【优选作业本】卷13 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（含解析）

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第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图像和性质
22.1.3
二次函数y＝a(x－h)2+k的图像和性质（共3课时）
课时1
二次函数y＝ax2+k的图像和性质
基础夯实练
01
二次函数y＝ax2+k的图像和性质
1.函数y＝－x2+1的图像大致为
(
)
2.关于二次函数y＝－2x2+1,以下说法正确的是
(
)
A.图像的开口向上
B.图像的顶点坐标是(－2,1)
C.当x<0时,y随x的增大而增大
D.当x＝0时,y有最大值－
3.(易错题)如图,已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y＝x2－1上,则下列说法正确的是
(
)
A.若x1＝－x2,则y1＝－y2
B.若y1＝y2,则x1＝x2
C.若x1D.若04.已知二次函数y＝－x2－2,当－1≤x≤2时,函数y的最小值是________________。
5.已知抛物线y＝－2x2+(m－1)x+m+3的对称轴是y轴
(1)求m的值；
(2)求出该抛物线的解析式,并确定该抛物线对应的次函数的增减性
02
二次函数y＝ax2+k图像的平移
6.在平面直角坐标系中,如果把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位长度,那么得到的抛物线的解析式是
(
)
A.y＝－2(x+1)2
B.y＝－2(x－1)
2
C.y＝－2x2+1
D.y＝－2x2－1
7.抛物线y＝－3x2+1是将
(
)
A.抛物线y＝－3x2向左平移3个单位长度得到的
B.抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的
C.抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的
D.抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
8.把抛物线y＝ax2+c向下平移3个单位长度得到抛物线y＝－2x2－1.
(1)求平移前的抛物线的解析式；
(2)求函数y＝ax2+c的最大值或最小值,并指出相应的x的值；
(3)指出当x为何值时,(1)中抛物线对应的函数值y随x的增大而减小
能力提升练
9.在同一平面直角坐标系中,一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图像大致是
(
)
10.如图,两条抛物线y1＝－+1,y2＝－x2－1与分别经过点(－2,－1),(2,－3)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
(
)
A.8
B.6
C.10
D.4
11.对于二次函数y＝(m+3)xm+5m－12+3,当x<0时,y随x的增大而增大,则
m＝________________。
12.如图,抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2+4都经过x轴上的A,B两点,两条抛物线的顶点分别为C,D,当四边形ACBD的面积为40时,a的值为________
13.如图是某地区一条公路上的隧道入口在平面直角坐标系上的示意图,点A和A1,点B和B1分别关于y轴对称.隧道拱形部分BCB1为一段抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8m,点B离路面AA1的距离为6m,隧道宽AA1为16m.
(1)求隧道拱形部分BCB1对应的函数解析式
(2)现有一大型货车,装载某大型设备后,宽为4m,装载设备的顶部离路面均为7m.问:它能否安全通过这个隧道？请说明理由
培优压轴练
14.如图,抛物线y＝ax2+c与x轴交于A,B两点,顶点为C,点P在抛物线上,且位于x轴的下方.若P(1,－3),B(4,0)
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D是抛物线上一点,满足∠DPO＝∠POB,求点D的坐标.
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝x2+与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称
(1)点B的坐标是________
(2)过点B的直线y＝kx+b(k<0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB＝PC,求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由
(3)在
(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.
