第7章复数 单元综合检测题-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课前检测（Word版含解析）

人教A版第七章复数综合测试题
一、单选题
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．若与互为共轭复数，则对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若为实数,且 ,则（ ）
A． B． C． D．
4．复数，则等于（ ）
A．3 B． C． D．4
5．若复数是纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中,正确的是(　　)
A．复数的模总是正实数
B．复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应
C．如果与复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D．相等的向量对应着相等的复数
7．若，，的和所对应的点在实轴上，则为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
8．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．若复数满足的共轭复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知复数，，，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C．若（），其中为原点，则的值是( ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．若(是虚数单位),则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
二、填空题
13．设复数满足（其中为虚数单位），则的模为______ _
14．已知i是虚数单位，当复数为实数时，实数________.
15．已知复数，满足，则__________．
16．已知在复平面上的中，对应的复数为，对应的复数为，则向量对应的复数为_________.
三、解答题
17．在复平面内，，，三点分别对应复数1，，.
（1）求，，对应的复数；
（2）判断的形状.
18．已知：复数，其中为虚数单位．
（1）求及；
（2）若，求实数，的值．
19．在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．
（1）求，及，；
（2）设，求．
20．已知复数．当实数m取什么值时，复数z是：
（Ⅰ）虚数；
（Ⅱ）纯虚数；
（Ⅲ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
21．设是虚数，是实数，且．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若，求证：为纯虚数．
22．已知关于x的方程有实数根b．
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数满足，求的最小值．
参考答案
1．B
【解析】
[点评]突出考查知识点，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.
2．D
【解析】
试题分析：由题意可知，对应的点为，在第四象限
考点：复数相关概念
3．D
【解析】
由题意可得 ,故选D.
考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.
4．B
【解析】
试题分析：由题意得，所以，故选B．
考点：复数的运算．
5．A
【解析】
试题分析：由是纯虚数可得，所以，故选A.
考点：复数的基本运算.
6．D
【解析】
分析：利用复数的概念和性质对每个选项逐一判断得解.
详解：复数的模大于或等于0,故选项A不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,不是与复平面内所有向量组成的集合一一对应，因此选项B不正确;同理选项C也不正确,选项D正确.故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查复数的概念及其性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)
复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,不是与复平面内所有向量组成的集合一一对应,注意“从原点出发的向量”这个关键词，因为向量是可以平移的，所以不加这个条件就不可能一一对应.
7．D
【解析】
试题分析：因为，，的和所对应的点在实轴上，所以是实数，a+1=0，a=－1，故选D.
考点：本题主要考查复数的概念，复数的四则运算，复数的几何意义．
点评：基础题，理解概念并记忆．
8．B
【解析】
解：因为复数，对应的向量分别是，，则复数，因此点位于第二象限，选B
9．A
【分析】
由求得，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果.
【详解】
因为数满足，
所以，
可得，
所以在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．A
【解析】
,选A.
11．D
【分析】
易得复数表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数表示的点的距离，由数形结合的思想可得答案．
【详解】
解：由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，
而|z?2?2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，
由图象可知：的最小值应为点到的距离，
而 ，圆的半径为1，
故的最小值为，
故选D．
【点睛】
本题考查复数的模长的最值，涉及复数的几何意义和数形结合的思想，属基础题．
12．D
【分析】
利用复数的除法运算，化简，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.
【详解】
，
的共扼复数为，的虚部为，
，在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
13．
【分析】
先由复数的除法运算，根据题意，得到，进而可得复数的模.
【详解】
因为，所以，
因此.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，以及求复数的模，熟记除法运算法则，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.
14．
【分析】
根据复数为实数列出式子计算即可.
【详解】
复数为实数，，
即，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复数的分类及其计算，属于基础题.
15．
【解析】
分析：根据复数的模都为1，可求得 及 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值．
详解：设
因为
所以

即化简得




点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．
16．
【分析】
表示为，代入相对应的复数即可得解.
【详解】
设的对角线与相交于点P，由向量加减法的几何意义可得，所以对应的复数为.
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的几何意义，属于基础题.
17．（1）对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为.（2）是以角为直角的直角三角形.
【分析】
（1）根据复数与对应点的关系，以及向量表示，可得结果.
（2）计算，，，根据勾股定理，可得结果.
【详解】
（1），，三点对应的复数分别为1，，，
，，对应的复数分别为1，，
其中为坐标原点
，，.
，，
.
即对应的复数为，
对应的复数为，对应的复数为.
（2），
，
.
又，是以角为直角的直角三角形.
【点睛】
本题主要考查复数的向量表示，属基础题.
18．（1），；（2）
【分析】
（1）利用复数的运算法则，求出，再根据复数的模的定义求出；
（2）根据复数的运算法则，以及复数相等的充要条件，即可求出实数，的值.
【详解】
（1），
（2）由得：
，即
所以，解之得
【点睛】
本题考查了复数的运算法则，复数的模的定义，共轭复数的概念，复数相等的充要条件，考查了学生的运算能力，属于基础题.
19．（1），；，；（2）.
【分析】
（1）因为，再根据复数的几何意义可知向量的坐标，再表示的坐标，再根据向量模的计算公式计算；
（2）分别求向量和的坐标，再根据夹角公式计算.
【详解】
解：（1）因为
所以所对应的复数
所以，
因为
所以所对应的复数
所以，
（2）由题
因为，
所以，
，
所以
【点睛】
本题考查复数，向量，以及坐标的关系，向量数量积的坐标表示，重点考查定义，公式，属于基础题型，本题的关键是理解向量坐标和复数的几何意义的关系.
20．（Ⅰ）且；（Ⅱ）；（Ⅲ），或.
【分析】
（Ⅰ）将复数整理为代数形式，根据复数的分类，复数虚部不为0，建立的不等式，求解即可；
（Ⅱ）在（1）的条件下，令实部为0，求解即可；
（Ⅲ）根据已知可的复数的实部和虚部互为相反数，建立的方程，求解即可得出结论.
【详解】
（Ⅰ）
，
，
当复数为虚数时，且，
所以实数且时，复数为虚数；
（Ⅱ）当复数为纯虚数时，，
解得，
所以当时，复数为纯虚数；
（Ⅲ）当复数对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上时，
，
解得，或，
所以，或时，
复数对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上
【点睛】
本题考查复数的分类以及复数的几何意义，属于基础题.
21．（1）；（2）略
【详解】
分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]．
（2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数．
详解：(1)解:设.则
,
因为.所以，又，所以.所以.
所以,
又,即.解得.
所以的实部的取值范围的取值范围为.
(2)证明:,
因为.所以,
所以为纯虚数.
点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，
．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）复数方程有实根，方程化简为、，利用复数相等，即解方程组即可．
（2）先把、代入方程，同时设复数，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，
再数形结合，求出，得到．
【详解】
解：（1）是方程的实根，
，
解得．
（2）设，由，
得，
即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，
当点在的连线上时，有最大值或最小值，
，
半径，
当时．
有最小值且．
【点睛】
本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．