人教版数学八年级上册 14.2.2完全平方公式第二课时教学设计

课程基本信息
课题
完全平方公式(第二课时)
教科书
书名：义务教育教科书
数学
八年级上册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013
年
6
月
教学目标
教学目标：
1.掌握添括号法则,培养学生逆向思维能力；
2.体会乘法公式在整式乘法中的运用，培养学生多角度思考问题的习惯及多项式运算能力.
教学重点：灵活应用乘法公式进行运算.
教学难点：添括号法则在整式乘法中的灵活运用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2min
一、复习引入
【问题】
（1）什么是完全平方公式？
（2）什么是去括号法则？
【答案】
（1）两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
符号语言：(a±b)2
=
a2±2ab+b2．
（2）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
20min
二、新课教学
【例】运用完全平方公式计算：
(1)(?2x+5)2；
(2)(?2x?5)2．
【分析】(1)(?2x+5)2
通过上节课的学习，我们知道了运用完全平方公式的运算步骤，首先判断(?2x+5)2这个式子是否具备完全平方公式的结构特征：如果从两数和的角度考虑，可以认为是(?2x)与5的和的平方，那么这个式子在结构上就满足(a+b)2
的运算形式.其中，(?2x)相当于公式中的a，5相当于公式中的b.最后，运用公式(a+b)2
=
a2+2ab+b2进行运算.需要注意的是，这里面乘积的2倍前面是加号.
对于
(?2x+5)2这个式子，我们还可以换个角度来看，利用加法交换律(?2x+5)2
=(5?2x)2，那么，这个式子在结构上就满足两数差的完全平方公式(a?b)2
的运算形式.其中，5相当于公式中的a，2x相当于公式中的b.最后，运用公式(a?b)2
=
a2?2ab+b2进行运算.需要注意的是，这里面乘积的2倍前面是减号.
【答案】解：
(1)方法一：(?2x+5)2
=[(?2x)+5]2
=(?2x)2+2·(?2x)·5+52
=4x2?20x+25；
方法二：(?2x+5)2
=(5?2x)2
=52?2·5·(2x)+(2x)
2
=25?20x+4x2
=4x2?20x+25．
【分析】(2)(?2x?5)2
根据（1）的经验，我们可以从两个角度看这个式子：
如果从两数和的角度考虑，可以认为是(?2x)与(?5)的和的平方，那么这个式子在结构上就满足(a+b)2
的运算形式.其中，(?2x)相当于公式中的a，(?5)相当于公式中的b.最后，运用公式(a+b)2
=
a2+2ab+b2进行运算.需要注意的是，这里面乘积的2倍前面是加号.
如果从两数差的角度考虑，可以认为是(?2x)与5的差的平方，那么，这个式子在结构上就满足(a?b)2
的运算形式.其中，(?2x)相当于公式中的a，5相当于公式中的b.最后，运用公式(a?b)2
=
a2?2ab+b2进行运算.需要注意的是，这里面乘积的2倍前面是减号.
对于这题，还有一种方法就是，由于(?2x)与(?5)两项的符号都是负号，所以可以逆用乘法分配律，将两项的“?”提到外面，得到[?(2x+5)]2，而[?(2x+5)]2=
(2x+5)2，满足(a+b)2
的运算形式，运用公式(a+b)2
=
a2+2ab+b2进行运算.
【答案】解：
(2)(?2x?5)2
方法一：(?2x?5)2=[(?2x)+(?5)]2
=(?2x)2+2·(?2x)·(?5)+
(?5)2
=4x
2+20x
+25；
方法二：(?2x?5)2=[(?2x)?5]2
=(?2x)2?2·(?2x)·5+52
=4x
2+20x
+25；
方法三：(?2x?5)2=[?(2x+5)]2
=
(2x+5)
2
=(2x)2+2·(2x)·5+52
=4x
2+20x
+25．
【归纳总结】
在应用完全平方公式时，是用“和”还是用“差”，并不绝对，关键是找准哪个数或式子相当于公式中的a和b，再根据确定的a和b，选择相应的公式.
在运算过程中，可以适当使用加法交换律或者逆用乘法分配律对式子进行变形，减小运算难度.
【问题】（1）(a+b)2与(-a-b)2有什么数量关系？
（2）(a-b)2与(b-a)2有什么数量关系？
【分析】
（1）(-a-b)2逆用乘法乘法分配律，将两项“?”提到外面，得到[-(a+b)]2，与(a+b)2的运算结果相同，所以(?a?b)2
=
(a+b)2；
（2）对于(b-a)2依旧可以逆用乘法分配律，提一个“?”到外面，得到[-(a-b)]2，与
(a-b)2的运算结果相同，所以(b?a)2=(a?b)2．
【答案】(a+b)2=(?a?b)2；(a?b)2=(b?a)2．
【问题】通过上面的例子，我们发现，在运用公式的过程中，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，再针对这个整体进行运算，这就需要在式子里添加括号.那么如何添括号呢？它有什么法则呢？添括号与去括号又有什么关系呢？
【得到新知】
在第二章整式的加减中，我们学过去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
即：a+(b+c)
=
a+b+c，a?(b+c)
=
a?b?c．
反过来，就得到了添括号法则：
a+b+c
=
a+(b+c)，a?b?c
=
a
?(b+c)
．
文字叙述：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
【例】在等号右边的括号内填上适当的项：
(1)a+b-c=a+(　　)
；　
(2)a-b+c=a-(　　)
；
(3)a-b-c=a-(　　)
；
(4)a+b+c=a-(　　)
．
【分析】(1)a+b-c=a+(　　)　
根据添括号法则，括号前面是正号，到括号里的各项都不变符号，即括号内填入：b-c.
