8.3.2 空间几何体的体积（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word含答案解析）

2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第八章 立体几何初步
3810532765知识储备
知识储备
8.3.2 空间几何体的体积
1.棱柱的体积：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
2.棱锥的体积：椎体的底面面积为S，高为h，则V=falseSh
3.棱台的体积：台体的上、下底面面积分别为false，false,高为h，则false
4.圆柱体积：false（r是底面半径，h是高）
5.圆锥体积：false（r是底面半径，h是高）
6.圆台体积：false（false分别是上、下底面半径，false是高）
7.球的体积：false
8.false
-1524029845例题分析
例题分析
例1.在如图所示的空间几何体中，平面 ACD⊥ 平面 ABC ，平面 ECB⊥ 平面 ABC ， △ACD ， △ECB ， △ACB 都是等边三角形.
（1）证明： DE// 平面 ABC .
（2）已知 AC=4 ，求四棱锥 C?ABED 的高.
【解析】 （1）证明：由题意知， △ACD ， △EBC 都是等边三角形，取 AC 的中点 F ， BC 的中点 G ，
连接 DF ， FG ， EG ，则 DF⊥AC ， EG⊥BC ，
又∵平面 ACD⊥ 平面 ABC ，平面 ACD∩ 平面 ABC=AC ，∴ DF⊥ 平面 ABC ，
同理 EG⊥ 平面 ABC ，∴ DF//EG ，
又因为 △ACD ， △ECB ， △ACB 都是等边三角形，∴ DF=EG ，
∴四边形 DFGE 是平行四边形，∴ DE//FG ，
∵ DE? 平面 ABC ， FG? 平面 ABC ，
∴ DE// 平面 ABC .
（2）解：分别取 M ， N 为 DE ， AB 的中点，连接 CM ， MN ， CN ，
∵ CD=CE ， AC=CB ，∴ CM⊥ED ， CN⊥AB ，
由（1）可知 DE=2 ，且 ED//AB ，所以 CM⊥AB ，
又∵ CM∩CN=C ，∴ AB⊥ 平面 CMN .
过点 C 作 CH⊥MN ，交 MN 于点 H ，∴ AB⊥CH .
又∵ AB∩MN=N ，∴ CH⊥ 平面 ABED ，故 CH 为四棱锥 C?ABED 的高，
其中 CM=42?12=15 ， CN=42?22=23 ， MN=42?12=15 ，
在 △CMN 中， 12×15?CH=12×23×15?3 ，可得 CH=4155 ，
∴四棱锥 C?ABED 的高为 4155 .
例2.如图，在直角梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB ⊥ BC ， BD ⊥ DC , 点 E 是 BC 边的中点, 将△ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD ⊥平面 BCD ，连接 AE , AC , DE , 得到如
图所示的空间几何体.
（Ⅰ）求证： AB ⊥平面 ADC ；
（Ⅱ）若 AD=1, AB=2 ，求点 B 到平面 ADE 的距离.
【解析】 解：(Ⅰ) 因为平面 ABD ⊥平面 BCD ，平面 ABD ∩ 平面 BCD =BD ，
又 BD ⊥ DC ，所以 DC ⊥平面 ABD ?
因为 AB? 平面 ABD ，所以 DC ⊥ AB ?
又 AD ⊥ AB
DC ∩ AD=D
所以 AB ⊥平面ADC.
(Ⅱ) ∵AB=2 ， AD=1 . ∴BD=3
依题意△ ABD ～△ BDC ，
所以 ABAD=CDBD ，即 21=CD3 . ∴CD=6 ??
故 BC=3 .????
由于 AB ⊥平面 ADC ， AB ⊥ AC ， E 为 BC 的中点,
得 AE =BC2=32
同理 DE=BC2=32
所以 SΔADE=12×1×(32)2?(12)2=22
因为 DC ⊥平面 ABD ，所以 VA?BCD=13CD?SABD=33 .
设点 B 到平面 ADE 的距离为 d ,
则 13d?SADE=VB?ADE=VA?BDE=12VA?BCD=36 ,??
所以 d=62 ，即点 B 到平面 ADE 的距离为 62 .
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.某空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6
2.一个空间几何体的三规图如图所示，则该几何体的体积为（?? ）
A.?23??????????????????????????????????????????B.?43??????????????????????????????????????????C.?83??????????????????????????????????????????D.?4
3.某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积（?? ）

A.?π??????????????????????????????????????B.?43 π??????????????????????????????????????C.?73 π??????????????????????????????????????D.?8π3
4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( ?? )

A.?16????????????????????????????????????????B.?32????????????????????????????????????????C.?48????????????????????????????????????????D.?144
5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(??? )

?
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 B
【解析】由三视图可得，该几何体为底面是直角梯形，
侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示：

由题意可得其体积为： V=13S梯形ABCD?PA=13?12?(1+2)?2?2=2
故答案为：B
2.【答案】 B
【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，
底面是矩形，其面积为 S=2×1=2 ，高为 ?=2 ，
因此，该几何体的体积为 V=13S?=13×2×2=43 ，
故答案为：B．
3.【答案】 A
【解析】解：由三视图可得,

直观图是圆锥与14球的组合体,由图中数据可得体积为13×π×1×2+14×43π×1=π。
故答案为：A
4.【答案】 C
【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：
其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，
∴几何体的体积 V=13×2+62×6×6=48 .
故答案为：C.
5.【答案】 C
【解析】由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是 2 ，侧棱长 2 ，高是 22?1=3 ，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 2 ，高是 2 ，所以组合体的体积是 13×2×2×3×12+π×12×2=233+2π ，
故答案为：C.