【优选作业本】卷06 21.2.4 一元二次方程的根与系数关系（含解析）

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第二十一章
一元二次方程方程
21.2
解一元二次方程
21.2.4
一元二次方程的根与系数关系
基础夯实练
01
正用根与系数的关系求关于两根的代数式的值
1.[2020·湖南邵阳中考]设方程x2－3x+2＝0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为
(
)
A.3
B.－
C.
D.－3
2.[教材P16例4改编]已知2x2+x－1＝0的两根分别为x1,x2,则x1x2的值为
(
)
A.1
B.－1
C.
D.－
3.[2020·江苏南通中考]若x1,x2是方程x2－4x－2020＝0的两个实数根,则代数式x12－2x1+2x2的值等于________
4.[2019·四川眉山中考]设a,b是方程x2+x－2019＝0的两个实数根,则(a－1)(b－1)的值为________
5.[2019·四川攀枝花中考]已知x1,x2是方程x2－2x－1＝0的两根,则x1+x2＝________
6.若x1,x2是方程2x2－4x－1＝0的两根,则(1)+＝________；(2)(x1－x2)2＝________
02
逆用根与系数的关系确定一元二次方程的待定系数
7.已知关于x的一元二次方程x2－kx－4＝0的一个根为2,则另一个根及k的值分别是
(
)
A.－2,0
B.1,4
C.2,－4
D.4,0
8.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0的两个实数根,且x1+x2＝3,x1x2＝1,则a,b的值分别是
(
)
A.－3,1
B.3,1
C.－,－1.
D.－,1
9.[2019·广西贵港中考]若α,β是关于x的一元二次方程x2－2x+m＝0的两个实数根,且+＝,则m等于
(
)
A.－2
B.－3
C.2
D.3
10.(易错题)[2021·浙江杭州校级月考]已知关于x的一元二次方程x2－(2m+3)x+m2＝0有两个实数根,且满足x1+x2＝m2,则m的值是________
能力提升练
11.
[2019·内蒙古呼和浩特中考]若x1,x2是一元二次方程x2+x－3＝0的两个实数根,则x23－4x2+17的值为
(
)
A.－2
B.6
C.－4
D.4
12.[2021·四川遂宁校级期中]已知a,b满足a2－6a+2＝0,b2－6b+2＝0,则+＝
(
)
A.－6
B.2
C.16
D.16或2
13.(核心素养·由看错题目,反推正确题目)甲、乙二人解同一个关于x的方程x2+mx+n＝0,甲看错了常数项,求得两个根为4和－1,乙看错了一次项系数,得到两个根为2和－9,请你写出这个方程,并求出它的解
14.[2020·湖北黄石中考]已知:关于x的一元二次方程x2+x－2＝0有两个实数根
(1)求m的取值范围；
(2)设方程的两根分别为x1,x2,且满足(x1－x2)2－17＝0,求m的值
15.[2020·江苏泰州兴化二模]已知关于x的一元二次方程x2－(m+2)x+2m＝0.
(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个实数根
(2)若Rt△ABC的两直角边AB,AC的长是该方程的两个实数根,斜边BC的长为3,求m的值.
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《参考答案及解析》
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
1.A
【解析】由x2－3x+2＝0可知,其二次项系数a＝1,一次项系数b＝－3.由根与系数的关系,得x1+x2＝－＝－＝3.故选A.
2.D
【解析】2x2+x－1＝0的两根分别为x1,x2,∴x1x2＝－.故选D
3.2028【解析】x1,x2是方程x2－4x－2020＝0的两个实数根,∴x1+x2＝4,x12－4x1－2020＝0,即x12－4x1＝2020.
∴原式＝x12－4x1+2x1+2x2＝x12－4x1+2(x1+x2)＝2020+2×4＝2028.
4.－2017【解析】a,b是方程x2+x－201＝0的两个实数根,∴a+b＝－1,ab＝－2019.
∴(a－1)(b－1)＝ab－(a+b)+1＝－2019+1+1＝－2017.
5.6【解析】x1,x2是方程x2－2x－1＝0的两根,∴x1+x2＝2,x1x2＝－1,
∴x12+x22＝(x1+x2)2－2x1x2＝22－2×(－1)＝6.
6.(1)－4
(2)6【解析】由题意,得x1+x2＝―＝2,x1x2＝－
(1)+＝＝
eq
\f(2,－)
＝－4.(2)(x1－x2)＝(x1+x2)2－4x1x2＝22－4×
eq
\b
\bc\((－)
＝4+2＝6.
