【优选作业本】卷07 21.3 实际问题与一元二次方程（含解析）

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第二十一章
一元二次方程方程
21.3
实际问题与一元二次方程〔共3课时〕
课时1
传播问题、循环问题和数字问题
基础夯实练
01
传播问题
1.[2020·浙江杭州拱墅区四模]新冠肺炎具有人传人的特性,经调查发现:1人感染后如果不隔离,那么经过两轮传染将会有225人感染.若设1人平均传染x人,依题意可列方程为
(
)
A.1+x＝225
B.1+x2＝225
C.(1+x)2＝225
D.1+(1+x2)＝225
2.[2021·湖北孝感校级月考]某种电脑病毒传播非常快,如果1台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台？
02
循环问题
3.(易错题)[教材P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛,共要比赛110场.设参加比赛的球队有x支,根据题意,下面列出的方程正确的是
(
)
A.x(x+1)＝110
B.
x(x－1)＝110
C.x(x+1)＝110
D.x(x－1)＝110
4.(核心素养·抢红包活动中的一元二次方程模型)某年“国庆节”和“中秋节”双节期间,某微信群规定,群内的每个人都要发一个红包,并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包若此次抢红包活动,群内所有人共收到90个红包,则该群共有
(
)
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
03
数字问题
5.(易错题)一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小3,且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这
个两位数大4.设个位上的数字为x,则方程为
(
)
A.x2+(x－3)2＝10(x－3)+x－4
B.x2+(x－3)2＝10(x－3)+x+4
C.x2+(x－3)2＝10x+x－3－4
D.x2+(x+3)2＝10(x+3)+x+4
6.
[2020·江苏宿迁校级期末]若两个连续整数的乘积为12,则这两个整数中较小的一个是
(
)
A.3
B.－4
C.－3或4
D.－4或3
7.已知三个连续正奇数,它们的平方和为251,求这三个正奇数
能力提升练
8.[教材P22习题21.3第4题改编]某校“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是
(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
9.[2020·安徽安庆校级期末]下表是一张月历表,在此月历表上用一个长方形任意圈出2x2个数(如17,18,24,25),如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153,那么这四个数的和为
(
)
A.40
B.48
C.52
D.56
10.一个直角三角形的三边长是三个连续整数,则它的周长为________,面积为________
课时2
变化率问题和利润问题
基础夯实练
01
变化率问题
1.[2020·浙江衢州中考]某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程
(
)
A.180(1－x)2＝461
B.180(1+x)2＝461
C.368(1－x)2＝442
D.368(1+x)2＝442
2.
[2020·山东泰安校级期末]某地区前年参加中考的人数为5万,今年参加中考的人数为6.05万,则这两年该地区参加中考的人数的年平均增长率是
(
)
A.8%
B.10%
C.12%
D.15%
3.[教材P19探究2变式]某药品原价每盒50元,为了响应国家解决老百姓看病贵的号召,经过连续两次降价,现在售价每盒降低了18元,则该药品平均每次降价的百分率是________
4.[2019·广东广州中考]随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的新兴产业据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座
(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座？
(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率
02
销售利润问题
5.某商店出售一种商品,若每件10元,则每天可销售50件,售价每降低1元,可多卖6件,要使该商品每天的销售额(总售价)为504元,设每件降低x元,则可列方程为
(
)
A.(50+x)(10－x)＝504
B.50(10－x)＝504
C.(10－x)(50+6x)＝504
D.(10－6x)(50+x)＝504
6.(易错题)平遥牛肉是我国美食文化的精华之一.已知某专卖店平遥牛肉的进价为每份10元,现在的售价是每份16元,每天可卖出120份.据市场调查,每份的售价每涨价1元,每天要少卖出10份.如果专卖店每天要想获得770元的利润,且要尽可能的让利给顾客,那么售价应涨价________元
7.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件
(1)若降价3元,则平均每天销售数量为________件
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天的销售利润为1200元？
能力提升练
8.在水果销售旺季,某水果店购进一种优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表的一次函数关系:
(1)若某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元/千克？
9.[2020·四川成都校级期末]深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一,深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间,共接待游客达20万人次,预计在2021年春节长假期间,将接待游客达28.8万人次
(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率
(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶,每杯成本价为6元,根据销售经验,在旅游旺季,若每杯售价25元,则平均每天可销售300
杯,若每杯售价降低1元,则平均每天可多销售30杯,2021年春节期间,店家决定进行降价促销活动,则当每杯售价为多少元时,既能让顾客获得最大优惠,又可让店家的此款奶茶实现平均每天6300
元的利润额？
10.[2020·重庆渝中区校级期末]夏天到来,气温升高,小风扇的需求量越来越大.6月初某超市购进A,B两款小风扇共450个进行销售,其中A款每个售价10元,B款每个售价20元.6月底全部售完这批风扇,销售总额为7000
元
(1)6月初A款风扇与B款风扇分别购进了多少个？
(2)7月份该超市进行促销活动,A款风扇比6月份的售价优惠a%,B款风扇比6月份的售价优惠2a%.活动期间,小风扇的销量明显增加,结果7月份售出的A款风扇数量比6月份售出的A款数量增加了a%,售出的B款风扇数量比6月份售出的B款数量增加了a%,7月份的总销售额比6月份的总销售额增加了a%,求a的值
11.(核心素养·销售中的一元二次方程)全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量随之增加,电器商城从一厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300
元,用7500
元购进A型空气净化器和用6000
元购进B型空气净化器的台数相同
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价分别为多少元
(2)该电器商城决定用不超过14000
元从该厂家购进A,B两种型号的空气净化器共10台,且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍.问:该电器商城有哪几种进货方案？
(3)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,该电器商城决定对B型空气净化器进行降价销售.经市场调查,当B型空气净化器每台的售价为1800
元时,每天可卖出4台,在此基础上,每台的售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天该电器商城销售B型空气净化器的利润为3200
元.请问:该电器商城应将B型空气净化器每台的售价定为多少元？
课时3.
