湘教版八年级上数学2.1.2三角形中的主要线段 课件（48张PPT）

(共48张PPT)
第1节
三角形
第2课时
三角形中的主要线段
第2章
三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
三角形的高
三角形的角平分线
三角形的中线
课时导入
复习提问
引出问题
复习提问
引出问题
有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形发呆，小明有一点奇怪了，外号“坐不住”的弟弟怎么能坐住了？原来是弟弟想作出三角形ABC的三条高，但是他不会作边AB、BC上的高，小明不假思索
的说：“我来帮你”，当他准备作时，也
难住了，聪明的你，能帮帮小明兄弟吗？
知识点
三角形的高
知1－导
感悟新知
1
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线(alitude)，简称三角形的高.如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH
△ABC的BC边上的高.
知1－导
感悟新知
如图，试画出图中△ABC的BC边上的高.
知1－讲
感悟新知
1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形这条边上的高.一个三角形有三条高.
2.位置图例：
(1)锐角三角形：三条高都在三角形内部，
其交点也在三角形内部.
知1－讲
感悟新知
(2)直角三角形：一条高在三角形内部，两条高在三角形边上，其交点为直角顶点.
(3)钝角三角形：一条高在三角形内部，两条高在三角形外部，其交点在三角形外部.
知1－讲
感悟新知
3.表达方式：(1)AD是△ABC的边BC上的高；(2)AD⊥BC
于D；(3)∠ADC
=
90°，∠ADB
=
90°或∠ADC
=
∠ADB=90.注：上述三种情况都表示AD是高，选用哪种表示法，应根据解题需要.
4·易错警示：(1)三角形中大于90的角的两边上的高的作法(高均在三角形外部).
(2)任何三角形的三条商所在直线交于一点（垂心）.
知1－讲
感悟新知
例
1
导引：“作一边上的高”可看作“过一点(这边所对角的顶点)作已知直线(这边所在直线)的垂线”.按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB，BC边上的高在三角形的部，作高时先延长AB与CB.
<动手操作题，易错题>画出图中△
ABC的三条高.(要标明字母，不写画法)
知1－讲
感悟新知
解：如图所示.
知1－讲
总
结
感悟新知
(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤：一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)；二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)；三画线(画垂线段)，如图.
(2)注意：高是线段，垂线是直线.
知1－练
感悟新知
1.9
1．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为________cm2.(结果保留一位小数)
知1－练
感悟新知
2．下列说法中正确的是(　　)
A．三角形的三条高都在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内
D．三角形每一边上的高都小于其他两边
C
知2－导
感悟新知
知识点
三角形的角平分线
2
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线(angular
bisector)如图，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.
知2－讲
感悟新知
1.定义：在三角形中一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
2.位置图例：任何三角形的三条角平分线都交于一点，且该点在三角形的内部.如图.
知2－讲
感悟新知
3.表达方式：
(1)AD是△ABC的角平分线；
(2)AD平分2BAC交BC于点D；
(3)∠BAD
=∠CAD
=
∠BAC.
注：上述三种情况都表示同一意义，即AD是AABC的角平分线，选用哪种表示法，应根据解题需要.
4.易错警示：角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段，不要混淆.
知2－讲
感悟新知
例2
关于三角形的角平分线，下列说法正确的是(
)
A.是线段
B.是射线
C.是直线
D.是射线或线段
导引：三角形的角平分线是一条线段，故选A.
A
知2－讲
感悟新知
总
结
角平线与三角形角平分线的比较
名称
组成的线
结果
图示
角平线
一条射线
得到两个相等的角
三角形的角平分线
一条线段
得到两个相等角
知2－练
感悟新知
C
1．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有(　　)
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；
⑤AE平分∠BAC.
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
知2－讲
感悟新知
如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，∠BAC=80°，则∠EAD的度数是(
)
A.20°
B.30°
C.45
°
D.60°
导引：由角平分线的性质，可得出∠EAD与∠BAD，∠BAC之间的数量关系.
A
例
3
知2－讲
感悟新知
解：因为AD平分∠BAC，∠BAC
=80°.
所以∠BAD=40°.
又因为AE平分∠BAD，所以∠EAD=20°.
故选A.
知2－讲
感悟新知
总
结
三角形的角平分线将三角形的内角分成相等的两部分，特别是两角之间的数量关系在求角的度数时起关键作用.
知2－练
感悟新知
D
知3－导
感悟新知
知识点
三角形的中线
3
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线(median).如图，BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.