由于添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
检验：a+(b-c)=a+b-c，括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里面不变号．
【答案】(1)a+b-c=a+(b-c)
；　
【分析】(2)a-b+c=a-(　　)
根据添括号法则，括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号，也就是变成各项的相反数，“-b”变成“b”，+c变成“?c”．
检验：a-(b-c)=a-b+c，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里面全变号．
【答案】(2)a-b+c=a-(b-c)
；
【分析】(3)a-b-c=a-(　　)　
根据添括号法则，括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号，“-b-c”变成相反数“b+c”．
【答案】(3)a-b-c=a-(b+c)
；　
【分析】(4)a+b+c=a-(　　)
根据添括号法则，括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号，“b+c”变成相反数“-b-c”．
【答案】(4)a+b+c=a-(-b-c)
．
【巩固练习】下列计算结果为2ab?a2?b2的是(
)
．
A
．
(a?b)2
B．(?a?b)2
C．?(a+b)2
D．?(a?b)2
【分析】添括号法则：括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
2ab?a2?b2=
?(?2ab+a2+b2)
=
?(a2?2ab+b2)
=
?(a?b)2
．
【答案】D
【巩固练习】判断下列运算是否正确：
(1)
2a?b?=2a?;
(2)
2x?3y+2=2x+(3y+2).
【分析】(1)
2a?b?=2a?;
添括号法则：
括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
【答案】改为：2a?b?=2a?;
【分析】(2)
2x?3y+2=2x+(3y+2).
添括号法则：
括号前面是正号，到括号里的各项都不变符号．
【答案】改为：2x?3y+2=2x+(?3y+2).
【例】运用完全平方公式计算：
(1)(a+b+c)2；
(2)(a?2b?1)2．
【分析】(1)(a+b+c)2
在a+b+c中，我们可以把a+b看做一个整体，即[(a+b)+c]2，再利用两数和的完全平方公式进行运算，从而得到：(a+b)2+2(a+b)c
+c2，下一步我们就需要对(a+b)2再次进行两数和的完全平方公式运算，并利用单项式乘多项式的法则对2(a+b)c进行化简，从而得到答案.
当然，我们也可以把b+c看做一个整体，根据添括号法则，将式子变形成：[a+(b+c)]2，再利用两数和的完全平方公式进行运算，从而得到
a
2+2a(b+c)
+(b+c)2，再利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行计算，得到的结果和方法一是一样的.
对于(a+b+c)2这个式子，我们还可以从图形角度再次认识：
整个大正方形的面积等于三个小正方形的面积和加上三对长方形的面积和．
即，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
【答案】解：
(1)
方法一：(a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c
+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
；
方法二：(a+b+c)2=[a+(
b+c)]2
=
a
2+2a(b+c)
+(b+c)2
=a2+2ab+2ac+(b2+2bc+c2)
=
a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2．
【分析】(2)(a?2b?1)2
在(a?2b?1)2中，我们可以把前两项a?2b看做一个整体，根据添括号法则，将式子变形成：[(a?2b)?1]2，再利用两数差的完全平方公式进行运算，从而得到：(a?2b)2?2·(a?2b)
·1+12，下一步我们就需要对(a?2b)2再次进行两数差的完全平方公式运算，并利用单项式乘多项式的法则对?2·(a?2b)
·1进行化简，从而得到答案.
或者，我们也可以把后两项?2b?1看做一个整体，由于两项都存在负号，所以根据添括号法则，将式子变形成：[a?(2b+1)]2，再利用两数差的完全平方公式进行运算，从而得到a
2?2a(2b+1)
+(2b+1)2，再利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行计算，得到的结果和方法一是一样的.
【答案】解：
(2)方法一：(a?2b?1)2=[(a?2b)?1]2
=(a?2b)2?2·(a?2b)
·1+12
=a2?4ab+4b2?2a+4b+1；
方法二：(a?2b?1)2=[a?(2b+1)]2
=
a
2?2a(2b+1)
+(2b+1)2
=a2?4ab?2a+(4b2+4b+1)
=a2?4ab?2a+4b2+4b+1．
【归纳总结】
1、完全平方公式：(a±b)2
=
a2±2ab+b2中的a、b可以表示任何的数或式子；
2、添括号时都要关注，如果括号前面是负号，括号里的各项要变号．
2min
三、课堂小结
1、完全平方公式：
（1）文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
（2）符号语言：(a±b)2
=
a2±2ab+b2．
（3）运算步骤：
①判断：判断是否具备公式的结构特征；
②对应：找准哪个数或式子相当于公式中的a和b；
③计算：运用完全平方公式运算出结果．
（4）注意事项：
①明确原式是两数和的平方运算还是两数差的平方运算，找准对应的a和b；
②公式中的a、b可以表示数或式子；
③在运算过程中，可以适当使用加法交换律或者逆用乘法分配律对式子进行变形，减小运算难度；
④完全平方公式的结果为两个数的平方和再加上（或减去）这两个数的积的2倍，不能忘记2倍乘积项．
2、添括号法则：
（1）文字叙述：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
（2）符号语言：a+(b+c)
=
a+(b+c)，a?b?c
=
a
?(b+c)
．
1min
四、课后作业
运用完全平方公式计算：
（1）(1?4a)2；
（2）(?3m+5n)2；
（3）(?2m?1)2；
（4）(2x?y?3)2.
1