课时2
二次函数y＝a(x－h)2的图像和性质
基础夯实练
01
二次函数y＝a(x－h)2的图像和性质
1.对于函数y＝－2(x－3)2,下列说法不正确的是
(
)
A.开口向下
B.对称轴是直线x＝3
C.最大值为0
D.与y轴不相交
2.二次函数y＝－a(x－h)2的图像如图,则下列结论正确的是
(
)
A.a>0,h>0
B.a>0,h<0
C.a<0,h>0
D.a<0,h<0
3.已知二次函数y＝－(x+h)2,当x<－3时,y随x的增大而增大,当x>－3时,y随x的增大而减小,当x＝0时,y的值为
(
)
A.－1
B.－9
C.1
D.9
4.对于二次函数y＝3x2+1和y＝3(x－1)2,有以下说法:①它们的图像都是开口向上；②它们图像的对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0)；③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的图像的开口大小是一样的.其中正确的说法有
(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.已知A(－1,y1),B(－2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y＝－2(x+2)2的图像上,则y1,y2,y3的大小关系为________________(用“>”连接)
6.已知抛物线y＝a(x+4)2经过点M(－3,2),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(3)写出y随x的变化规律；
(4)判断该函数有最大值还是最小值,并求出这个最值
02
二次函数y＝a(x－h)2图像的平移
7.将抛物线y＝－3x2平移得到抛物线y＝－3(x+2)2,则这个平移过程正确的是
(
)
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
8.(易错题)把抛物线y＝－x2沿x轴平移5个单位长度,那么平移后的抛物线的解析式是________。
9.将抛物线y＝ax2向右平移后所得新抛物线的对称轴是直线x＝2,且新抛物线经过点(－1,－3),求a的值
能力提升练
10.在一次函数y＝kx+b(k≠0)中,y随x的增大而减小,则二次函数y＝k(x－1)2的图像大致是
(
)
11.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数),当自变量x的值满足1≤x≤3时,y的最大值为－1,则h的值为
(
)
A.2或4
B.0或4
C.2或3
D.0或3
12.把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A,该抛物线与y轴交于点B,抛物线y＝－3(x－h)2的顶点为M,求:
(1)a,h的值；(2)s△MAB
13.已知:如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y＝a(x－h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.
(1)求直线l的解析式；
(2)若S△AMP＝3,求抛物线的解析式.
14.如图,以边长为1的正方形ABCO的两边OA,OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,点O为坐标原点
(1)求以点A为顶点,且经过点C的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与对角线OB交于点D,求点D的坐标.
培优压轴练
15.如图,已知二次函数y＝(x+2)2的图像与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求点A、点B的坐标
(2)过点B平行于x轴的直线交抛物线于点C,求四边形OACB的面积
(3)是否存在点P,使以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由
16.(核心素养·二次函数的压轴题)如图,已知直线y＝－x+2与抛物线y＝a(x+2)2相交于A,B两点,点A在y轴上,M为抛物线的顶点
(1)请直接写出点A,B的坐标及该抛物线的解析式
(2)若P为线段AB上的一个动点(A,B两端点除外),连接PM,设线段PM的长为l,点P的横坐标为x,请求出l2与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围
(3)在(2)的条件下,线段AB上是否存在点P,使以A,M,P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由
课时3
二次函数y＝a(x－h)2+k的图像和性质
基础夯实练
01
二次函数y＝a(x－h)2+k的图像和性质
1.(易错题)抛物线y＝－(x+1)2－2的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是
(
)
A.开口向上,直线x＝－1,(－1,2)
B.开口向上,直线x＝1,(1,2)
C.开口向下,直线x＝－1,(－1,－2)
D.开口向下,直线x＝1,(1,－2)
2.二次函数y＝2(x+2)2－1的图像是
(
)
3.[教材P37练习改编]关于二次函数y＝(x+1)2－3的图像,下列说法错误的是
(
)
A.开口向上
B.对称轴为直线x＝－1
C.当x<－1时,y随x的增大而减小
D.当x＝－1时,有最大值y＝－3
4.点A(－4,3),B(0,k)在二次函数y＝－(x+2)2+h的图像上,则k＝________
5.已知二次函数图像的顶点坐标是(2,－1),形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下,则这个二次函数的解析式是________________________。
02
二次函数y＝a(x－h)2+h的图像的平移
6.将二次函数y＝(x－1)2+2的图像向上平移3个单位长度,得到的抛物线相应的函数解析式为
(
)
A.y＝(x+2)2－2
B.y＝(x－4)2+2
C.y＝(x－1)2－1
D.y＝(x－1)2+5
7.(易错题)将抛物线y＝2x2平移,得到抛物线y＝2(x+4)2+1,下列平移过程正确的是
(
)
A.先向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.先向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
8.(易错题)在平面直角坐标系中,如果抛物线y＝4x2+3不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的解析式是________
9.把二次函数y＝a(x－h)2+k的图像先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数y＝(x+1)2－1的图像.
