8.3.1 空间几何体的表面积（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word含答案解析）

2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第八章 立体几何初步
3810532765知识储备
知识储备
8.3.1 空间几何体的表面积
多面体的表面积：对于棱柱棱锥、棱台等由多个平面图形圈成的多面体，它们的表面积是其各个面的面积之和，也就是展开图的面积因此，可以把多面体展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积.
2.圆柱的表面积：false（r是底面半径，l是母线长）
3.圆锥的表面积：false=false（r是底面半径，l是母线长）
4.圆台的表面积：false
-1524029845例题分析
例题分析
例1.如图，在四边形ABCD中， ∠DAB=90° ， ∠ADC=135° ， AB=5 ， AD=2 ， CD=22 ，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积.
【解析】 解：由 ∠ADC=135° ，得 ∠EDC=45° .
又因为 CD=22 ，所以 ED=CE=2 .
因为 AB=5 ， AE=AD+DE=4 ，
所以 BC=(AB?CE)2+AE2=5 .
所以几何体的表面积 S=S圆锥侧+S圆台侧+S圆台下底面=π?CE?CD+π(CE+AB)?BC+π?AB2
=π×2×22+π×(2+5)×5+π×52=(42+60)π .
例2.已知在空间四边形 ABCD 中， AB=AD ， CB=CD ，连结空间四边形的两条对角线 AC ? BD .
（1）求证： AC⊥BD ；
（2）若 AB=BC=6 ， AC=BD=8 ，求异面直线 AB 与 CD 的所成角.(用反余弦表示)
【解析】 （1）证明：取 BD 中点E，连接 AE 、 CE ，如图：
因为 AB=AD ， CB=CD ，所以 AE⊥BD ， CE⊥BD ，
又 AE∩CE=E ，所以 BD⊥ 平面 ACE ，
因为 AC? 平面 ACE ，所以 AC⊥BD ；
（2）解：取 BC 中点F，取 AC 中点G，连接 EF,FG,GE ，如图：
由 AB=AD=CD=BC=6 ， AC=BD=8 ，
所以 FG//AB 且 FG=12AB=3 ， EF//CD 且 EF=12CD=3 ，
所以 ∠GFE 或其补角即为异面直线 AB 与 CD 的所成角，
所以 AE=CE=AB2?(12BD)2=25 ， EG⊥AC ，
所以 EG=AE2?(12AC)2=2 ，
在 △GFE 中， cos∠GFE=FG2+FE2?GE22FG?FE=9+9?42×3×3=79 ，
所以异面直线 AB 与 CD 所成的角为 arccos79 .
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（??? ）
A.?13????????????????????????????????????B.?23????????????????????????????????????C.?63+4????????????????????????????????????D.?83
2.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（?? ）
A.?(8+25)π??????????????????????B.?(9+25)π??????????????????????C.?(10+25)π??????????????????????D.?(8+23)π
3.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的封闭几何体的表面积为（??? ）
A.?π2?????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.?2π?????????????????????????????????????????D.?3π
4.如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形， A1B1=2 ， AA1=4 ，则该几何体的表面积为（??? ）
A.?24+23?????????????????????????????B.?24+3?????????????????????????????C.?6+23?????????????????????????????D.?6+3
5.如图，直角梯形 ABCD 中， AD⊥DC ， AD//BC ， BC=2CD=2AD=2 ，若将直角梯形绕 BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为（? ??）
A.?3π+2π?????????????????????????B.?3π+22π?????????????????????????C.?6π+22π?????????????????????????D.?6π+2π
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 D
【解析】根据三视图,画出空间几何体如下图所示:
则四棱锥 B?ADC 是棱长为 22 的正四棱锥
则 SB?ADC=4SADC=4×34×(22)2=83
故答案为：D
2.【答案】 A
【解析】解：由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，
其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，
圆柱的底面直径为2，半径r=1，高h=2，故侧面积为：2πrh=4π；
圆锥的底面直径为4，半径r=2，高h=1，母线长为： ，故表面积为：πr（r+l）=（4+2 ）π；
故组合体的表面积S=（8+2 ）π；
故选：A
3.【答案】 D
【解析】由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积，
则所求几何体的表面积为：π×12＋ 12 ×4×π×12＝3π.
故答案为：D.
4.【答案】 A
【解析】由三视图知该几何体是一个正三棱柱，底面正三角形边长为 A1B1=2 ，高为 AA1=4
底面积之和为： 34×22×2=23 ，
侧面积为： 2×4×3=24 ，
所以表面积为： 24+23 .
故答案为：A
5.【答案】 A
【解析】由图中数据可得：S圆锥侧 =12×π×2×2=2π ,
S圆柱侧 =π×2×1=2π ?,S底面=π×12=π，
所以几何体的表面积为S表面积 =(3+2)π .
故答案为 (3+2)π .
故答案为：A.