几何图形的面积问题
基础夯实练
01
规则几何图形的面积问题
1.[2020·山东济南校级月考]今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为40m,若将短边长增加到与长边长相等(长边长不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,且面积比原来增加500m2设原来绿地的长边长为xm,则可列方程为
(
)
A.x2－40x＝500
B.x2+40x＝500
C.(x－40x)2＝500
D.x2－1600＝500
2.[教材P21习题21.3第3题改编]一个直角三角形的两条直角边长之比为5:12,斜边长为26,则这个直角三角形的面积为________
3.(易错题)[教材P25复习题21第8题改编]如图,用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD,墙长MN为18m.若所围成的矩形菜园面积为100m,则AB的长为________。
4.
[教材P26复习题21第11题改编]一个矩形的周长为56cm.
(1)当矩形的面积为180cm2时,长、宽分别为多少厘米？
(2)能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由
02
边框与甬道问题
5.在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边,制成一幅矩形挂图.如图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么满足条件的方程是
(
)
A.x2+130x－1400＝0
B.x2+65x－350＝0
C.x2－130x－1400＝0
D.x2－65x－350＝0
6.[2021·广东汕头校级月考]如图是一块长10米、宽8米的地毯,为了美观,设计了两横、两纵的配色条纹.已知配色条纹的宽度相同,条纹外的部分占整个地毯面积的
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价
能力提升练
7.[2020·浙江温州校级期中]《代数学》中记载,形如x2+8x＝33的方程,求正数解的几何方法:如图(1),先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到的大正方形的面积为33+16＝49,则该方程的正数解为7－4＝3.小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时,构造出如图(2)的图形,已知阴影部分的面积为50,则该方程的正数解为________________。
A.6
B.5－
C.5－2
D.5－5
8.[2020·广东深圳校级期末]如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝5cm,BC＝7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,设运动时间为x
s(x>0)
(1)几秒后,PQ的长为5cm？
(2)在运动过程中,△PQB的面积可能等于8cm2吗？请说明理由
21.3
实际问题与一元二次方程
课时1
传播问题、循环问题和数字问题
1.C
2.解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑
依题意,得1+x+(1+x)x＝81.
整理,得(1+x)2＝81,∴1+x＝9或1+x＝－9,
解得x1＝8,x2＝－10(不符合题意,舍去)
∴(1+x)2+x(1+x)2＝(1+x)3＝(1+8)3＝729>700.
答:每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑,三轮感染后,被感染的电脑会超过700台
3.D
【易错总结】混淆单循环与双循环比赛的规则而出错
若有n支球队进行单循环比赛,则每两队之间比赛1场,比赛总场数为；若有n支球队进行双循环比赛,则每两队之间比赛2场,比赛总场数为n(n－1).此题易混淆单循环与双循环比赛的规则而错选B.
4.B
【解析】设这个微信群共有x人.依题意有x(x－1)＝90,解得x1＝－9(不符合题意,舍去),x2＝10,∴这个微信群共有10人.故选B.
【核心素养解读】此题主要体现了“数学建模”和“数学运算”的核心素养.以生活中的微信群抢红包活动为背景设置题目,从而对一元二次方程的实际应用有一个深刻的受,培养学习数学的兴趣,也体现了数学来源于生活,并应用于生活
5.D
【解析】由题设知个位上的数字为x,则十位上的数字为x+3,所以这个两位数为x+10(x+3).根据题意,得x2+(x+3)2＝x+10(x+3)+4.故选D.