(1)试确定a,h,k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2+k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
能力提升练
10.如图,在平面直角坐标系中,有两条抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是
(
)
A.
m＝k
B.m＝h
C.k>n
D.h<0,n>0
11.如图,将函数y＝(x+3)2+1的图像沿y轴向上平移得到一个新函数的图像,其中点A(－4,m),B(－1,n),平移后的对应点分别为点A′,B′。若曲线段AB扫过的面积为9(图(第11题图)中的阴影部分),则新图像对应的函数解析式是
(
)
A.y＝(x+3)2－2
B.y＝(x+3)2+7
C.y＝(x+3)2－5
D.y＝(x+3)2+4
12.将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称,再向右平移3个单位长度后的抛物线的顶点的坐标是________
13.下列关于二次函数y＝－(x－m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图像与函数y＝－x2的图像的形状相同；②该函数的图像一定经过点(0,1)；③当x>0时,y随x的增大而减小；④该函数的图像的顶点在函数y＝x2+1的图像上.其中,所有正确结论的序号是________
14.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的函数解析式
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
15.如图,抛物线y＝a(x－h)2+经过点A(0,1),且顶点B的坐标为(1,2),对称轴与x轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式
(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标.
培优压轴练
16.(核心素养·实际应用题)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x
min时,A,B两组材料的温度分别为yA℃,yB℃.yA,yB与x的函数关系式分别为yA＝kx+b,yB＝(x－60)2+m(部分图像如图,当x＝40时,两组材料的温度相同).
(1)分别求出yA,yB关于x的函数关系式
(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少？
(3)在022.1.3
二次函数y＝a(x－h)2+k的图像和性质
课时1
二次函数y＝ax2+k的图像和性质
1.B【解析】抛物线y＝－x2+1的开口向下对称轴为y轴,图像与y轴交于点(0,1).故选B.
2.【解析】二次函数y＝－2x2+1的图像的开口向下,其顶点坐标为(0,1),∴选项A,B均错误；当x<0时,y随x的增大而增大,选项C正确；当x＝0时,y有最大值1,∴选项D错误.故选C.
3.D【解析】A.若x1＝－x2,则y1＝y2,所以该选项错误；B.若y1＝y2,则|x1|＝|x2|,所以该选项错误；C.若x1y2,所以该选项错误；D.若0【易错总结】忽略二次函数y＝ax2+增减性的相应范围导致判断出错
二次函数y＝ax2+k的增减性与一次函数的增减性不同,它以对称轴为界限讨论增减性,如果在比较函数值时,点没有在对称轴同一侧,应对称到同一侧再进行比较
4.－6【解析】画出二次函数y＝－x2－2的大致图像,如答图根据图像可知,当x＝2时,函数y有最小值,最小值为y＝－2－2＝－6
【方法解读】确定二次函数的最值时,要先画出大致图像,再根据自变量的取值范围确定抛物线中的最高点或最低点,从而求出最大值或最小值
5.解：(1)∵抛物线y＝－2x2+(m－1)x+m+3的对称轴是y轴,∴m－1＝0,∴m＝1
(2)由(1)知m＝1,∴抛物线的解析式为y＝－2x2+4,∴当x>0时,y随x的增大而减小；当x<0时,y随x的增大而增大
6.c
7.D【解析】将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到抛物线y＝－3x2+1.故选D.
8.解：(1)∵把抛物线y＝ax2+c的图像向下平移3个单位长度得到抛物线y＝－2x2－1,
∴a＝－2,c－3＝－1,∴c＝2,
∴平移前的抛物线的解析式为y＝－2x2+2
(2)∵a＝－2<0,∴当x＝0时,函数y＝－2x2+2取得最大值,最大值为2
(3)∵原抛物线的对称轴为直线x＝0,且a＝－2<0,∴当x≥0时,函数y＝－2x2+2的y值随x的增大而减小
9.B【解析】A.由一次函数的图像可知a>0,c>0,由二次函数的图像可知a<0,两者相矛盾,不符合题意；B.由一次函数的图像可知a<0,c>0,由二次函数的图像可知a<0,c>0两者相吻合,符合题意；C.由一次函数的图像可知a<0,c>0,由二次函数的图像可知a>0,两者相矛盾,不符合题意；D.由一次函数的图像可知a<0,c<0,由二次函数的图像可知a>0,两者相矛盾,不符合题意.故选B.
10.A【解析】∵两抛物线解析式的二次项系数相同,∴两抛物线的形状相同,一条抛物线可由另一条抛物线上下平移得到由平移的性质易知,抛物线y1＝－x2+1与直线y＝－1围成的阴影部分的面积等于抛物线y2＝－x2－1与直线y＝－3围成的部分的面积,∴S阴影＝×＝4×2＝8.故选A.
