8.5空间直线、平面的平行（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word含答案解析）

2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第八章 立体几何初步
3810532765知识储备
知识储备
8.5空间直线、平面的平行
1.直线与平面平行的判定：平面外-条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
2.平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另-一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
3.直线与平面平行的判定：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
4.平面与平面平行的判定：如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线平行.
-1524029845例题分析
例题分析
例1.如图所示,在四棱锥 C?ABED 中,四边形 ABED 是正方形,点 G,F 分别是线段 EC,BD 的中点.
（1）求证： GF//平面ABC ;
（2）线段 BC 上是否存在一点 H ,使得面 GFH∥ 面 ACD ,若存在，请找出点 H 并证明;若不存在,请说明理由.
【答案】 （1）证明：由四边形 ABED 为正方形可知，连接 AE 必与 BD 相交于中点 F
故 GF∥AC
∵ GF? 面 ABC
∴ GF∥ 面 ABC
（2）解：线段 BC 上存在一点 H 满足题意，且点 H 是 BC 中点?
理由如下：由点 G,H 分别为 CE,CB 中点可得：
GH∥EB∥AD ?
∵ GH? 面 ACD
∴ GH∥ 面 ACD
由（1）可知， GF∥ 面 ACD
且 GF∩GH=G
故面 GFH∥ 面 ACD
例2.如图，在四棱锥 P?ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PD⊥ 底面 ABCD ，点 E 是 PC 的中点.
（1）求证： PA// 平而 EDB ；
（2）若 PD=AD=2 ，求二而角 C?ED?B 的余弦值.
【答案】 （1）证明：连接 AC 与 BD 相交于 F ，连接 EF .
∵ 底面 ABCD 是正方形，
∴ F 为 AC 中点，
又 E 是 PC 的中点，
∴ EF//PA ?,
∵ PA? 平面 EDB ， EF? 平面 EDB ,
∴ PA// 平面 EDB .
（2）解：以 D 为原点， DA ， DC ， DP 分别为 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 D?xyz .
∵ |PD|=|AD|=2 ，
∴ D(0,0,0) ， E(0,1,1) ， B(2,2,0) .
取平面 CED 的一个法向量 n1=(1,0,0) .
设平面 EDB 的一个法向量为 n2=(x,y,z) .
由 DE=(0,1,1) ， DB=(2,2,0) 得
{y+z=0,2x+2y=0,
不妨令 z=1 ，解得 x=1 ， y=?1 ，即 n2=(1,?1,1) ，
∴ cos=n1?n2|n1|?|n2|=1×11×12+(?1)2+12=33 .
∴ 二面角 C?ED?B 的余弦值为 33
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.如图，四边形 ABCD 是边长为1的正方形， MD⊥平面ABCD ， NB⊥平面ABCD ，且 MD=NB=1 ， G 为 MC 的中点．则下列结论中不正确的是( ???)
A.?MC⊥AN????????????????????????????????????????????????????????B.?GB//平面AMN
C.?平面CMN⊥平面AMN??????????????????????????????D.?平面DCM//平面ABN
2.如图，在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， M,N 分别是 BC1,CD1 的中点，则下列判断错误的是( ??)
A.?MN⊥CC1??????????B.?MN⊥平面ACC1A1??????????C.?MN//平面ABCD??????????D.?MN//A1B1
3.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中(?? )
A.?AB∥CD???????????????????????B.?AB∥平面CD???????????????????????C.?CD∥GH???????????????????????D.?AB∥GH
4.如图，正方体的棱长为1，线段 A1C1 上有两个动点 E，F ，且 EF=2 ；则下列结论错误的是（）.
