【优选作业本】卷14 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（含解析）

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第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图像和性质
22.1.4
二次函数y＝ax2+bx+c的图像和性质(共2课时)
课时1
二次函数y＝ax2+bx+c的图像和性质
基础夯实练
01
二次函数y＝ax2+bx+c的图像和性质
1.二次函数y＝3x2－6x+5的图像的顶点坐标是
(
)
A.(－1,8)
B.(1,8)
C.(1,2)
D.(1,－4)
2.关于二次函数y＝2x2+4x－1,下列说法正确的是
(
)
A.图像与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图像的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.y的最小值为－3
3.(易错题)将抛物线y＝x2－6x+5先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式是
(
)
A.y＝(x－4)2－6
B.y＝(x－1)2－3
C.y＝(x－2)2－2
D.y＝(x－4)2－2
4.已知(－3,y1),(－2,y2),(1,y3)是抛物线y＝－3x2－12x+m上的点,则
(
)
A.y3B.y3C.y2D.y15.已知二次函数y＝－x2+2x+1,解答下列问题:
(1)写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标及对称轴.
(2)作出函数图像,并观察图像,写出当x为何值时,y随x的增大而增大,当x为何值时,y随x的增大而减小
(3)函数有最大值还是最小值？最值是多少？
02
二次函数y＝ax2+bx+c的图像与a,b,c的关系
6.如果a<0,b>0,c<0,那么二次函数y＝ax2+bx+c的图像可能是
(
)
7.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图像如图,对称轴为直线x＝－1,下列结论不正确的是
(
)
A.
b＝2a
B.abc>0
C.a－c<0
D.am2+bm≥a－b(m为任意实数)
8.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图,有以下结论:①3a－b＝0；②5a－2b+c>0；③4b+3c>0.其中,错误结论的个数是________________。
能力提升练
9.在同一平面直角坐标系内,二次函数y＝ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y＝ax+b的图像可能是
(
)
10.在同一平面直角坐标系中,若抛物线y＝x2+(2m－1)x+2m－4与y＝x2－(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m,n的值为
(
)
A.m＝,n＝－
B.m＝5,n＝－6
C.m＝－1,n＝6
D.m＝1,n＝－2
11.如图,抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A,交过点A且平行于x轴的直线于另一点B,交x轴于C,D两点(点C在点D的右边),对称轴为直线x＝,连接AC,AD,BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,下列结论错误的是
(
)
A.点B的坐标为(5,4)
B.ab＝
C.a＝－
D.OC·OD＝16
12.将抛物线y＝－x2+3x+绕顶点旋转180°后的抛物线的解析式为________________。
13.已知抛物线y＝ax2－2ax－3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式；
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1培优压轴练
14.如图,已知抛物线y＝－x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)P是抛物线的对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标
15.(新定义题)如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y＝x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y＝x2+2x+3的特征数是[2,3]
(1)若一个函数的特征数为[－2,1],求此函数图像的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,－1],将此函数的图像先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图像对应的函数的特征数.
②若一个函数的特征数为[2,3],问:此函数的图像经过怎样的平移,才能使得到的图像对应的函数的特征数为[3,4]？
课时2
用待定系数法求二次函数的解析式
基础夯实练
01
用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数的图像经过点(－1,－5),(0,－4)和(1,1),则该二次函数的解析式为
(
)
A.y＝－6x2+3x+4
B.y＝－2x2+3x－4
C.y＝x2+2x－4
D.y＝2x2+3x－4
2.[
教材P42习题22.1第
11题改编]如图,二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过A,B,C三点
(1)观察图像写出A,B,C三点的坐标,并求出此二次函数的解析式；
(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴
02用“顶点式”求二次函数的解析式
3.如果抛物线的顶点坐标为(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么抛物线的解析式是
(
)
A.y＝4(x－2)2－3
B.y＝－2(x－2)2+3
C.y＝－2(x－2)2－3
D.y＝－
(x－2)2+3
4.如图的抛物线的解析式为________,与x轴的另一个交点的坐标是________
03
用“交点式”求二次函数的解析式
5.抛物线的图像如图,根据图像可知,抛物线的解析式可能是
(
)
A.y＝x2－x+2
B.y＝－x2－x+2
C.y＝－x2－x+1
D.y＝－x2+x+2
6.已知抛物线与x轴交于点A(－3,0),对称轴是直线x＝1,且经过点(2,5),求抛物线的解析式
能力提升练
7.在如图的平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y＝x2+px+q的图像过点(－1,0),(2,0).求:
(1)这个二次函数的解析式；
(2)当－2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差
8.(核心素养·开放性试题)阅读下面的文字,解答下列问题:
题目:已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过A(0,a),B(1,－2)两点,
求证:这个二次函数图像的对称轴是直线x＝2.
