【优选作业本】卷03 21.2.2 解一元二次方程【公式法】（含解析）

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第二十一章
一元二次方程方程
21.2
解一元二次方程
21.2.2
公式法
基础夯实练
01
一元二次方程根的判别式
1.已知一元二次方程x2－3x－1＝0,则b2－4ac的值为
(
)
A.
B.5
C.7
D.13
2.[
2020·辽宁沈阳中考]一元二次方程x2－2x+1＝0的根的情况是
(
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
3.(易错题)[2020·山东烟台中考]关于x的一元二次方程(m－1)x2+2x－1＝0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是________
4.(易错题)[2020·内蒙古呼伦贝尔中考]已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－x+1＝0有实数根,则m的取值范围是________________。
5.(易错题)当k满足什么条件时,关于x的方程kx2+4x－2＝0有实数根？
02
一元二次方程的求根公式
6.x
＝
eq
\f(2±,2×3)
是下列哪个一元二次方程的根？
(
)
A.3x2+2x－1＝0
B.2x2+4x－1＝0
C.－x2－2x+3＝0
D.3x2－2x－1＝0
7.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个实数根分别是x1＝
eq
\f(,2)
,x2＝
eq
\f(,2)
,那么a＝________,b＝________,
c＝________
03
用公式法解一元二次方程
8.(原创题)方程2y2＝8y+3的根是
(
)
A.y1＝
eq
\f(4+,2)
,y2＝
eq
\f(4－,2)
B.
y1＝
eq
\f(－4+,2)
,y2＝
eq
\f(－4－,2)
C.y1＝
eq
\f(4+,2)
,y2＝
eq
\f(4－,2)
D.y1＝
eq
\f(－4+,2)
,y2＝
eq
\f(－4－,2)
9.已知:一元二次方程x2－2x－6＝0,其中较大的一个根为x1,则下列最接近x1的范围的是
(
)
A.3B.3C.3.5D.3.710.有一个数值转换机,其流程如图,若输入a＝1,则输出的x的值为________
11.当x＝________时,代数式x2－x－2与2x－1的值互为相反数
12.[
教材P11例2改编]用公式法解下列方程:
(1)x2－8x－5＝0；
(2)(易错题)x(x－4)+8＝0
(3)(3x－5)(x－2)＝1
(4)x(x+6)＝2(x－8).
能力提升练
13.[
2020·广东广州中考]直线y＝x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是
(
)
A.0
B.1
C.2
D.1或2
14.[
2020·山东菏泽中考]等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x的方程x2－4x+k＝0的两个根,则k的值为
(
)
A.3
B.4
C.3或4
D.7
15.[
2020·浙江嘉兴校级期末]关于x的方程ax2+2x－a+2＝0(a是已知数)有以下三个结论:①当a＝0时,方程只有一个实数根；②当a≠0时,方程有两个不相等的实数根；③当a是任意实数时,方程总有负数解其中正确的是________(填序号).
16.[
2019·福建泉州惠安县模拟]已知关于x的一元二次方程x2－(2m+1)x+m(m+1)＝0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x＝0,求代数式(2m－1)2+(3+m)(3－m)+7m－5的值.(要求先化简再求值)
17.[
2020·北京东城区校级期末]已知关于x的一元二次方程mx2－(m+3)x+3＝0总有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若此方程的两根均为正整数,求正整数m的值
18.已知□ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2－mx+－＝0的两个根
(1)当m为何值时,□ABCD是菱形？求出此时该菱形的边长
(2)若AB的长为2,则□ABCD的周长是多少？
培优压轴练
19.(新定义运算题)对于实数m,n,定义一种运算
“※”:m※n＝mn+n.
(1)求2※5与2※(－5)的值；
(2)如果关于x的方程x※(a※x)＝－有两个相等的实数根,求实数a的值.
20.(核心素养·古代数学中的一元二次方程)古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,形如x2+ax＝b2(a>0,b>0)的方程的图解法如图,以和b为两直角边作Rt△ABC,再在斜边上截取BD＝,则AD的长就是所求方程的解
(1)请用含字母a,b的代数式表示AD的长；
(2)请利用已学的知识说明该图解法的正确性,并说明这种解法的遗憾之处.
