10.1随机事件与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（Word含答案解析）

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【10.1随机事件与概率】
【学习目标】了解随机事件与概率
【难点突破】
知识点1：样本点和样本空间
（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间
（2）表示：一般地，我们用false表示样本空间，用false表示样本点
知识点2：古典概型的定义
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
【例题分析】
例1.俄国著名飞机设计师埃格?西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了 A340 ，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的 A310 .假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1?p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知 A340 飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行； A310 飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使 A340 飞机比 A310 飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（??? ）
A.?(23,1)??????????????????????????????????B.?(13,1)??????????????????????????????????C.?(0,23)??????????????????????????????????D.?(0,13)
【答案】 C
【解析】由题意，飞机引擎正常运行的概率为 p ，
则 A310 飞机能成功飞行的概率为 C22p2=p2 ，
A340 飞机能成功飞行的概率为 C43p3(1?p)+C44p4=?3p4+4p3 ，
令 ?3p4+4p3>p2 即 ?3p2+4p>1 ，解得 13所以飞机引擎的故障率应控制的范围是 (0,23) .
故答案为：C.
例2.袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.
（1）求甲、乙成平局的概率；
（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.
【答案】 （1）解：记黑球为1，2号，白球为3，4号，红球为5，6号，
则甲的可能取球共有以下20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，
甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况，
故平局的概率 P1=820=25 .
（2）解：甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2红1白，1红2白，2红1黑共6种情况，
故先取者（甲）获胜的概率 P2=620=310 ，
后取者（乙）获胜的概率 P3=1?25?310=310 ，
所以 P2=P3 ，故先取后取获胜的概率一样.
【小题演练】
1.某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动，若甲、乙至多有一人被选中的概率是 710 ，则甲、乙均被选中的概率是（??? ）
A.?110????????????????????????????????????????B.?310????????????????????????????????????????C.?12????????????????????????????????????????D.?710
2.在区间 [?3?，?4] 上任取一个实数，则 |x|≤1 的概率为（??? ）
A.?17??????????????????????????????????????????B.?67??????????????????????????????????????????C.?27??????????????????????????????????????????D.?57
3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（??? ）
A.?至少有一个黑球与都是黑球????????????????????????????????B.?至少有一个黑球与至少有一个红球
C.?恰好有一个黑球与恰好有两个黑球??????????????????????D.?至少有一个黑球与都是红球
4.李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”?“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”?“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 13 ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（??? ）
A.?19??????????????????????????????????????????B.?49??????????????????????????????????????????C.?59??????????????????????????????????????????D.?89
5.现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是________.
6.一袋中装有6个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 45 ，则袋中白球的个数为________；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为________.
【参考答案】
1.【答案】 B
【解析】由题意可知事件“甲、乙至多有一人被选中”与事件“甲、乙均被选中”为对立事件，则甲、乙均被选中的概率是 P=1?710=310 ．
故答案为：B
2.【答案】 C
【解析】由 |x|≤1 可得 ?1所以在区间 [?3?，?4] 上任取一个实数，则 |x|≤1 的概率为 P=1?(?1)4?(?3)=27
故答案为：C
3.【答案】 C
【解析】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.
C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.
故答案为：C
4.【答案】 D
【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为 (13)4=181 ，有三个人休假的概率为 C43(13)3(23)=881 ，所以两家店铺都不能正常营业的概率为 P(A)=181+881=19 ，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为 1?P(A)=89 .
故答案为：D.
5.【答案】 0.972
【解析】根据题意可知，这段时间内该电路上有两个或三个灯泡能正常照明，
因此，所求事件的概率为 P=C32×0.92×0.1+0.93=0.972 .
故答案为：0.972.
6.【答案】 3；1
【解析】设袋中有白球m个，则有黑球6﹣m个，
设事件A：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，
则P（A）＝1 ?C6?m2C62=45 ，解得 C6?m2= 3，
即 (6?m)(5?m)2×1= 3，解得m＝3或m＝8（舍），
由从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X可能的取值为 0,1,2 ，
则P（X＝0）＝1 ?45=15 ，P（X＝1） =C31C31C62=35 ，P（X＝2） =45?35=15 ，
∴E（X）＝0 ×15+ 1 ×35+ 2 ×15= 1，
故答案为：3，1。