【优选作业本】卷04 21.2.3 解一元二次方程【因式分解法】（含解析）

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第二十一章
一元二次方程方程
21.2
解一元二次方程
21.2.3
因式分解法
基础夯实练
01
用因式分解法解一元二次方程
1.(易错题)[2020·江苏镇江中考改编]一元二次方程x2＝2x的两根分别为
(
)
A.x1＝x2＝0
B.x1＝x2＝4
C.x1＝2,x2＝－2
D.x1＝0,x2＝2
2.(易错题)[2021·上海宝山区校级月考]一元二次方程(x+1)(x+2)＝2的解是
(
)
A.x1＝0,x2＝－3
B.x1＝－1,x2＝－2
C.x1＝1,x2＝2
D.x1＝0,x2＝3
3.[2020·山东威海中考]一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解为
(
)
4.[2020·江苏无锡一模]一元二次方程x2－5x－6＝0的解是________________________。
5.[教材P14练习第1题改编]用因式分解法解下列方程:
(1)(x+2)2＝3x+6；
(2)3x2+12＝12x；
(3)(3x+2)2－4x2＝0；
(4)5(2x－1)＝(1－2x)(x+3)
02
选择适当的方法解一元二次方程
6.下列方程,不适合用因式分解法求解的是
(
)
A.x2+5x＝0
B.4x2＝x
C.x2+6x+10＝0
D.x2+(1+)x＝0
7.解下列方程:①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③2x2－5x+2＝0；④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是
(
)
A.①公式法,②配方法,③直接开平方法,④因式分解法
B.①因式分解法,②公式法,③配方法,④直接开平方法
C.①②直接开平方法,③公式法,④因式分解法
D.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法
8.[教材P25复习题21第1题改编]用适当的方法解下列方程:
[]1)2x2－6＝0；
(2)x2+2x－399＝0；
(3)x(x－2)+x－2＝0；
(4)(3x+2)(x+3)＝8x+15.
能力提升练
9.[2020·江苏常州校级期中]用因式分解法解关于x的方程x2+px－6＝0,若将左边分解后有一个因式是x+3,则p的值是
(
)
A.－1
B.1
C.－5
D.5
10.[2019·福建晋江一模]若x2－2px+3q＝0的两根分别是－3与5,则多项式2x2－4px+6q可以分解因式为
(
)
A.(x+3)(x－5)
B.(x－3)(x+5)
C.2(x+3)(x－5)
D.2(x－3)(x+5)
11.[2020·山东德州中考]菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2－9x+20＝0的一个根,则该菱形的周长为________
12.关于x的一元二次方程x2－3x+k＝0有实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m－1)x2+x+m－3＝0与方程x2－3x+k＝0有一个相同的根,求此时m的值
培优压轴练
13.(新定义题)新定义:[a,b]为一次函数y＝ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”[1,m－2]的一次函数是正比例函数,则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为________
14.(核心素养“十字相乘法”的运用)将多项式乘法:(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b).
【示例】分解因式:x2+5x+6＝x2+(2+3)x+2×3＝(x+2)·(x+3).
(1)【尝试】分解因式:x2+6x+8＝(x+________)(x+________)
(2)【应用】请用上述方法解方程:x2－3x－4＝0.
15.已知a,b,c是△ABC的三条边长,若x＝－1为关于x的一元二次方程(c－b)x2－2(b－a)x+(a－b)＝0的一个根
(1)△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明
(2)若式子+有意义,且b为方程y2－8y+15＝0的一个根,求△ABC的周长.
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《参考答案及解析》
21.2.3
因式分解法
1.D
【解析】移项,得x2－2x＝0.分解因式,得(x－2)＝0,所以x＝0或x－2＝0,解得x1＝0,x2＝2.故选D
【易错总结】给方程两边同时除以含有未知数的式子,导致丢根
运用因式分解法解一元二次方程时,当方程的左右两边有相同因式时,不要给方程两边同时除以这个因式,应先进行移项,再利用因式分解法求解,否则会导致丢根此题的易错点是给方程的两边同时除以公因式x,将根x＝0丢掉.
2.A
【解析】将原方程整理,得x2+3x＝0.分解因式,得x(x+3)＝0.所以x＝0或x+3＝0,解得x1＝0,x2＝－3.故选A.
【易错总结】运用因式分解法解一元二次方程时,没有将方程右边先化成0
运用因式分解法解一元二次方程的依据是“若a·b＝0,则a＝0或b＝0”,此题易将(x+1)(x+2)＝2与(x+1)(x+2)＝0混淆,出现“x+1＝0或x+2＝0”的错误。
3.x
1＝2,x2＝
【解析】4x(x－2)＝x－2,∴4x(x－2)－(x－2)＝0,∴(x－2)(4x－1)＝0,∴x－2＝0或4x－1＝0,
解得x1＝2,x2＝
4.x
1＝6,x2＝－1【解析】分解因式,得(x－6)(x+1)＝0.所以x－6＝0或x+1＝0,解得x1＝6,x2＝－1.