题目中有一段被墨水污染了而无法辨认的文字
(1)根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的解析式？若能,写出解题过程；若不能,请说明理由
(2)请你根据已有信息,增加一个适当的条件,把原题补充完整,所填条件是________________________。
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【参考答案及解析】
22.1.4
二次函数y＝ax2+bx+c的图像和性质
课时1
二次函数y＝ax2+bx+c的图像和性质
1.c
【解析】y＝3x2－6x+5＝3(x－1)2+2,∴二次函数y＝3x2－6x+5的图像的顶点坐标为(1,2).故选C.
2.D
【解析】y＝2x2+4x－1＝2(x+1)2－3,∴当x＝0时,y＝1,∴选项A错误.该函数图像的对称轴是直线x＝－1,∴选项B错误.当x<－1时,y随x的增大而减小,∴选项C错误.x＝－1时,y取得最小值,此时y＝－3,∴选项D正确.故选D.
3.D
【解析】y＝x2－6x+5＝(x－3)2－4,即抛物线的顶点坐标为(3,－4)把点(3,－4)先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的点的坐标为(4,－2),所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝(x－4)2－2.故选D.
【易错总结】错误地运用抛物线左右平移的规律
解决解析式为一般式的抛物线平移问题时,应先把一般式化为顶点式,再根据顶点式的平移规律确定抛物线的解析式不要错误地只对二次项或常数项进行变化
4.B
【解析】抛物线y＝－3x2－12x+m的开口向下,对称轴为直线x＝－＝－2,∴当x＝－2时,函数值最大.又∵在横轴上,－3所表示的点到－2所表示的点的距离比1所表示的点到－2所表示的点的距离小,∴y3【一题多解】
将点(－3,y1),(－2,y2),(1,y3)的坐标分别代入y＝－3x212x+m,得y1＝9+m,y2＝12+m,y3＝－15+m.
又∵－15+m<9+m<12+m,∴y35.解：(1)∵y＝－x2+2x+1＝－(x2－4x+4)+3＝－(x－2)2+3,∴该二次函数图像的开口向下,顶点坐标为2,3),对称轴为直线x＝2.
(2)令x＝0,得y＝1,∴该二次函数图像与y轴交于点(0,1).该二次函数的图像如答图.由图像可得,当x<2时,y随着x的增大而增大,当x>2时,y随着x的增大而减小
(3)由图像开口向下知函数有最大值,最大值是3.
6.A
【解析】由a<0可知,抛物线的开口向下,排除D选项；由a<0,b>0可知－>0,则抛物线的对称轴在y轴右侧,排除B选项；c<0可知,抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴下方,排除C选项.故选A.
7.c
【解析】由图像可得:a>0,c>0,－＝－1,∴b＝2a,∴b>0,∴abc>0.∵当x＝－1时,y<0,∴a－b+c<0,∴a－2a+c<0,∴－a+c<0,即a－c>0.∵当x＝m时,y＝am2+bm+c；当x＝－1时,y有最小0值,为a－b+c,∴am2+bm+c≥a－b+c,即am2+bm≥a－b.∴只有C选项的结论不正确.故选C.
