9.1随机抽样-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（Word含答案解析）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【9.1随机抽样】
【学习目标】正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法，素以及鼠标法的一般步骤、过程与方法
【难点突破】
知识点1：抽签法
（1）概念
先给总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，知道抽足样本所需要的个数
知识点2：随机数法
（1）概念
对总体中的N个个体编号，用随机数工具产生编号范围内的整体随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本，重复上述过程，知道抽足样本所需要的个数，如果生产的随机数有重复，即统一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个数
知识点3：分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
【例题分析】
例1.某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（? ）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?18?????????????????????????????????????????D.?20
【答案】 B
【解析】设样本中的老年教师人数为 x 人，由分层抽样的特点得： 30x=50%20% ，所以 x=12 ，
故答案为：B
例2.若数据 x1 ， x2 ， x3 ，…， xn 的方差为3，则数据 3x1?2 ， 3x2?2 ， 3x3?2 ，…， 3xn?2 的方差为________．
【答案】 27
【解析】由题意得， x=1n(x1+x2+???+xn) ，
3=1n[(x1?x)2+(x2?x)2+???+(xn?x)2] ，
因为 3x1?2,3x2?2,???,3xn?2 的平均数为
1n[(3x1?2)+(3x2?2)+???+(3xn?2)]=1n[3(x1+x2+???+xn)?2n] ? =3×1n(x1+x2+???+xn)?2 ? =3x?2 ，
所以 3x1?2,3x2?2,???,3xn?2 的方差为
1n[(3x1?2?3x+2)2+(3x2?2?3x+2)2+???+(3xn?2?3x+2)2]
=1n[9(x1?x)2+9(x2?x)2+???+9(xn?x)2]
=9×1n[(x1?x)2+(x2?x)2+???+(xn?x)2]
=9×3=27 。
故答案为：27。

【小题演练】
1.某班有男生28人，女生16人，用分层抽样的方式从中抽取容量为 n 的样本，若男生抽取了7人，则 n 的值为(??? )
A.?10?????????????????????????????????????????B.?11?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?14
2.某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（??? ）
A.?35?????????????????????????????????????????B.?40?????????????????????????????????????????C.?45?????????????????????????????????????????D.?60
3.某篮球队有篮球运动员15人，进行投篮训练，每人投篮100个，命中球数如下表：
命中球数
90
95
97
98
100
频数
1
2
3
7
2
则这组数据的中位数和众数分别为（??? ）
A.?97，2????????????????????????????????B.?98，2????????????????????????????????C.?97，98????????????????????????????????D.?98，98
4.下列说法：
①若线性回归方程为 y=3x?5 ，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程 y=bx+a 必过点 (x,y) ；④抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样，
其中错误的说法是（??? ）
A.?①③??????????????????????????????????B.?②③④??????????????????????????????????C.?①②④??????????????????????????????????D.?①④
5.在某项技能测试中，甲乙两人的成绩(单位：分)记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a代替.已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲成绩的中位数为________.
6.图是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________.
【参考答案】
1.【答案】 B
【解析】根据题意可得 n28+16=728 ，解得 n=11 。
故答案为：B.
2.【答案】 C
【解析】由题意可得男生抽取的人数是 800?350800×80=45 ．
故答案为：C
3.【答案】 D
【解析】这组数据共有15个，中位数是按大小顺序排列后的第8个数，即98，众数是数据中出现次数最多的数，即98．
故答案为：D
4.【答案】 D
【解析】对于①，回归方程中，变量x增加1个单位时，y平均增加3个单位，不是一定增加，所以①错误；
对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以②正确；
对于③，线性回归方程必经过样本中心点，所以③正确；
对于④，抽签法和随机数表法属于简单随机抽样，所以④错误.
故答案为：D
5.【答案】 21
【解析】由题意，知 16(16+18+18+a+20+24+28)=16(18+18+20+20+24+28) ，解得 a=4 ，
甲的成绩按从低到高排列：16，18，18，24，24，28，
∴甲的中位数为 18+242=21 。
故答案为：21。
6.【答案】 45
【解析】由图可知，甲的5次成绩分别是88、89、90、91、92，易知甲的平均分为90.乙的成绩分别是83、83、87、99，其中被污损的那次成绩为90到99中的某一个.设被污损的那次成绩为 x ，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得 83+83+87+x+995<90 .所以 x<98 .又 x 是90到99的十个整数中的其中一个，其中有8个整数小于98，所以 x<98 的概率 810=45 。