【方法解读】根据抛物线平移的特点求阴影部分的面积的方法
首先利用平移的性质将阴影部分的面积转化为规则图形的面积,然后求解即可
11.－7【解析】∵函数y＝(m+3)xm+5m－12+3为二次函数,且当x<0时,y随x的增大而增大,∴m2+5m－12＝2,且m+3<0,解得m＝－7
12.0.16【解析】抛物线y＝ax2－4和y＝－ax+4都经过x轴上的A,B
两点,∴A,B两点的坐标分别是
eq
\b
\bc\((－
eq
\f(2,a)
，０)
,
eq
\b
\bc\((
eq
\f(2,a)
，０)
又∵抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2+4的顶点分别为C,D,∴点C,D的坐标分别是(0,－4),(0,4),
∴CD＝8,AB＝
eq
\f(4,a)
∴S四边形ACBD＝S△ABD+S△ABC＝AB·OD+AB·OC＝AB·CD＝×
eq
\f(4,a)
×8,
∴×
eq
\f(4,a)
×8＝40,解得a＝0.16
13.解：(1)如答图.由已知得OA＝OA1＝AA1＝AA1＝×16＝8(m),OC＝8m,AB＝6m,故(0,8),B(－8,6).
设隧道拱形部分BCB1对应的函数解析式为y＝ax2+8,
将点B的坐标代入,得a×(－8)2+8＝6,解得a＝－
所以隧道拱形部分BCB1对应的函数解析式为y＝－x2+8(－8≤x≤8).
(2)若货车从隧道正中行驶,则其最右侧到y轴的距离为2m
设抛物线上横坐标为2的点为D,过点D作DE⊥AA1于点E,如答图.
当x＝2时,y＝－×22+8＝7,即D(2,7),所以DE＝7m因为7>7,所以该货车能安全通过这个隧道
【方法解读】解抛物线形的实际问题时,常会用到建模思想.解答时,首先要建立合适的平面直角坐标系,将物体的形状转化得到抛物线,并将实际情景中的条件转化为二次函数解析式的求解条件,然后运用二次函数的图像与性质来解答
14.解：(1)分别将点P(1,－3),B(4,0)的坐标代入y＝ax2+c,得
,解得
eq
\b
\lc\{(\a
\al
\co1(a＝,c＝－))
.
∴该抛物线的解析式为y＝x2－
(2)如答图.当点D在OP的左侧时,连接DP,OP,由∠DPO＝∠POB,得DP∥OB,∴点D与点P关于y轴对称∵P(1,－3),∴D(－1,－3)当点D在OP右侧(设为D′)
(第14题答图)
时,延长PD′交x轴于点G
过点P作PH⊥OB于点H,则OH＝1,PH＝3.
∵∠D′PO＝∠POB,∴PG＝OG.
设OG＝x,则PG＝x,HG＝x－1.
在Rt△PGH中,由x2＝(x－1)2+32,得x＝5.∴G(5,0)∴直线PG
的解析式为y＝x－,
联立方程组
eq
\b
\lc\{(\a
\al
\co1(y＝x－,y＝x2－))
解得或
eq
\b
\lc\{(\a
\al
\co1(x2＝,y2＝－))
∵P(1,－3),∴D′(,－
)
综上所述,点D的坐标为(－1,－3)(
,－
)
15.解：(1)(0,)
(2)由(1)知,点B的坐标为(0,),∴直线y＝kx+b(k≠0)的解析式为y＝kx+
令y＝0,得kx+＝0,解得x＝－,∴0C＝－
∵PB＝PC,∴点P只能在x轴上方
如答图(1),过点B作BD⊥于点D.
设PB＝PC＝m,则BD＝OC＝－,CD＝OB＝,
∴＝PD＝PC－CD＝m－
在Rt△PBD中,由勾股定理可得PB2＝PD2+BD2,即m2＝
eq
\b
\bc\((
m－)
eq
\s\up7(2
)
+
eq
\b
\bc\((－)
eq
\s\up7(2
)
,解得m＝+,∴PC＝PB＝+。点P的坐标为
eq
\b
\bc\((－，+)
把x＝－代入y＝x2+,可得y＝+,点P在抛物线上
(3)如答图(2),连接CC′
∵l∥y轴,∴∠obC＝∠PCB.