【方法解读】二次函数的图像与其系数的基本对应关系
(1)a决定开口方向:当a>0时,开口向上；当a<0时,开口向下
(2)a,b共同决定对称轴的位置:当a,b同号时,对称轴在y轴的左侧；当a,b异号时,对称轴在y轴的右侧；当b＝0时,对称轴为y轴.
(3)c决定与y轴的交点:当c>0时,与y轴交于正半轴；当c＝0时,经过原点；当c<0时,与y轴交于负半轴
8.1【解析】由题图可知a<0,c>0,对称轴为直线x＝－,∴－＝－,∴b＝3a,∴3a－b＝0,∴①正确.当x＝－1时,a－b+c>0；当x＝－3时,9a－3b+c>0.∴(a－b+c)+(9a－3b+c)＝10a－4b+2c>0,∴5a－2b+c>0,②正确.由对称性可知,x＝1时对应的y值与x＝－4时对应的y值相等,∴当x＝1时,a+b+c<0.∵b＝3a,∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3(a+b+c)<0,∴4b+3c<0,∴③错误综上,错误结论的个数是1
9.c
【解析】当a>0,b>0时,二次函数的图像开口向上,与y轴交于正半思,对称轴在y轴的左侧；一次函数的图像经过第一、第二、第三象限,无选项符合.当a>0,b<0时,二次函数的图像开口向上,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴的右侧；一次函数的图像经过第一、第三、第四象限,C选项符合.当a>0,b＝0时,二次函数的图像开口向上,对称轴为y轴,经过原点；一次函数的图像经过第一、第三象限,无选项符合当a<0,b>0时,二次函数的图像开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴的右侧；一次函数的图像经过第一、第二、第四象限,无选项符合.当a<0,b<0时,二次函数的图像开口向下,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴的左侧；一次函数的图像经过第二、第三、第四象限,无选项符合.当a<0,b＝0时,二次函数的图像开口向上,对称轴为y轴,经过原点；一次函数的图像经过第二、第四象限,无选项符合.故选C
10.D
【解析】根据关于y轴对称,a,c不变,b互为相反数列出方程组
,解得.故选D.
【方法解读】抛物线y＝ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝ax2－bx+c；抛物线y＝ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝－ax2－bx－c
11.D
【解析】抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A,∴A(0,4),∴OA＝4.∵对称轴为直线x＝,AB∥x轴,∴B(5,4),A选项的结论正确如答图,过点B作BE⊥x轴于点E,则BE＝4,AB＝OE＝5.∵AB∥x轴,∴∠BAC＝∠ACO.∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,∴∠ACO＝∠ACB.∴∠BAC＝∠ACB,∴BC＝AB＝5.∴在Rt△BCE中,由勾股定理,得EC＝3,∴OC＝8,∴C(8,0).又∵对称轴为直线x＝,∴D(－3,0),OD＝3.∴在Rt△ADO中,由勾股定理,得AD＝5.∴AB＝AD,B选项的结论正确.将点C(8,),D(－3,0)的坐标分别代入y＝ax2+bx+4,得∴a＝－,C选项的结论正确∵OC＝8,OD＝3,∴OC·OD＝24,D选项的结论错误.故选D
12.y＝(x－3)2+5
【解析】y＝－x2+3x+＝－(x－3)2+5.将抛物线y＝－(x－3)2+5绕顶点旋转180°,则顶点(3,5)不变,对称轴不变,抛物线的开口方向改变,所以旋转后的抛物线的解析式为y＝(x－3)2+5.
13.解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax－3+2a2＝a(x－1)2+2a2－a－3.
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
【一题多解】
(1)∵抛物线y＝ax2－2ax－3+2a2(a≠0),
∴这条抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,∴2a2－a－3＝0,解得a1＝,a2＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x+或y＝－x2+2x－1.
(3)由(1)知,这条抛物线的对称轴为直线x＝1,
则点Q(3,y2)关于直线x＝1对称的点的坐标为(－1,y2)
若a>0,则当－1若a<0,则当m<－1或m>3时,y114.解：(1)把点B(3,0)的坐标代入抛物线y＝x2+mx+3,得0＝－32+3m+3,解得m＝2.
