8.2.1立体几何体的直观图（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word含答案解析）

2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第八章 立体几何初步
3810532765知识储备
知识储备
8.2.1立体几何体的直观图
1.直观图：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何图获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此，直观图汪汪与立体图形的真实形状不完全相同。
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形
画法：斜二测画法和正等测画法.
2.斜二测画法规则
(1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴与y'轴，两轴相交于点O，，且false=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x，轴与y，轴的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
-1524029845例题分析
例题分析
例1.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
【解析】 解：画法如下
①画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画圆柱的两底面.在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
④成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．

例2.如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．
（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．
【解析】 （1）证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA=2EB=4．
∵PA=AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF．
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF．
∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD
（2）证明：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，0，0），D（4，4，0），C（4，0，0），E（0，0，2），P（0，4，4），
BD =（4，4，0）， EC =（4，0，﹣2）， EP =（0，4，2），
设平面PEC的法向量 n =（x，y，z），
则 {n?EC=4x?2z=0n?EP=4y+2z=0 ，取x=1，得 n =（1，﹣1，2），
∵ BD?n =4﹣4+0=0，BD?平面PEC，
∴BD∥平面PEC．
（3）证明： CP =（﹣4，4，4）， CD =（0，4，0），
设平面PCD的法向量 m =（a，b，c），
则 {m?CP=?4a+4b+4c=0m?CD=4b=0 ，取a=1，得 m =（1，0，1），
设二面角E﹣PC﹣D的大小为θ，
则cosθ= |m?n||m|?|n| = 22?6 = 32 ，∴θ=30°，
∴二面角E﹣PC﹣D的大小为30°
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.已知一个水平放置的平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形，则原四边形ABCD的面积为（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?22???????????????????????????????????????C.?22???????????????????????????????????????D.?42
2.已知空间几何体 ABCD 是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中A，B为下底面圆直径的两个端点，C，D为上底面圆直径的两个端点，且 AB⊥CD ，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体 ABCD 可以无缝的穿过下列哪个图形（?? ）
A.?椭圆???????????????????????????B.?等腰直角三角形???????????????????????????C.?正三角形???????????????????????????D.?正方形
3.已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中 O′B′=O′C′=1 ，则此正三棱锥的体积为（??? ）
A.?3?????????????????????????????????????B.?33?????????????????????????????????????C.?34?????????????????????????????????????D.?334
4.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点 E,F 分别是棱 B1B,B1C1 的中点，点 G 是棱 CC1 的中点，则过线段 AG 且平行于平面 A1EF 的截面的面积为（??? ）

A.?1?????????????????????????????????????????B.?98?????????????????????????????????????????C.?89?????????????????????????????????????????D.?2
5.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别是棱B1B、B1C中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（?? ）
A.?矩形????????????????????????????????B.?三角形????????????????????????????????C.?正方形????????????????????????????????D.?等腰梯形
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 D
【解析】平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形，
所以其边长为 2
由直观图的画法可知原图形是平行四边形，底边长为 2 ，高为 4 ，
所以面积为 42 ，
故答案为：D.
2.【答案】 D
【解析】解：由题意可知 AB=CD=2 ，且该几何体的高也是2，
A中，若椭圆的长轴长为2，短轴长小于2，则几何体无法穿过，若椭圆的短轴长为2，长轴长大于2，则几何体穿过时有缝隙，均不符合题意；
B中，设 O 为 CD 的中点，连接 OA ， OB ，则易证 ∠AOB 为二面角 A?CD?B 的平面角，易求得 OA=OB=5 ，而 AB=2 ，则 ΔAOB 不是直角三角形，B不符合题意；
C中，由B中结论， OA=OB≠AB ， ΔAOB 不是正三角形，C不符合题意；
D中，由题意，边长为2的正方形恰好和以 AB 为直径的圆相切，D符合题意；
故答案为：D．
3.【答案】 A
【解析】由于 O′B′=O′C′=1 ，所以 B'C'=2 ，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为 2 ，其面积为 34×22=3 ，所以正三棱锥的体积为 13×3×3=3 .
故答案为：A
4.【答案】 B
【解析】取BC的中点H，连接 AH,GH ，
因为 EF∥BC1∥GH,EF? 面AHGD1 ， GH? 面AHGD1 ， ∴EF∥ 面AHGD1 ，
同理， A1E∥ 面AHGD1 ， 又 A1E∩EF=E ，则平面AHGD1∥平面A1EF，
等腰梯形AHGD1的上下底分别为 22 ， 2 ，
腰长为 52 ，故梯形的高为 324 ，则梯形面积为 98 ，
故答案为：B．
5.【答案】 D
【解析】取 BC 的中点 H ，如图连接 AH 、 GH 、 D1G 、 AD1 ，由题意得： GH//EF ， AH//A1F ，
∵GH 不在平面 A1EF 内， EF? 平面 A1EF 内，∴ GH|| 平面 A1EF .
∵AH 不在平面 A1EF 内， A1F? 平面 A1EF 内，∴ AH|| 平面 A1EF .
∵GH∩AH=H ， GH,AH? 平面 AHGD1 ，
∴ 平面 AHGD1// 平面 A1EF ，
过线段 AG 且平行于平面 AEF 的截面图形为等腰梯形 AHGD1 ．
故答案为：D．