5.解(1)将原方程变形为(x+2)(x+2－3)＝0,
即(x+2)(x－1)＝0∴x+2＝0或x－1＝0,
∴x1＝－2,x2＝1.
(2)将原方程变形为x2－4x+4＝0,
即(x－2)2＝0,
∴x1＝x2＝2.
(3)将原方程变形为(3x+2－2x)(3x+2+2x)＝0,
即(x+2)(5x+2)＝0
∴x+2＝0或5x+2＝0,
∴x1＝－2,x2＝－
(4)将原方程变形为(2x－1)(5+x+3)＝0,即(2x－1)(x+8)＝0.
∴2x－1＝0或x+8＝0,∴x1＝,x2＝－8
6.C
【解析】A.方程x2+5x＝0的左边可以提取公因式x,从而求解,此选项不符合题意；B.方程4x2＝x可以通过移项,得4x2－x＝0,方程左边可以提取公因式x,此选项不符合题意；C.方程x2+6x+10＝0没有实数根,此选项符合题意；D.方程x+(1+)x＝0的左边可以提取公因式x,此选项不符合题意.故选C.
7.D
8.解(1)将原方程整理,得x2＝3.
直接开平方,得x1＝3,x2＝－3.
(2)移项,得x2+2x＝399.
配方,得x2+2x+1＝399+1,即(x+1)2＝400.
直接开平方,得x+1＝20或x+1＝－20,
解得x1＝19,x2＝－21.
(3)分解因式,得(x－2)(x+1)＝0.
∴x－2＝0或x+1＝0,
∴x1＝2,x2＝－1.
(4)将方程整理,得x2+x－3＝0.
∵a＝1,b＝1,c＝－3
∴b2－4ac＝12－41×(－3)＝13,
∴x＝
eq
\f(－1±,2)
∴x1＝
eq
\f(－1+,2)
,x2＝
eq
\f(－1－,2)
9.B
【解析】根据题意知x2+px－6＝(x+3)(x－2),则x2+px－6＝x2+x－6,∴p＝1.故选B
【一题多解】
将A,B,C,D四个选项的p值分别代入关于x的方程x2+px－6＝0中,再将方程的左边分解因式,看结果是否和题意一致
10.c
【解析】x2－2px+3q＝0的两根分别是－3与5,∴x2－2px+3q＝(x+3)(x－5),∴2x2－4px+6q＝2(x2－2px+q)＝2(x+3)(x－5).故选C.
11.20【解析】如答图.∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD.∵x2－9x+20＝0,∴(x－4)(x－5)＝0,解得x＝4或x＝5.分两种情况:①当AB＝AD＝4,BD＝8时,4+4＝8,此时不能构成三角形；②当AB＝AD＝5,BD＝8时,5+5>8,此时能构成三角形∴菱形ABCD的周长为4AB＝20.
12.解(1)根据题意,得△＝(－3)2－4k≥0,解得k≤
(2)∵k是符合条件的最大整数,∴k＝2,
∴方程x2－3x+k＝0为x2－3x+2＝0,解得x1＝1,x2＝2.
∵一元二次方程(m－1)x2+x+m－3＝0与方程x2－3x+2＝0有一个相同的根,
∴当x＝1时,m－1+1+m－3＝0,解得m＝；
当x＝2时,4(m－1)+2+m－3＝0,解得m＝1.
又∵m－1≠0,即m≠1,∴m的值为
13.x1＝－1,x2＝－2
【解析】由“关联数”的定义可得,“关联数”[1,m2]的一次函数为y＝x+m－2.又∵此一次函数为正比例函数,∴m2＝0,解得m＝2.∴关于x的方程x2+3x+m＝0即为x2+3x+2＝0,解得x1＝－1,x2＝－2.
14.解(1)2
4
(2)∵x2－3x－4＝x2+(－4+1)x+(－4)×1,∴x2－3x－4＝0即为(x－4)(x+1)＝0,
∴x+1＝0或x－4＝0,解得x1＝－1,x2＝4.
【答案】(1)△ABC是等腰三角形,△ABC不是等边三角形证明如下：
∵x=-1为关于x的一元二次方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0的一个根,
∴(c-b)+2(b-a)+(a-b)=0,c=a
∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴△ABC为等腰三角形
∵(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0是关于x的一元二次方程,∴c-b≠0,c≠b
∴△ABC不是等边三角形
(2)依题意,得∴a＝2.
由(1)知,c=a,∴c=a=2
解方程y2-8y+15=0,得y1=3,y2=5.
∵b为方程y2-8y+15=0的一个根,且a+c>b,∴b的值为3.
∴△ABC的周长为2+2+3=7.
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