1.2&1.3空间向量基本定理及坐标运算-2021-2022学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word无答案）

空间向量与立体几何
1.2
空间向量基本定理
1.3
空间向量及其运算的坐标表示
【考点分类】
考点一、空间向量的基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得：
p＝xa＋yb＋zc
我们把{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c都叫作基向量。
注意：①空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
②由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；
③一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
考点二、空间向量的坐标表示
单位正交基底
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示。
空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。
空间直角坐标系中的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量a，在单位正交基地下，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组（a1,a2,a3）,使a=a1i+a2j+a3k。有序实数组（a1,a2,a3）叫作a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，即a=（a1,a2,a3）。
考点三、空间向量运算的坐标表示
空间向量加减法、数乘运算
若，，则：
①；
②；
③。
空间向量数量积坐标运算
若，，则
。
空间向量平行和垂直条件
若，，则
①，，
②
空间向量模与夹角公式坐标表示
若，，则
①，．
②．
典型例题
类型一、基底的判断
例1、在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
例2、已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2+2e3，=e1+e2-e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底
辨析跟踪
【变式1】已知空间的一个基底{a，b，c}，p=3a+2b+c，m=a-b+c，n=a+b-c，试判断p，m，n是否共面。
【变式2】下列说法正确的是（
）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
【变式3】设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是(　　)
A．
B．
C．
D．
类型二、基本定理的运用
例3、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
辨析跟踪
【变式】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，
设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．
类型三、空间向量坐标运算
已知，，，，
，求，
，
.
例5、已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
例6、已知O为原点，A,B,C,D四点坐标分别为A（2，-4，1），B（3，2，0），C（-2，1，4），D（6，3，2），求满足下列条件的点P的坐标；
辨析跟踪
【变式1】已知向量a=（1，2，-2），b=（-2，-4，4），c=（2，x，-4）.
（1）判断a，b的位置关系；
（2）若a∥c，求；
（3）若（a+2c）?（b+c），求x的值。
【变式2】已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；
(3)设|c|＝3，c∥，求c.
【变式3】已知空间三点A（0，2，3），B（―2，1，6）C（1，―1，5）。
（1）求以，为边的平行四边形的面积；
（2）若，且分别与，垂直，求向量的坐标。
类型四、空间向量的共线与共面
已知，求证：A、B、C三点共线.
已知，证明：向量共面。
辨析跟踪
【变式1】已知a=（1，1，0），b=（-1，0，2），c=（x，-1，2），若a，b，c是共面向量，则x=__________
【变式2】已知A（3，-2，4），B（0，5，-1），若（O为坐标原点），则C的坐标是________________
【变式3】若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则（
）
A.x=1，y=1
B.x=，y=－
C.x=，y=－
D.x=－，y=
【变式4】已知点A（1，0，1），B（4，4，6），C（2，2，3），D（10，14，17），求证：A,B,C,D四点共面。
类型五、利用坐标运算解决夹角、距离问题
例9、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值．
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别DD1，BD，BB1的中点。
求证：EF?CF
求EF与CG所成角的余弦值；
求CE的长。
辨析跟踪
【变式】在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值；
（3）求FH的长．
课后练习
在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（
）
向量的坐标与点B的坐标相同
向量的坐标与点A的坐标相同
向量与向量的坐标相同
向量与向量的坐标相同
已知a=（-3，2，5），b=（1，x，-1），且ab=2，则x的值为（
）
A、3
B、4
C、5
D、6
3、如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若则　　
A．
B．1
C．
D．2
4、设，是两个空间向量，若，，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
5、已知a=（1-t，2t-1，0），b=（2，t，t），则的最小值为（
）
A、
B、
C、
D、
6、如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于　　
A．
B．
C．
D．
7、（多选）设，，是空间一个基底　　
A．若，，则
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
8、已知向量a=（1，1，0），b=（-1，0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值为（
）
A、1
B、
C、
D、
已知a=（1，2，y），b=（x，1，2）且（a+2b）∥（2a-b），则xy的值为（
）
B、2
C、
D、-1
10.、已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________.
11、已知，点A（1,-2,0）和向量a=（-3,4,12），若向量，且||等于的二倍.
则点B的坐标
.
12、设向量a=（2，2m-3，n+2），b=（4，2m+1，3n-2），且a∥b，则ab的值为__________
13、已知空间向量a=，b=，若空间单位向量c满足ca=cb=0，则c=_______________
14、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设，（1）求的夹角
（2）若向量与互相垂直，求k的值.
15、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．求证：（1）共面；
（2）求证：．
16、在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，
（1）求证：；
（2）求与所成的角的余弦；
（3）求的长.