∵PB＝PC,∴∠PCB＝∠PBC,∴∠PBC＝∠OBC
∵点C,C′关于直线BP对称,且点C在抛物线的对称轴上,即在y轴上,∴∠PBC＝∠PBC,
∴∠OBC＝∠CBP＝∠CBP＝60°,∴∠OCB＝30°
在Rt△OBC中OB＝,∴BC＝1,∴OC＝
eq
\f(,2)
,即点P的横坐标为
eq
\f(,2)
将x＝
eq
\f(,2)
代y＝x2+,可得y＝
eq
\b
\bc\((
eq
\f(,2)
)
+＝1
∴点P的坐标为
eq
\b
\bc\((
eq
\f(,2)
，1)
课时2
二次函数y＝a(x－h)2的图像和性质
1.D【解析】函数y＝－2(x－3)2的图像的开口向下,对称轴是直线x＝3,顶点坐标为(3,0),函数有最大值0,与y轴相交于点(0,－18).故选D
2.c【解析】根据抛物线的开口向上,可得－a>0,则a<0.根据抛物线的对称轴是直线x＝h,且对称轴在y轴右侧,可得h>0.故选C.
3.B【解析】由题意,得二次函数y＝－(x+h)2的图像的对称轴为直线x＝－3,所以h＝3,所以y＝－(x+3)2.当x＝0时,y＝－(0+3)2＝－9.故选B.
4.B【解析】二次函数y＝3x2+1的图像的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,1)；二次函数y＝3(x－1)2的图像的开口向上,对称轴是直线x＝1,顶点坐标是(1,0)；二次函数y＝3x2+1和y＝3(x－1)2的图像的开口大小一样.因此正确的说法有2个.故选B.
5.y2>y1>y3【解析】二次函数的解析式为y－2(x+2)2,∴该二次函数图像的开口向下,对称轴为直线x＝－2,∴当x≥－2时,y随x的增大而减小.又∵A(－1,y1),B(－2,y2),C(3,y3),∴y2>y1>y3
【一题多解】
分别将点A(－1,y1),B(－2,y2),C(3,y3)的坐标代入二次函数y＝－2(x+2)2,则y1＝－2×(－1+2)2＝－2,y2＝－2×(－2+2)2＝0,y3＝－2×(3+2)2＝－50.∴y2>y1>y3
6.解：(1)∵抛物线y＝a(x+4)2经过点M(－3,2),∴a(－3+4)2＝2,解得a＝2,∴抛物线的解析式为y＝2(x+4)2
(2)∵y＝2(x+4)2,a＝2>0,∴抛物线的开口向上,顶点坐标为(－4,0),对称轴为直线x＝－4.
(3)当x<－4时,y随x的增大而减小；当x>－4时,y随x的增大而增大
(4)当x＝－4时,函数有最小值,为0
7.【解析】直接利用函数图像的平移规律“左加右减”可得,将抛物线y＝－3x2向左平移2个单位长度后得到抛物线y＝－3(x+2)2.故选C.
8.y＝－(x－5)2或y＝－(x+5)2【解析】分两种情况:(1)把抛物线y＝－x2沿x轴右平移5个单位长度,得到的抛物线为y＝－(x－5)2；(2)把抛物线y＝－x2沿x轴左平移5个单位长度,得到的抛物线为y＝－(x+5)2
【易错总结】
未分类讨论导致漏解
把抛物线沿x轴平移,可分为向左和向右两种情况,若题目中没指明具体左右方向时要注意分类讨论
9.解：∵将抛物线y＝ax2向右平移后所得新抛物线的对称轴是直线x＝2
∴新抛物线的解析式为y＝a(x－2)2
∵新抛物线经过点(－1,－3),∴－3＝a×(－1－2)2,解得a＝－.故a的值为－
10.B【解析】在一次函数y＝kx+b(k≠0中,y随x的增大而减小,∴k<0,∴抛物线y＝k(x－1)2的开口向下,顶点坐标为(1,0),对称轴为直线x＝1.故选B.
11.B【解析】此二次函数图像的对称轴为直线x＝h,开口向下,且1≤x≤3.①当h≥3,x＝3时,y取得最大值,即－(3－h)2＝－1,解得h1＝2(不符合题意,舍去),h2＝4；②当h≤1,x＝1时,y取得最大值,即－(1－h)2＝－1,解得h3＝0,h4＝2(不符合题意,舍去)；③当112.解：(1)∵把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x－h)2,
∴a＝－3,4－6＝h,∴h＝－2.
