝28
11.若一元二次方程9x2－12x－39996＝0的两个根分别为a,b,且a(
)
A.136
B.268
C.
D.
12.当x满足
eq
\b
\lc\{(\a
\al
\co1(x+1<3x－3,(x－4)<(x－4)))
时,方程x2－2x－5＝0的解是________
13.用配方法解一元二次方程ax2+bx－c＝0(a≠0,c>0),得到(x－c)2＝4c2,从而解得方程的一个根为1,则a－3b＝________
14.已知三角形的两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2－4x+15＝0的一个根.请你用配方法解此方程,并计算出该三角形的面积
15.根据要求,解答下列问题:
(1)①方程x2－x－2＝0的解为________________；
②方程x2－2x－3＝0的解为________________；
③方程x2－3x－4＝0的解为________________；
……
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程x2－9x－10＝0的解为________________；
②请用配方法解方程x2－9x－10＝0,以验证猜想结论的正确性
(3)应用:关于x的方程________________________的解为x1＝－1,x2＝n+1
培优压轴练
16.已知实数t满足t2++2(t+)＝0,求t+的值
17.(阅读理解题)先阅读下面的内容,再解决问题
例题:若m2+2mn+2n2－6n+9＝0,求m和n的值
解：∵m2+2mn+2n2－6n+9＝0,
∴m2+2mn+n+n－6n+9＝0,
∴(m+n)2+(n－3)2＝0,
∴m+n＝0,n－3＝0,
∴m＝－3,n＝3.
问题:已知a,b,c为正整数,且是△ABC的三边长,c是△ABC的最短边长,a,b满足a2+b2＝12a+8b－52,
求c的值.
18.(阅读理解题)先阅读下面的例题:
求代数式y2+4y+8的最小值
解:y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝(y+2)2+4.
∵(y+2)2≥0,
∴(y+2)2+4≥4,
∴y2+4y+8的最小值是4.
再按要求解答下列问题:
求:(1)代数式m2+2m+4的最小值；
(2)代数式2019－x2+2x的最大值
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《参考答案及解析》
21.2
解一元二次方程
21.2.1
配方法
课时1
直接开平方法
1.D【解析】原方程可化为x2＝9.直接开平方,得x1＝3,x2＝－3.故选D.
【易错总结】解一元二次方程时出现漏解问题
用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程转化为左边是含未知数项的完全平方式,右边是非负数的式子.开方时,注意正数的平方根有正、负两种情况,不能只取正根
2.3.5(答案不唯一,只要a≥3即可)
【解析】原方程可化为x2＝a－3.因为方程有实数根,所以a－3≥0,所以a≥3.故a的值可以是3.5.(答案不唯一,只要a≥3即可)
3.c【解析】根据一个数的平方是非负数,可得n≥0.故选C
4.x+6＝－
5.解：(1)将方程变形,得x2＝27.
直接开平方,得x＝±3
所以x1＝3,x2＝－3.
(2)直接开平方,得x－3＝±,所以x＝3±
所以x1＝3+,x2＝3－.
(3)将方程变形,得(x－2)2＝
直接开平方,得x－2＝±
eq
\f(,2)
,所以x＝2±
eq
\f(,2)
所以x1＝2+
eq
\f(,2)
,x2＝2－
eq
\f(,2)
6.【解析】当c<0时,方程没有实数根；当c>0时,ax+b＝±,解得
x1＝
eq
\f(－b,a)
,x2＝
eq
\f(－b,a)
；当c＝0时,解得x1＝x2＝.故选C.
7.A【解析】由题意可知,关于x的一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m－1和2m+4,∴由直接开平方法可知,m－1与2m+4互为相反数,∴m－1+2m+4＝0,∴m＝－1,∴m－1＝－2,2m+4＝2
∴＝x2＝4.故选A.
8.x1＝,x2＝－2
【解析】∵(2x－1)2＝(3－x)2,2x－1＝±(3－x),即2x－1＝3－x或2x－1＝－3+x,∴x1＝,x2＝－2.