A.?BD⊥CE??????????????????????????????????????????????????????????B.?EF‖平面ABCD
C.?三棱锥 E?FBC ?的体积为定值????????????????????????D.?△ BEF ?的面积与△ CEF 的面积相等
5.如图，三棱柱 ABC?A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面A1B1C1 ，底面三角形 A1B1C1 是正三角形， E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是（??? ）
A.?CC1 与 B1E 是异面直线????????????????????????????????????B.?AC⊥平面ABB1A1
C.?AE ， B1C1 为异面直线，且 AE⊥B1C1??????????D.?A1C1⊥平面AB1E
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 C
【解析】由题意，取 MN 中点 O ，易知 ∠AOC 就是二面角 A?MN?C 的平面角，有条件可知， ∠AOC≠90? ，所以平面 CMN 与平面 AMN 不垂直，故C错误。
故答案为:C.
2.【答案】 D
【解析】连接 C1D ，可知 N 为 C1D 中点
又 M 为 BC1 中点，可知 MN//BD
A 选项： CC1⊥ 平面 ABCD ， BD? 平面 ABCD ??? ∴CC1⊥BD
又 MN//BD ，所以 CC1⊥MN ，可知 A 正确；
B 选项： BD⊥AC ， BD⊥CC1 ， ACCC1=C ??? ∴BD⊥ 平面 ACC1A1
又 MN//BD ，所以 MN⊥ 平面 ACC1A1 ，可知 B 正确；
C 选项： MN//BD ， BD? 平面 ABCD ??? ∴MN// 平面 ABCD ，可知 C 正确；
D 选项： MN//BD ， AB//A1B1 ， ABBD=B ，可知 MN 与 A1B1 不平行，即 D 错误.
故答案为： D
3.【答案】 C
【解析】原正方体如图，由图可得CD∥GH，C符合题意．
AB与CD相交，A不符合题意；
AB与平面CD 相交，B不符合题意；
AB与GH是异面直线，D不符合题意.
故答案为：C.
4.【答案】 D
【解析】解：在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， BD⊥ 平面 A1ACC1 ，
而 CE? 平面 A1ACC1 ，故 BD⊥CE ，故A正确.
又 A1C1// 平面 ABCD ，因此 EF// 平面 ABCD ，故B正确.
当 EF 变化时，三角形 CEF 的面积不变，点 B 到平面 CEF 的距离就是 B 到平面 A1CCC1 的距离，它是一个定值，故三棱锥 E?FBC 的体积为定值（此时可看成三棱锥 B?CEF 的体积），故C正确.
在正方体中，点 B 到 EF 的距离为 62 ，而 C 到 EF 的距离为 1 ， D是错误的.
故答案为：D.
5.【答案】 C
【解析】 CC1,B1E 是共面直线，A不符合题意；
若 AC⊥ 平面 ABB1A1 ，因 AB? 平面 ABB1A1 ，故 AC⊥AB ，这与 ∠CAB=π3 矛盾，B不符合题意；
因为 AA1⊥ 平面 A1B1C1 ，故 AA1⊥ 平面 ABC ，因 AE? 平面 ABC ，故 AA1⊥ AE .由三棱柱 ABC?A1B1C1 可以得到 A1A∥B1B ，故 AE⊥B1B ，由 AC=AB ， CE=EB 可以得到 AE⊥BC .而 BC∩B1B=B ，从而有 AE⊥ 平面 B1BCC1 ，而 B1C1? 平面 B1BCC1 ，故 AE⊥B1C1 ，又 AE∩ 平面 B1BCC1=E ， B1C1? 平面 B1BCC1 ， E?B1C1 ，故 AE,B1C1 是异面直线，C符合题意；
若 A1C1⊥ 平面 AB1E ，因 AB1? 平面 AB1E ，故 A1C1⊥AB1 .因 AA1⊥ 平面 A1B1C1 ， A1C1? 平面 A1B1C1 ，故 A1C1⊥ AA1 ，而 A1A∩AB1=A ，故 A1C1⊥ 平面 AA1B1B ，又 A1B1? 平面 AA1B1B ，故 A1C1⊥A1B1 ，这与 ∠C1A1B1=π3 矛盾，D不符合题意；
综上，
故答案为：C.