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《参考答案及解析》
21.2.2
公式法
1.D
【解析】由题意可知,△＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝13.故选D
2.B
【解析】由题意可知,△＝(－2)2－4×1×1＝0,所以该方程有两个相等的实数根.故选B
3.m>0且m≠1【解析】根据题意,得m－1≠0,且△＝22－4×(m－1)×(－1)>0,解得m>0且m≠1
【易错总结】运用根的判别式求字母的取值范围时易忽略二次项系数不能等于0
对于一元二次方程ax2+bx+c＝0,隐含条件a≠0很容易被忽略,所以当二次项系数含有字母时,一定要注意二次项系数不能为0.此题易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件,从而得出m>0的错误答案.
4.m≤5且m≠4【解析】关于x的一元二次方程(m－1)x2－x+1＝0有实数根,△＝1－4×(m－1)≥0,且m－1≠0,解得m≤5且m≠4
【易错总结】忽略一元二次方程有实数根包括两种情况
一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根此题易将有实数根误认为有两个不相等的实数根,从而得出错误答案m<5且m≠4
5.解：当k≠0时,方程是一元二次方程,要使方程有实数根,则△≥0,
即,解得k≥－2且k≠0；
当k＝0时,方程是一元一次方程,即4x－2＝0,方程有实数根.
综上所述,当k≥－2时,关于x的方程kx2+4x－2＝0有实数根
【易错总结】当题目中没有指出方程是一元二次方程时,容易忽略一元一次方程的情况
当没有指明方程的类型时,应注意分一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论.此题易忽略当k＝0时,方程是一元一次方程的情况
6.D
【解析】A.x＝
eq
\f(－2±,2×3)
,不符合题意；B.x＝
eq
\f(－4±,2×2)
,不符合题意；C.x＝
eq
\f(2±,2×3)
,不符合题意；D.x＝
eq
\f(2±,2×(－1))
,符合题意.故选D
7.1
－4
3【解析】由关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个实数根分别是
x1＝
eq
\f(4+,2)
,
x2＝
eq
\f(4－,2)
可知,a＝1,b＝－4,c＝3
8.A
【解析】将方程化为一般形式,得2y2－8y－3＝0,所以a＝2,b＝－8,c＝－3.代入求根公式,得
y＝
eq
\f(－(－8)±,2×2)
＝
eq
\f(8±,4)
＝
eq
\f(8±2,4)
＝
eq
\f(4±,2)
,
所以y1＝
eq
\f(4+,2)
,y2＝
eq
\f(4－,2)
.故选A
9.c
【解析】因为△＝(－2)2－4×1(－6)＝28,所以x＝
eq
\f(2±2,2)
,
所以x1＝1+,x2＝1－.因为2.5<<2.7,所以3.5<1+<3.7.故选C.
10.
eq
\f(3+,2)
或
eq
\f(3－,2)
【解析】输入的数a＝1>0,代ax2－3x－5＝0,得
x2－3x－5＝0.∴a＝1,b＝－3,c＝－5,∴△＝(－3)2－4×1×(－5)＝29,∴x,＝
eq
\f(3+,2)
,x2＝
eq
\f(3－,2)
11.
eq
\f(1+,2)
或
eq
\f(－1－,2)
【解析】∵代数式x2－x－2与2x－1的值互为相
反数,∴x2－x－2+2x－1＝0,∴x2+x－3＝0,∴b2－4ac＝1－4×1×(－3)＝
13>0,∴x＝
eq
\f(－1±,2×1)
∴x1＝
eq
\f(－1+,2×1)
,x2＝
eq
\f(－1－,2×1)
12.解(1)∵a＝1,b＝－8,c＝－5,∴△＝(－8)2－4×1×(－5)＝84,
∴x＝
eq
\f(8±2,2)
＝4±21
即x1＝4+,x2＝4－.
(2)将方程整理,得x2－4x+8＝0
∵a＝1,b＝－4,c＝8,∴△＝(－4)2－4×1×8＝0,
x＝
eq
－\f(（－4,2)
＝2,
即x1＝x2＝2.
【易错总结】当b2－4ac＝0时,误认为一元二次方程只有一个根
当b2－4ac＝0时,一元二次方程有两个相等的实数根,应将求出的根写成“x1＝x2＝…”的形式.解此题时易错误地认为方程只有一个实数根,从而写成x＝2.
(3)将方程整理,得3x2－11x+9＝0.
∵a＝3,b＝－11,c＝9,∴＝(－11)2－4×3×9＝13,∴x＝
eq
\f(11±,6)
,
即x1＝
eq
\f(11+,6)
,x2＝
eq
\f(11－,6)
(4)将方程整理,得x2+4x+16＝0.
∵a＝1,b＝4,c＝16,∴△＝42－4×1×16＝－48<0,∴此方程无实数根.