9.x1＝,x2＝【解析】设y＝3x－1,则关于x的方程a(3x+m－1)2+b＝0可变形为关于y的方程a(y+m)2+b＝0.∵关于x的方程a(x+m)2+b＝0(a,b,m均为常数,且a≠0)的根是x＝3或x＝7,∴y＝3或y＝7,即3x－1＝3或3x－1＝7,∴关于x的方程a(3x+m－1)2+b＝0的根分别是x1＝3,x2＝3
【方法解读】换元法
换元法是数学中一种非常重要而且应用十分广泛的解题方法.换元法是指引入一个或几个新的变量代替含有原来的某些变量的代数式,求出结果后,返回去求原变量的结果.此题中将3x－1换成y,从而将问题转化为求关于y的方程的解
10.解：∵a?b＝a2－b2,
∴(4?3)?x＝(42－32)?x＝7?x＝72－x2
∴72－x2＝24,∴x2＝25,∴x1＝5,x2＝－5.
11.解：∵x2－1＝1－ax2.∴(1+a)x2＝2.
∵a≠－1,∴当a<－1时,原方程无解；
当a>－1时,x＝±
eq
\r()
,∴x1＝
eq
\f(,1+a)
,
x2＝－
eq
\f(,1+a)
课时2
配方法
1.B【解析】A.应为x2－8x+16,该选项不符合题意；B.x2+8x+16是完全平方式,该选项符合题意；C.应为x2－4x+4,该选项不符合题意；D.应为x2+4x+4,该选项不符合题意.故选B
2.56【解析】将原方程展开,得x2－16x+a＝x2－2bx+b2,则b＝8,a＝82＝64.所以a－b＝64－8＝56.
3.－1或7【解析】∵x2+2(m－3)x+16是关于x的完全平方式,∴2(m－3)＝±8,解得m＝－1或m＝7.
4.B【解析】移项,得y2－y＝.配方,得y2－y+＝+,即
eq
\b
\bc\((
y－)
eq
\s\up7(2)
＝1.故选B.
【易错总结】配方时,没有进行恒等变形
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时,方程两边需要同时加上一次项系数一半的平方,这样才符合等式的性质做题时,很容易只在方程左边加上一次项系数一半的平方,而忘记在方程右边加上相同的项
5.D【解析】解方程x2－x－2＝0.去分母,得x2－2x－4＝0,所以x2－2x＝4.配方,得x2－2x+1＝5,所以(x－1)2＝5.开方,得x－1＝±,解得x1＝1+,x2＝1－.所以出现错误的是④.故选D.
6.A【解析】A.将x2+8x+9＝0配方,化为(x+4)2＝7,该选项的配方错误；B.将x2－2x－99＝0配方,化为(x－1)2＝100,该选项的配方正确；C.先将t2－7t－4＝0化为t2－t＝2,再化为(t－)2＝,该选项的配方正确；D.先将3x2－4x－2＝0化为x2－x＝,再化为(x－)2＝,该选项的配方正确.故选A.
7.－6【解析】x2+x－＝(x2+2x－5)＝0,∴[(x+1)2－6]＝0.∵方程x2+x－＝0可配方为[(x+1)2+k]＝0,∴k＝－6.
8.1【解析】∵x2+4x＝－n,∴x2+4x+4＝4－n,即(x+2)2＝4－n.又
∵(x+m)2＝3,∴m＝2,n＝1,则(n－m)2020＝(1－2)2020＝1.
9.解：(1)移项,得x2+10x＝－16.
配方,得x2+10x+25＝－16+25,即(x+5)2＝9.
直接开平方,得x+5＝±3,所以x＝±3－5,
所以x1＝－2,x2＝－8.
(2)移项,得x2－3x＝－4.
二次项系数化为1,得x2－6x＝－8.
配方,得x2－6x+32＝－8+32,即(x－3)2＝1.
直接开平方,得x－3＝±1,所以x＝3±1,
所以x1＝4,x2＝2.
(3)将原方程整理,得x2－4x＝21.
配方,得x2－4x+2＝21+22,即(x－2)2＝25.
直接开平方,得x－2＝±5,所以x＝2±5,
所以x1＝7,x2＝－3.