∴y＝－x2+2x+3＝－(x－1)2+4,∴顶点坐标为(1,4)
(2)如答图,连接BC交抛物线的对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小
设直线BC的解析式为y＝kx+b(k≠0)
∵C(0,3),B(3,0),∴解得.
∴直线BC的解析式为y＝－x+3
当x＝1时,y＝－1+3＝2.
∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2)
15.解：(1)由题意可得y＝x2－2x+1＝(x－1)2,∴此函数图像的顶点坐标为(1,0).
(2)①由题意可得y＝x2+4x－1＝(x+2)2－5,∴将此函数的图像先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为y＝(x+2－1)2－5+1＝(x+1)2－4＝x2+2x－3,
∴求得的图像对应的函数的特征数为[2,－3].
②∵一个函数的特征数为[2,3],
∴函数的解析式为y＝x2+2x+3＝(x+1)2+2.
∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数的解析式为y＝x2+3x+4＝
eq
\b
\bc\((
x+)
eq
\s\up7(2)
+
∴将特征数为[2,3]的函数图像向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度后得到特征数为[3,4]的函数图像
课时2
用待定系数法求二次函数的解析式
1.【解析】设所求函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0).分别把
点(－1,－5),(0,－4),(1,1)的坐标代入,得,解得
所以所求函数的解析式为y＝2x2+3x－4.故选D.
2.解：(1)根据二次函数的图像可知,A(－1,0),B(0,－3),C(4,5)
分别把点A(－1,0),B(0,－3),C(4,5)的坐标代入y＝ax2+bx+c,得,解得,
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4,∴此抛物线的顶点坐标为(1,－4),对称轴为直线x＝1.
3.B
【解析】抛物线的顶点坐标为(2,3),∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2+3(a≠0).∵抛物线经过点(3,1),∴1＝a(3－2)2+3,解得a＝－2,即y＝－2(x－2)2+3.故选B.
4.y＝－(x－1)2+3
(－1,0)
【解析】设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2+3(a≠0).将点(3,0)的坐标代入,得0＝4a+3,解得a＝－.所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2+3.根据抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴直线x＝1对称可得,与x轴的另一个交点的坐标为(－1,0)
5.D
【解析】由题图可知抛物线的开口向下,且与x轴的交点坐标为(－1,0),(2,0).由交点式设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x－2)＝a(x2－x－2)(a≠0).对比选项可知,选项AB,C的解析式无法通过提取公因式得到y＝a(x2－x－2)的形式,而选项D满足.故选D
6.解：∵抛物线与x轴交于点A(－3,0),对称轴是直线x＝1,
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(5,0).
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－5)(x+3)(a≠0).
将点(2,5)的坐标代入,得5＝a·(2－5)×(2+3),解得a＝－
∴抛物线的解析式为y＝－(x－5)(x+3),即y＝－x2+x+5.
7.解：(1)由二次函数y＝x2+px+q的图像过点(－1,0),(2,0)可得,
,解得
∴这个二次函数的解析式为y＝x2－x－2.
(2)如答图∵这个抛物线的开口向上,对
称轴为直线x＝－＝,且－2≤x≤1,
∴当x＝－2时,函数有最大值,为y＝4+2－2＝4；当x＝时,函数有最小值,为y＝－－2＝－
∴y的最大值与最小值的差为4－
eq
\b
\bc\((－)
＝
8.解：(1)能求出二次函数的解析式理由如下:
分别把点A(0,a),B(1,－2)的坐标代入y＝ax2+bx+c,并根据对称轴
x＝－＝2,得到方程组,解得.
∴二次函数的解析式为y＝x2－4x+1
(2)且经过点C(2,－3).(答案不唯一)
【核心素养解读】此题主要体现了“逻辑推理”和“数学运算”的核心素养.此题是一道条件开放性试题解答此类题时不仅需要有扎实的基础知识,更需要有严密的逻辑推理.一般来说,条件开放性试题的标准答案包括将所缺的条件补充完整和根据自己给出条件形成的问题做出完整的解答
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精品试卷·第
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