(2)由(1)知a＝－3,∴抛物线y＝a(x－4)2即抛物线y＝－3(x－4)2
∵抛物线y＝－3(x－4)2的顶点为A,该抛物线与y轴交于点B,∴A(4,0),B(0,－48)
∵抛物线y＝－3(x－h)2即抛物线y＝－3(x+2)2的顶点为M,∴M(－2,0)
∴S△MAB＝××＝144.
13.解：(1)设直线l的函数解析式为y＝kx+b(k≠0)
分别把点A(4,0),B(0,4)的坐标代入y＝kx+b,得,解得
∴直线l的函数解析式为y＝－x+4.
(2)设点M的坐标为(m,n)
∵S△AMP＝3,×(4－1)n＝3,解得n＝2.
把点M(m,2)的坐标代入y＝－x+4,得2＝－m+4,解得m＝2,∴M(2,2)
∵抛物线y＝a(x－h)2的顶点为P(1,0),∴y＝a(x－1)2
把点M(2,2)的坐标代入y＝a(x－1)2,得2＝a(2－1)2,解得a＝2.
∴抛物线的解析式为y＝2(x－1)2
14.解：(1)根据题意可得,点A的坐标是(1,0),点C的坐标是(0,1)设以点A为顶点,且经过点C的抛物线的解析式是y＝a(x－1)2,则a(－1)2＝1,解得a＝1.
∴抛物线的解析式是y＝(x－1)2
(2)设直线OB的解析式是y＝kx(k≠0).
把点B(1,1)的坐标代入,得k＝1,∴直线OB的解析式为y＝x
∴线段OB对应的解析式为y＝x(0≤x≤1)
由,解得
eq
\b
\lc\{(\a
\al
\co1(x＝
eq
\f(3+,2)
,x＝
eq
\f(3+,2)
))
或
eq
\b
\lc\{(\a
\al
\co1(x＝
eq
\f(3－,2)
,x＝
eq
\f(3－,2)
))
∵0≤x≤1,∴点D的坐标是
eq
\b
\bc\((
eq
\f(3－,2)
，
eq
\f(3－,2)
)
15.解：(1)∵二次函数y＝(x+2)2的图像与轴交于点B,∴B(0,4)
由(x+2)2＝0,解得x1＝x2＝－2.∴A(－2,0).
(2)∵过点B平行于x轴的直线交抛物线于点C,∴由4＝(x+2)2,
解得x1＝0,x2＝－4,∴C(－4,4).
∴BC＝4,OB＝4,OA＝2.
∴S四边形OACB＝(OA+BC)·OB＝×6×4＝12.
(3)存在点P,使以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形
①当BC为平行四边形的边时,BC＝AP＝4,且点P必在x轴上
设P(m,0),∴AP＝,∴＝4,∴m1＝2,m2＝－6.∴P1(2,0),P2(－6,0).
②当BC为平行四边形的对角线时,对角线PA和BC互相平分.设P(x,y),根据中点坐标公式,得－2+x＝－2×2,0+y＝4×2,解得x＝－2,y＝8,∴P3(－2,8)
综上所述,满足条件的点P有三个,分别为P1(2,0),P2(－6,0),P3(－2,8)
16.解：(1)A(0,2),B(－5,)抛物线的解析式是y＝(x+2)2
(2)如答图,P为线段AB上任意一点,连接PM,过点P作PD⊥x轴于点D.设点P的坐标是(x,－x+2)在Rt△PDM中,PM2＝DM2+PD2,即t2＝(－2－x)2+(－x+2)2＝x2+2x+8.故l2与x之间的函数关系式是l2＝5x2+2x+8,自变量x的取值范围是－5(3)存在满足条件的点P
如答图,连接AM.
由题意,得AM＝＝2.
①当PM＝PA时,x2+2x+8＝x2+(－x+2－2)2,解得x＝－4.把
x＝－4代入y＝－x+2,得y＝－×(－4)+2＝4,∴P1(－4,4)
②当PM＝AM时,x2+2x+8＝(2)2,解得x1＝,x2＝0(舍去).