13.D
【解析】∵直线y＝x+a不经过第二象限,∴a≤0.当a＝0时,关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程,解得x＝－,当a<0时,关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程,∴△＝22－4a>0,∴方程有2个不相等的实数根.综上可知,关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是1或2.故选D
14.c
【解析】当3为腰长时,将x＝3代入x2－4x+k＝0,得32－4×3+k＝0,解得k＝3.当k＝3时,原方程为x2－4x+3＝0,解得x1＝1,x2＝3.∵1+3＝4,且4>3,∴k＝3符合题意.当3为底边长时,关于x的方程x2－4x+k＝0有两个相等的实数根,∴△＝(－4)2－4×1×k＝0,解得k＝4.当k＝4时,原方程为x2－4x+4＝0,解得x1＝x2＝2∵2+2＝4,且4>3,∴k＝4符合题意.∴k的值为3或4.故选C
15.①③【解析】当a＝0时,原方程为2x+2＝0,解得x＝－1,所以方程只有一个实数根,所以①正确.当a≠0时,原方程为一元二次方程,且△＝22－4a(－a+2)＝4a2－8a+4＝4(a－1)2≥0,所以方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根,所以②错误.当a＝0时,方程的解为x＝－1；当a≠0时,方程的解为x＝
eq
\f(2±,2a)
,即x1＝,x2＝－1,即方程总有负数解,所以③正确.故正确的是①③.
16.(1)明∵关于x的一元二次方程x2－(2m+1)x+m(m+1)＝0,
∴＝(2m+1)2－4m(m+1)＝4m2+4m+1－4m2－4m＝1>0,
∴方程总有两个不相等的实数根
(2)解：∵(2m－1)2+(3+m)(3－m)+7m－5＝4m2－4m+1+9－m2+7m－5＝3m2+3m+5＝3m(m+1)+5.
∵x＝0是方程x2－(2m+1)x+m(m+1)＝0的一个根,∴m(m+1)＝0.
∴原式＝3m(m+1)+5＝3×0+5＝5.
17.解(1)根据题意,得m≠0,且△＝[－m+3)]2－4m×3＝(m－3)2>0,所以m≠3.
故m的取值范围为m≠0且m≠3.
(2)由求根公式和(1),可得x＝,所以x1＝1,x2＝
因为原方程的两根均为正整数,所以为正整数
又因为m≠0且m≠3,所以正整数m的值为1
18.解(1)当AB＝AD时,ABCD是菱形,即方程x2－mx+－＝0的两个实数根相等
∴△＝m2－4
eq
\b
\bc\((－)
＝0,解得m＝1
此时方程为x2－x+＝0,解得x＝
故此时菱形的边长为
(2)把x＝2代入方程x2－mx+－＝0,得4－2m+－＝0,解得m＝
∴原方程为x2－x+1＝0.
整理,得2x2－5x+2＝0,
∴x＝
eq
\f(5±,2×2)
＝,∴x1＝2,x2＝.∴AD＝
∴□ABCD的周长是2×(2+)＝5.
【方法解读】此题考查了一元二次方程的根的判别式、利用公式法求解一元二次方程、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质.解题的关键如下:(1)根据菱形的性质、根的判别式,列出关于m的一元二次方程,并求解；(2)根据根的定义,将已知的根代入原一元二次方程求出参数m的值,从而解一元二次方程求出另一个根
19.解(1)2※5＝2×5+5＝15；
2※(－5)＝2×(－5)+(－5)＝－15.
(2)x※(a※x)＝x※(ax+x)＝x(ax+x)+(ax+x)＝－
整理,得4(a+1)x2+4(a+1)x+1＝0.
∵关于x的方程x※(a※x)＝－有两个相等的实数根,∴,解得a＝0.
20.解(1)∵∠ACB＝90°,BC＝BD＝,AC＝b,∴AB＝
eq
\r(b2+)
,
∴AD＝AB－BD＝
eq
\r(b2+)
－＝
eq
\f(－a,2)
(2)用求根公式求得
x1＝
eq
\f(－a,2)
,x2＝
eq
\f(－a,2)
正确性:AD的长就是方程的正根
遗憾之处:图解法不能求出一元二次方程的负根.
核心素养解读：此题主要体现了“直观想象”和“数学运算”的核心素养.利用数形结合思想求解一元二次方程通过解答此题可以让我们了解数学文化,激发我们学习数学的兴趣也进一步培养了我们的运算能力
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精品试卷·第
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