【易错总结】数位的表示方法错误
列方程解决数字问题时,一般采用如下的间接设元法:若十位上的数字、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b.三位数等的表示与此类同
6.D
【解析】设这两个整数中较小的一个是x,则较大的一个是(x+1).根据两数之积为12,可得方程x(x+1)＝12,解得x1＝3,x2＝－4.故选D.
7.解：设这三个连续正奇数依次为n－2,n,n+2,其中n为奇数,且n>2.依题意列方程,得(n－2)2+n2+(n+2)2＝251,∴3n2＝243,∴n2＝81,∴n＝9或n＝－9不符合题意,舍去)
当n＝9时,n－2＝7,n+2＝11.
∴这三个连续正奇数分别为7,9,11
8.【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支.根据主干、支干和小分支的总数是43,即可得出关于x的一元二次方程1+x+x2＝43,解得x1＝－7(不符合题意,舍去),x2＝6.所以这种植物每个支干长出的小分支个数是6.故选C.
9.c
【解析】设最小数为x,则另外三个数分别为x+1,x+7,x+8.根据题意可列方程x(x+8)＝153,解得x1＝9,x2＝－17(不符合题意,舍去),所以x+1＝10,x+7＝16,x+8＝17.所以这四个数分别为9,10,16,17.所以9+10+16+17＝52.故选C.
【方法解读】解决月历表中的数字问题时,必须明确月历表中的数字规律:同一行中相邻的两数相差1,同一列中相邻的两数相差7.
10.12
6【解析】设该直角三角形较长的直角边长为x,则另外两边长分别为x－1,x+1.依题意,得(x－1)2+x2＝(x+1)2,解得x1＝0(不符合题意,舍去),x2＝4∴该直角三角形的三边长分别为3,4,5,∴该三角形的周长为3+4+5＝12,三角形的面积为×3×4＝6.
课时2
变化率问题和利润问题
1.B
2.B
【解析】设年平均增长率为x.根据题意,得5(1+x)2＝6.05,解得x1＝0.1＝10%,x2＝－2.1(不符合题意,舍去.所以这两年该地区参加中考的人数的年平均增长率为10%.故选B.
3.20%【解析】设该药品平均每次降价的百分率是x依题意,得50(1－x)2＝50－18,解得x1＝0.2＝20%,x2＝1.8(不符合题意,舍去).故该药品平均每次降价的百分率是20%
4.解(1)1.5×4＝6(万座)
答:计划到2020年底,全省5G基站的数量是6万座
(2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x
依题意,得6(1+x)2＝17.34,
解得x1＝0.7＝70%,x2＝－2.7(不符合题意,舍去)
答:按照计划,2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%
5.c
6.1【解析】设售价应涨价x元,则(16+x－10)(120－10x)＝770,
解得x1＝1,x2＝5.又∵要尽可能的让利给顾客,即涨价应最少,∴x＝1.故售价应涨价1元
【易错总结】忽略所求方程的解是否符合实际问题的要求
运用一元二次方程解决实际问题时,方程的解一般有两个,但由于实际情况的限制有时会有所取舍,解答时,往往会忽略验证方程的解而出现多解的错误
7.解(1)26.
(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天的销售利润为1200元
由题意,得(40－x)(20+2x)＝1200
整理,得x2－30x+200＝0,解得x1＝10,x2＝20.
∵要求每件盈利不少于25元,∴x2＝20应舍去,∴x＝10.
答:当每件商品降价10元时,该商店每天的销售利润为1200元
【方法解读】解决销售利润问题,要注意以下两点:(1)总利润＝单件的利润×销售量.(2)若销售单价降低,则销售量应加上增加的量；若销售单价提高,则销售量应减去减少的量
8.解(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b(k≠0)
分别将x＝22.6,y＝34.8与x＝24,y＝32代入y＝kx+b,
得,解得.
∴y与x之间的函数解析式为y＝－2x+80.
∴当x＝23.5时,y＝－2×23.5+80＝33.
答:当天该水果的销售量为33千克
(2)根据题意,得(x－20)(－2x+80)＝150,解得x1＝35,x2＝25.
∵20≤x≤32,∴x＝25.
答:如果某天销售这种水果获利150元那么该天水果的售价为25元/千克
9.解(1)设年平均增长率为x
由题意,得20(1+x)2＝28.8,
解得x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2(不符合题意,舍去)
答:东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%
(2)设每杯售价为a元
由题意,得(a－6)[300+30(25－a)]＝6300,
解得a1＝21,a2＝20.
又∵要让顾客获得最大优惠,∴a＝20.
答:当每杯售价为20元时,既能让顾客获得最大优惠,又可让店家的此款奶茶实现平均每天6300元的利润额
10.解(1)设6月初A款风扇购进了x个,B款风扇购进了y个
依题意,得,解得＝
故6月初A款风扇购进了200个,B款风扇购进了250个
(2)依题意,得10(1－a%)×200(1+a%)+20(1－2a%)×250(1+a%)＝7000(1+a%),
整理,得a2－20a＝0,
解得a1＝20,a2＝0(不符合题意,舍去)
故a的值为20.
