10.3频率与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（Word含答案解析）

1207770012661900高一数学人教版（2019）必修第二册
【10.3频率与概率】
【学习目标】掌握平率与概率的随机性与稳定性
【难点突破】
知识点1：在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大
知识点2：用频率估计概率：大量试验表妹，在任何次数的随机试验候总，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般的，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率false会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A），我们称概率的这个性质为频率的稳定性，因此，我们可以用频率false估计概率P（A）
【例题分析】
例1.用随机模拟方法求函数 y=x ?与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
【答案】 解:如图,阴影部分是函数y= x 的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤:
⑴利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;
⑵统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y< x x 的点(x,y)的个数);
⑶计算频率 N1N ,即为点落在阴影部分的概率的近似值;
⑷直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为 s1 =S.
则S≈ N1N ,即阴影部分面积的近似值为 N1N .
例2.一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
【答案】 解: 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130　302220　133020　022011　313121　222330
231022　001003　213322　030032　100211　022210
231330　321202　031210　232111　210010　212020
230331　112000　102330　200313　303321　012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为 425 ＝0.16.
【小题演练】
1.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（?? ）
7527? 0293? 7140? 9857? 0347? 4373? 8636? 6947? 1417? 4698
0371? 6233? 2616? 8045? 6011? 3661? 9597? 7424? 7610? 4281
A.?0.4??????????????????????????????????????B.?0.45??????????????????????????????????????C.?0.5??????????????????????????????????????D.?0.55
2.已知P是△ABC所在平面内﹣点， PB+PC+2PA=0 ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（?? ）
A.?23??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?13??????????????????????????????????????????D.?14
3.一只袋内装有m个白球， n?m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于 （n?m)Am2An3 的是（??? ）
A.?P(X=3)???????????????????????????B.?P(X≥2)???????????????????????????C.?P(X≤3)???????????????????????????D.?P(X=2)
4.从区间[0，1]内随机抽取2n个数 x1 ， x2 ，… xn ， y1 ，.. ， yn 构成n个数对( x1 ， y1 )，…，( xn ， yn )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为(?? )
A.?mn????????????????????????????????????B.?4mn????????????????????????????????????C.?n?mn????????????????????????????????????D.?4(n?m)n
5.如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为________．

6.设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分 ∫01f(x)dx .先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1 ， x2 ， …，xN和y1 ， y2 ， …，yN ， 由此得到N个点(xi ， yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1 ， 那么由随机模拟方法可得积分 ∫01f(x)dx 的近似值为________．
【参考答案】
1.【答案】 A
【解析】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共 8 次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 820=0.4 .
故答案为：A
2.【答案】 B
【解析】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 PB+PC = PD ，
∵ PB+PC+2PA=0 ，∴ PB+PC=?2PA ，
∴ PD=?2PA ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 12 ．
∴S△PBC= 12 S△ABC ．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= S△PBCS△ABC = 12 ．
故选B．
3.【答案】 D
【解析】当 X=2 时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，
前2个拿出白球，有 Am2 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有 Cn?m1 种取法，
而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，
此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即 An3 ，
P(X=2)=Am2Cn?m1An3=(n?m)Am2An3 ．
故答案为：D．
4.【答案】 D
【解析】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1 ， x2 ， …，xn ， y1 ， y2 ， …，yn ， 构成n个数对（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），对应的区域的面积为12 ． 而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1- 14 π?12 ，
∴ mn=1?14π?1212 =1- 14π12 ，
∴π =4(n?m)n ．
故答案为：D．
5.【答案】 0.38
【解析】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 S1=3801000 ，
即S＝0.38，
故答案为：0.38．
6.【答案】 N1N
【解析】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知： ∫01f(x)dx 是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为 N1N ×1＝ N1N ，即 ∫01f(x)dx ＝ N1N .
故答案为:N1N.