5.1.1利用函数性质判断方程解的存在性 第二课时 （37张PPT）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二课时
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性
北师大（2019）必修1
看看这一节我们要学什么
1.求零点
2.判断零点个数.
3.求参.
4.根的分布.
环节一
回顾
零点存在定理
零点存在定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即 f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
零点存在定理加强版
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。
求零点的方法
方程法
解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
图像法
?
零点存在定理
先画出图像（整体画或分拆画），再用定理验证；也可以结合函数单调性。
环节二
求零点
方程法
解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
求零点
求零点
例1（1）函数f(x)=x2-1的零点是(　　)
A.(±1,0)　　　　B.(1,0)
C.0 D.±1
答案:D　
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
求零点
例1（2）判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16.
?
求零点
例1（3）已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.
?
求零点
例1（4）函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________
由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10
环节三
判零点个数
判零点个数
方程法
解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
图像法
?
零点存在定理
先画出图像（整体画或分拆画），再用定理验证；也可以结合函数单调性。
判零点个数
例2（1）
对于函数y＝f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实数解
D．方程f(x)＝0可能无实数解
函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解
判零点个数
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解:①令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.
方程法
判零点个数
?
?
方程法
判零点个数
?
?
方程法
图像法
判零点个数
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③f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.
定理法
判零点个数
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令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
定理法
图像法
判零点个数
例2（3）判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
（3）令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个公共点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.
图像法
判零点个数
例2（3）判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
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定理法
判零点个数
?
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定理法
判零点个数
?
?
判零点个数
例2（6）试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.
函数f(x)的零点个数即为方程f(x)=0的解的个数.令f(x)=0,即x2-2|x|=a+1.令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则方程x2-2|x| =a+1的解的个数即为函数g(x)与h(x)的图象交点的个数,故将问题转化为函数g(x)与h(x)的图象交点个数的问题.
判零点个数
例2（6）试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.
?
判零点个数
例2（6）试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.
当-1当a+1=0,即a=-1时,函数g(x)与h(x)的图象有3个交点.
综上,当a<-2时,函数f(x)无零点;
当a=-2,或a>-1时,函数f(x)有两个零点;
当-2当a=-1时,函数f(x)有3个零点.
环节四
求参
求参
1.直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
2.数列结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.
求参
例3（1）已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则(　　)
?
单调函数，用【存在性定理】
求参
例3（2）若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,
要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0环节五
根的分布
根的分布
例4（1）函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(　　)
A.[-2,-1]　　　　B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
答案:B　
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)·f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
根的分布
例4（2）若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-3<0,
f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,
f(4)=ln 4>0,则x0∈(2,3).
根的分布
例4（3）函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析: ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在(0，1)内有零点
根的分布