11.解(1)设一台B型空气净化器的进价为x元,则一台A型空气净化器的进价为(x+300)元
由题意,得＝,解得x＝1200
经检验,x＝1200是原方程的根,且符合题意
∴x+300＝1500.
答:一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价分别为1500元、1200元
(2)设购进A型空气净化器y台,则购进B型空气净化器(10－y)台
根据题意,得1500y+1200(10－y)≤14000,10－y<2y,
解得故该电器商城共有以下三种进货方案:
①购进A型空气净化器4台,B型空气净化器6台；
②购进A型空气净化器5台,B型空气净化器5台；
③购进A型空气净化器6台,B型空气净化器4台
(3)设该电器商场应将B型空气净化器每台的售价定为m元
根据题意,得(m－1200)
eq
\b
\bc\((4+)
＝3200
解得m1＝m2＝1600.
答:该电器商城应将B型空气净化器每台的售价定为1600元
【核心素养解读】此题体现了“数学建模”和“数学运算”的核心素养.数学建模就是对实际问题进行数学抽象,用数学语言表达问题,从而用数学方法构建模型解决问题销售增长(降低)率问题是现实生活中经常遇到的实际问题,常需要建立一元二次方程模型来解答
课时3
几何图形的面积问题
1.A
2.120【解析】由一个直角三角形的两条直角边长之比为5:12可设每份为x,则两条直角边长分别为5x,12x.勾股定理,得25x2+144x2＝262,解得x1＝－2(不符合题意,舍去),x2＝2,两条直角边长分别为10,24.∴该直角三角形的面积为×10×24＝120.
3.10m【解析】设AB＝xm,则BC＝(30－2x)m.根据题意,得x(302x)＝100,解得x1＝5,x2＝10.当AB＝5m时,BC＝30－2×5＝20(m),20>18,不符合题意,舍去；当AB＝10m时,BC＝30－2×10＝10(m),符合题意故AB的长为10m.
【易错总结】忽略自变量的取值范围
运用一元二次方程解决实际问题时,方程的解一般有两个,但由于实际情况的限制有时会有所取舍尤其是几何图形问题,除了保证图形的边长为正数,还要注意题目中的限制条件,如此题中BC的长不大于18m.
4.解(1)设矩形的长为xcm,则宽为(28－x)cm
因为x>28－x,所以x>14.
依题意,得x(28－x)＝180,解得x1＝10(不符合题意,舍去),x2＝18,
所以28－x＝28－18＝10
故长为18cm、宽为10cm
(2)假设能围成面积为200cm2的矩形,则依题意,得x(28－x)＝200,即x2－28x+200＝0,
所以△＝282－4×1×200＝－16<0,所以原方程无实数根.
故不能围成一个面积为200cm2的矩形
5.B
【解析】由题设知金色纸边的宽为x
cm,所以根据“(风景画的长+2个纸边的宽度)×(风景画的宽+2个纸边的宽度＝整个挂图的面积”可得出方程(80+2x)(50+2x)＝5400.整理,得x2+65x－350＝0.故选B
6.解(1)设配色条纹的宽度为x米.
依题意,得(10－2x)(8－2x)＝×10×8,
解得x1＝(>8,不符合题意,舍去),x2＝
答:配色条纹的宽度为米
(2)地毯的总造价为
eq
\b
\bc\((1－)
×10×8×200+×10×8×100＝9700(元)
答:地毯的总造价为9700元
7.D
【解析】如题图(2),先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形,得到的大正方形的面积为50+
eq
\b
\bc\(()
eq
\s\up7(2)
×4＝50+25＝75,方程x2+10x+m＝0的正数解为－×2＝5－5.故选D
8.解(1)由题意知,AP＝xcm,BQ＝2xcm,则BP＝(5－x)cm
当PQ＝5cm时,在Rt△PBQ中BP2+BQ2＝PQ2,
∴(5－x)2+(2x)2＝52,
解得x1＝0(不符合题意,舍去),x2＝2
答:2s后,PQ的长为5cm
(2)不可能理由如下:
假设y
s后,△PBQ的面积为8cm2
根据题意,得×(5－y)×2y＝8.整理,得y2－5y+8＝0
∵△＝(－5)2－4×1×8＝－7<0,∴方程无实数根,
∴△PQB的面积不可能等于8cm2
【方法解读】列一元二次方程解决动态问题的方法
要学会用运动的观点看问题,首先根据已知条件设出未知数,然后把图形中变化的线段用含未知数的代数式表示出来,最后根据题中给出的等量关系(可以是图形的面积、勾股定理等)列出方程并求解
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精品试卷·第
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