【方法解读】求含有一元二次方程两根的代数式的值时,利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.计算时,要先根据原方程求出两根之和与两根之积,再将代数式变形为局部含有两根之和或两根之积的形式,最后代入求值变形时常会运用完全平方公式或平方差公式
7.A
【解析】设方程的另一个根为t.根据题意,得2+t＝k,2t＝－4,解得t＝－2,k＝0.故选A.
【方法解读】已知一元二次方程的一个根求其另一个根的方法
如果已知一元二次方程的二次项系数、常数项及一个根,那么利用两根之积求另一个根；如果已知一元二次方程的二次项系数、一次项系数及一个根,那么利用两根之和求另一个根
【一题多解】
将x＝2代入x2－kx－4＝0,得4－2k－4＝0,解得k＝0.所以关于x的一元二次方程为x2－4＝0,解得x1＝2,x2＝－2.故选A.
8.D
【解析】∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0的两个实数根,∴x1+x2＝－2a,x1x2＝b.
又∵x1+x2＝3,x1x2＝1,∴a＝－,b＝1.故选D.
9.B
【解析】a,B是关于x的一元二次方程x2－2x+m＝0的两个实数根,∴α+β＝2,αβ＝m∵+＝＝＝－,∴m＝－3.故选B.
10.3【解析】根据根与系数的关系,得x1+x2＝2m+3.∵x1+x2＝m2,∴m2＝2m+3,解得m＝3或m＝－1.当m＝3时,方程为x2－9x+9＝0,△＝(－9)2－4×1×9＝45>0,此时方程有解；当m＝－1时,方程为x2－x+1＝0,△＝(－1)2－4×1×1＝－3<0,此时方程无实数根故m的值是3.
【易错总结】没有判断一元二次方程根的情况就直接运用一元二次方程根与系数的关系,从而造成错误
利用一元二次方程的根与系数的关系时,要注意使它成立的前提,即方程有实数根的前提是△＝b2－4ac≥0.此题如果取m＝－1,那么该一元二次方程没有实数根,不符合题意
11.A
【解析】x1,x2是一元二次方程x2+x－3＝0的两个实数根,∴x1+x2＝－1,x12+x1－3＝0,x22+x2－3＝0,∴x2＝－1－x1,x12+x1＝3,x22+x2＝3.∴x23－4x12+17＝x23－1－4x12+18＝(x2－1)(x22+x2+1)－4x12+18＝(－1－x1－1)×(3+1)－4x12+18＝－8－4x1－4x12+18＝－8－4(x12+x1)+18＝10－4×3＝－2.故选A.
12.D
【解析】当a＝b时,+＝1+1＝2.当a≠b时∵a,b满足a2－6a+2＝0,b2－6b+2＝0,∴a,b为一元二次方程x2－6x+2＝0的两个根∴a+b＝6,ab＝2,∴+＝＝＝＝16.
∴+＝2或+＝16.故选D.
13.解：甲看错了常数项,一次项没看错,
∴－m＝4+(－1)＝3,∴m＝－3.
∵乙看错了一次项系数,常数项没看错,∴n＝2×(－9),∴n＝－18.
∴方程为x2－3x－18＝0,∴(x－6)(x+3)＝0,∴x1＝6,x2＝－3.
【核心素养解读】此题主要体现了“数学运算”的核心素养.在解题时,往往会看错题目中的某些数据而得到错误的结果,这道题从看错题目入手,反推出正确的题目体现了一种逆向思维
14.解(1)∵关于x的一元二次方程x+x－2＝0有两个实数根,∴△＝()2－4×1×(－2)＝m+8≥0,且m≥0,解得m≥0.故m的取值范围为m≥0.
(2)∵关于x的一元二次方程x2+x－2＝0有两个实数根x1,x2,∴x1+x2＝－,x1x2＝－2,
∴(x1－x2)2－17＝(x1+x2)2－4x1x2－17＝0,即m+8－17＝0,解得m＝9.
15.(1)证明∵△＝[－(m+2)]2－4×2m＝(m－2)2≥0,∴不论m为何值,该方程总有两个实数根
(2)解∵AB,AC的长是该方程的两个实数根,
∴AB+AC＝m+2,aB·AC＝2m.
∵△ABC是直角三角形,且BC为斜边,∴AB2+AC2＝BC2,∴(AB+AC)2－2AB·AC＝BC2
即(m+2)2－2×2m＝32,解得m1＝,m2＝－.
又∵AB·AC＝2m,m为正数,∴m的值是.
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