把x＝－代入y＝－x+2,得y＝－×
eq
\b
\bc\((－)
+2＝
∴P2(－,)
③当PA＝AM时,x2+(－x+2－2)
2＝(2)2,解得x1＝－
eq
\f(4,5)
,x2＝
eq
\f(4,5)
(舍去).
把x＝－
eq
\f(4,5)
代入y＝－x+2,得y＝－×
eq
\b
\bc\((－
eq
\f(4,5)
)
+2＝
eq
\f(2+10,5)
∴P3＝
eq
\b
\bc\((－
eq
\f(4,5)
，
eq
\f(2+10,5)
)
综上所述,存在点P,使以A,M,P为顶点的三角形是等腰三角形,点P坐标是(－4,4)或(－,)或
eq
\b
\bc\((－
eq
\f(4,5)
，
eq
\f(2+10,5)
)
【核心素养解读】此题体现了“直观想象”“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养此题是一道典型的二次函数的压轴题,难度较大,以动点问题和点的存在性问题为背景,考查的知识点综合性较强,培养逻辑推理能力和拓展应用能力
课时3
二次函数y＝a(x－h)2+k的图像和性质
1.C
【易错总结】运用顶点式确定抛物线的顶点坐标、对称轴时,弄错符号
利用二次函数的顶点式y＝a(x－h)2+k(a≠0)确定抛物线的顶点坐标、对称轴时,一定要注意顶点坐标是(h,k),对称轴是直线
x＝h.
2.c
3.D【解析】二次函数y＝(x+1)2－3的图像的开口向上,对称轴是直线x＝－1,当x<－1时,y随x的增大而减小,当x＝－1时,有最小值y＝－3.故选D.
4.3【解析】由二次函数y＝－(x+2)2+h可知,此抛物线的对称轴为直线x＝－2,∴点A(－4,3)关于对称轴x＝－2对称的点的坐标为(0,3).又∵点B(0,k)在二次函数y＝－(x+2)2+h的图像上,∴点B就是点A关于对称轴x＝－2的对称点,∴k＝3
【一题多解】
将点A(－1,3)的坐标代入二次函数y＝－(x+2)2+h,得3＝－(4+2)2+h,解得h＝7,二次函数y＝－(x+2)2+h的解析式为y＝(x+2)2+7.将点B(0,k)的坐标代入,得k＝－(0+2)2+7＝3.
5.y＝－2(x－2)2－1【解析】二次函数图像的顶点坐标是(2,－1),∴设该二次函数的解析式可设为y＝a(x－)2－1(a≠0)∵该二次函数图像的形状与抛物线y＝2x2的相同且开口方向向下,∴a＝－2,∴这个二次函数的解析式为y＝－2(x－2)2－1.
6.D【解析】由“上加下减”的原则可知,将二次函数y＝(x－1)2+2的图像向上平移3个单位长度,得到的抛物线相应的函数解析式为y＝(x－1)2+(2+3),即y＝(x－1)2+5.故选D.
7.A【解析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y＝2(x+4)2+1的顶点坐标为(－4,1),而将点(0,0)先向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度可得到点(－4,1),所以将抛物线y＝2x2先向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝2(x+4)2+1.故选A.
【易错总结】平移二次函数的图像时,易出现平移方向错误
利用顶点式y＝a(x－h)2+k确定平移方向时,一定要注意左右平移由括号内的h的符号决定,上下平移由k的符号决定
8.y＝4(x+2)2+1【解析】抛物线y＝4x2+3不动,把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度,∴相当于把抛物线分别向下向左平移2个单位长度,∴由“上加下减,左加右减”的原则可知,把抛物线y＝4x2+3分别向下、向左平移2个单位长度后所得的抛物线的解析式为y＝4(x+2)2+1.
【易错总结】混淆抛物线的平移与坐标轴的平移
抛物线的平移规律为“左加右减,上加下减”而对于坐标轴的平移,则需要利用相对运动原理转化为抛物线的平移规律
9.解：(1)根据题意,得原二次函数的解析式为y＝(x－1)2－5,所以a＝,h＝1,k＝－5.
(2)开口向上,对称轴为直线x＝1,顶点坐标为(1,－5)
10.A【解析】由函数的图像可知,两条抛物线的对称轴相同,则m＝h抛物线y＝(x－m)2+n与y轴的交点在抛物线y＝(x－h)2+k的下方,则k>n∵两条抛物线的对称轴均在x轴的左侧,与y轴的交点均在y轴的正半轴,∴h<0,m<0,k>0,n>0.故选A.