(4)移项,得6x2－x＝12.
二次项系数化为1,得x2－x＝2.
配方,得x2－x+()2＝2+()2
即(x－)2＝
直接开平方,得x－＝±,所以x＝±,所以x1＝,x2＝－
10.D【解析】由题意可知,(x+n)2－22＝x2+2mx+3,即x2+2nx+n2－22＝x2+2mx+3,所以n2－22＝3,所以n2＝25,所以n＝±5.又因为x2－2nx－3＝0配方后为(x－n)2＝n2+3,所以(x+5)2＝28或(x－5)2＝28..故选D.
11.A
【解析】:9x2－12x－39996＝0∴9
eq
\b
\bc\((
x－)
eq
\s\up7(2)
＝40000,x1＝,x2＝－66.
∵一元二次方程9x2－12x－39996＝0的两个根分别为a,b,且a∴a+3b＝－66+202＝136.故选A.
12.x＝1+【解析】解不等式组
eq
\b
\lc\{(\a
\al
\co1(x+1<3x－3,(x－4)<(x－4)))
,得2所以x2－2x+1＝6,所以(x－1)2＝6,所以x－1＝±,所以x1＝1+,x2＝1－.又因为21+
13.3【解析】由(x－c)2＝4c2可得x－c＝2c,∴x＝c±2c,即x1＝－c,x2＝
3c.∵方程的一个根为1,且c>0,∴3c＝1,∴c＝,∴原方程为
eq
\b
\bc\((
x－)
eq
\s\up7(2)
＝.整理,得x2－x－＝0∵c>0,∴a＝1,b＝－∴a－3b＝1+2＝3
14.解将方程x2－4x+15＝0化为(x－8)2＝4,解得x1＝10,x2＝6
(1)当第三边长是10时,根据勾股定理的逆定理可知,该三角形为直角三角形,如答图(1)∴S△ABC＝×6×8＝24
(2)当第三边长是6时,该三角形为等腰三角形,如答图(2),过点A作AD⊥BC,交BC于点D,∴AD＝＝2,
∴S△ABC＝×8×2＝8.
综上所述,该三角形的面积为24或8.
15.解：(1)①x1＝－1,x2＝2.②x1＝－1,x2＝3.③x1＝－1,x2＝4
(2)①x1＝－1,x2＝10
②移项,得x2－9x＝10.
配方,得x－9x+
eq
\b
\bc\(()
2＝10+
eq
\b
\bc\(()
2,
即
eq
\b
\bc\((
x－)
eq
\s\up7(2)
＝
直接开平方,得x－＝±,所以x＝±。所以x1＝－1,x2＝10
(3)x2－nx－(n+1)＝0.
16.解：给已知等式两边同时加上2,
得t2+
+2+2
eq
\b
\bc\((
t+)
＝2
设t+＝x,则
eq
\b
\bc\((
t+)
eq
\s\up7(2)
+2
eq
\b
\bc\((
t+)
＝2可化为x+2x＝2
配方,得x2+2x+1＝2+1,
∴(x+1)2＝3
直接开平方,得x+1＝±,
解得x1＝－1,x2＝－－1.
故t+＝－1或t+＝－－1
∵t<0,∴<0,∴t+<0,∴t+＝－1舍去
∴t+＝－－1
【方法解读】解决此题的关键是运用换元法和整体思想,即用x代替t+,将已知等式转化成一元二次方程来求解
17.解∵a2+b2＝12a+8b－52,∴a2－12a+b2－8b+52＝0∴(a－6)2+(b－4)2＝0,
∴a－6＝0,b－4＝0,∴a＝6,b＝4.
又∵a,b,c为正整数,且是△ABC的三边长,c是△ABC的最短边长,
∴6－418.解(1)m2+2m+4＝(m2+2m+1)+3＝(m+1)2+3≥3,
∴m2+2m+4的最小值是3.
(2)∵2019－x2+2x＝－x2+2x+2019＝－(x2－2x+1)+2020＝－(x－1)2+2020≤2020,
∴2019－x2+2x的最大值是2020.
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