知3－导
感悟新知
任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？
知3－导
感悟新知
总
结
事实上，三角形的三条中线相交于一点.我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的重心.
知3－讲
感悟新知
1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的段叫作三角形的中线.
2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该点在三角形内部，如图，这个交点叫作三角形的重心.
知3－讲
感悟新知
3.表达方式：
(1)AD是△ABC中BC边上的中线；
(2)D是BC边的中点；
(3)BD
=
DC，BD=
BC，DC=
BC或BD=DC=
BC.
注：上述三种情况都表示AD是中线，选用哪种表示法，应根据解题需要.
4.易错警示：中线是线段，不要将它与线段所在直线混淆.
知3－讲
感悟新知
例4
如图，AD是△ABC
的中线，AE是△ABC的高.
(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来.
(2)其中哪些三角形的面积相等？
解：(1)图中有6个三角形，它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.
知3－讲
感悟新知
(2)因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.
因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，又S△ABD=
BD
·
AE，S△ADC
=
DC·AE，
所以
S△ABD=
S△ADC
知3－讲
感悟新知
总
结
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，得到两条相等的线段.
知3－讲
感悟新知
1．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是(　　)
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
B
知3－讲
感悟新知
A
知3－讲
感悟新知
3．如图(1)，已
知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．
图(1)
知3－讲
感悟新知
分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)．
图(2)
知3－讲
感悟新知
解：画法如下：
(1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；
(2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；
(3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．
知3－讲
感悟新知
<动手操作题>在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15
cm两部分，求△ABC的各边长.
导引：因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：(BC+CD)和(AD+AB)，无法确定谁为12cm，谁为15cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立方程的模型，利用设未知数来求解.
例
5
知3－讲
感悟新知
解：设AB=x
cm，则AD=CD=
xcm.
(1)如图①，若AB
+AD=12
cm，则x+
x=12.
解得x=8，即AB=AC=8
cm，则CD=4
cm.
故BC=15－4=11(cm).
此时AB+AC>BC，三角形存在，所以三边长分别为8cm，8
cm，11
cm.
知3－讲
感悟新知
(2)如图②，若AB+AD=15
cm，则x+
x=15.
解得x=10，即AB=AC=10
cm，则CD
=5
cm.
故BC=12－5=7(cm).
显然此时三角形存在，所以三边长分别为10
cm，
10
cm，7
cm.
综上所述，AABC的三边长分别为8cm，8
cm，
11
cm或10
cm，10
cm，7
cm.
知3－讲
感悟新知
总
结
(1)本例中由于条件不确定，因此我们针对因条件的不确定性导致图形出现不同的情况，运用分类讨论思想对题目进行分类讨论；解答中，针对题中涉及的线段这个“形”较多，为了使解答更简练，我们将它们建立方程这个“数”的模型.因此本例的解答过程体现了：分类讨论思想、建模思想、数形结合思想、方程思想等.(2)警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形的三边关系.
知3－讲
感悟新知
1.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12
cm和15
cm两部分，求三角形的底边长．
分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB＋AD＝15
cm，BC＋CD＝12
cm；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB＋AD＝12
cm，BC＋CD＝15
cm.
图(1)
图(2)
知3－讲
感悟新知
知3－讲
感悟新知
知3－讲
感悟新知
2．如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．
知3－讲
感悟新知
解：因为DE∥AC，
所以∠EDA＝∠CAD.
因为∠EDA＝∠EAD，
所以∠CAD＝∠EAD，
所以AD是△ABC的角平分线．
课堂小结
知识总结
知识方法要点
关键总结
注意事项
三角形的三条重要线段
三角形的三条重要的线段是指三角形的内角平分线、三角形的三边的中线和三条高上的高线.
①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高线交于一点:a.三角形的角平分线交于一点，交点在三角形的内部.b.三角形的三条中线的交点交于一点，交点在三角形的内部.c.锐角三角形三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形三条高所在的直线的交点是直角顶点；钝角三角形三条高所在的直线的交点在三角形的外部.
三角形中的主要线段
课堂小结
三角形中的主要线段
方法规律总结
(1)三角形的三条角平分线，三条中线都在三角形内，而三角形的高却要看三角形的形状，锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形两直角边上的高恰好是另一条直角边，而钝角三角形有两条高在三角形的外部，垂足落在边的延长线上．
(2)不论是一个三角形的三条角平分线还是三条中线，或者三条高线，“三线”或“三线”所在的直线都交于一点．
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业