11.D【解析】函数y＝(x+3)2+1的图像经过点A(－4,m),B(－1,n),∴m＝(－4+3)2+1＝1,n＝×(－1+3)2+1＝3,∴A(－4,1),B(－1,3)如答图,过点A作AC∥x轴,交BB′于点C,则C(－1,1),AC＝4－1＝3.曲线段AB扫过的面积为9,∴AC·AA′＝3AA′＝9,∴AA′＝3,即将函数y＝(x+3)2+1的图像沿y轴向上平移3个单位长度得到一个新函数的图像,∴新图像对应的函数解析式是y＝(x+3)2+4.故选D.
12.(2,－5)【解析】抛物线y＝(x－1)2－5的顶点坐标是(1,－5),∴将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称后的抛物线的顶点的坐标是(－1,－5),∴再向右平移3个单位长度后的抛物线的顶点的坐标为(2,－5).
13.①②④【解析】二次函数y＝－(x－m)2+m2+1(m为常数)与函数y＝－x2的二次项系数相同,∴该函数的图像与函数y＝－x2的图像的形状相同,结论①正确.在函数y＝－(x－m)2+m2+1中,令x＝0,则y＝－m2+m2+1＝1,∴该函数的图像一定经过点(0,1),结论②正确∵y＝－(x－m)2+m2+1是二次函数,∴该抛物线的开口向下,对称轴为直线x＝m,∴当x>m时,y随x的增大而减小,结论③错误∵该抛物线的开口向下,∴当x＝m时,函数y有最大值,为m2+1,∴该函数的图像的顶点(m,m2+1)在函数y＝x2+1的图像上,结论④正确
14.解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的函数解析式为y＝a(x－3)2+5(a≠0).
将点(8,0)的坐标代入y＝a(x－3)2+5,得25a+5＝0.
解得a＝－
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的函数解析式为y＝－(x－3)2+5.
(2)当y＝1.8时,(x－3)2+5＝1.8,解得x1＝－1(不符合题意,舍去),x2＝7.
∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内
15.解：(1)∵抛物线y＝a(x－h)2+k的顶点B的坐标为(1,2),
∴y＝a(x－1)2+2
∵抛物线经过点A(0,1),∴a(0－1)2+2＝1,∴a＝－1,
∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2+2＝－x2+2x+1.
(2)如答图,连接PA,PC.设点P的坐标为(x,－x2+2x+1)
∵A(0,1),C(1,0),∴PA2＝x2+(－x2+2x+1－1)2＝x2+(x2－2x)2,PC2＝(x－1)2+(－x2+2x+1)2.
∵PA＝PC,∴PA2＝PC2,
∴x2+(x2－2x)2＝(x－1)2+(－x2+2x+1)2
整理,得x2－x－1＝0,解得x1＝
eq
\f(1+,2)
,x2＝
eq
\f(1－,2)
(舍去)
当x＝
eq
\f(1+,2)
时,－x2+2x+1＝
eq
\f(1+,2)
∴点P的坐标为
eq
\b
\bc\((
eq
\f(1+,2)
，
eq
\f(1+,2)
)
16.解：(1)由函数图像可知,当x＝0时,yB＝1000,
即1000＝×(0－60)2+m,得m＝100.
∴yB＝(x－60)2+100.
当x＝40时,yB＝×(40－60)2+100＝200.
∴函数yA＝kx+b的图像经过点(0,1000),(40,200),
∴,解得.
∴yA＝－20x+1000
故yA与x的函数关系式为yA＝－20x+1000,
yB与x的函数关系式为yB＝(x－60)2+100
.
(2)将yA＝120代入yA＝－20x+1000,得
120＝－20x+1000,解得x＝44.
将x＝44代入yB＝(x－60)2+100,得
yB＝
×(44－60)2+100＝164.
故当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是164℃
(3)由题意可得,当0yA－yB＝－20x+1000－(x－60)2－100
＝－x2+10x＝－
(x－20)2+100,－<0,
∴当x＝20时,两组材料的温差最大,此时两组材料的温差为100℃.
【核心素养解读】此题主要体现了“数学建模”和“数学运算”的核心素养题目以实际生活作为背景,建立二次函数模型,利用数形结合思想和函数思想解决问题,从而激发我们学习数学的兴趣
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精品试卷·第
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