(共36张PPT)
2.1.1 椭圆及其标准方程
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握椭圆的定义;
2.掌握椭圆的标准方程,了解其推导过程;
3.掌握求椭圆标准方程的基本方法.
【思考1】给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆?
提示:在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.
名师点拨
椭圆的定义中,常数2a>|F1F2|>0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则,
(1)当2a=|F1F2|时,动点轨迹为线段F1F2;
(2)当2a<|F1F2|时,动点轨迹不存在.
1.椭圆的定义
椭圆定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
焦点
两个定点F1,F2
焦距
两焦点F1,F2间的距离|F1F2|
几何表示
|MF1|+|MF2|=2a(常数),且2a>|F1F2|
【做一做1】
(1)下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上)?
①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=
的点P的轨迹为椭圆;
②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;
③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
解析:(1)①中,因为F1(-1,0),F2(1,0),
可得|F1F2|=2,因为
<2,所以点P的轨迹不存在;
②中,因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;
③中,到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即x=0.故答案为②.
F1(0,-2)与F2(0,2)的距离之和等于10,且|F1F2|=4<10,所以根据椭圆的定义知点P的轨迹是以F1(0,-2)与F2(0,2)为焦点的椭圆.
答案:(1)② (2)椭圆
【思考2】若两定点A,B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程?
提示:以两定点的中点为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).设P(x,y),依题意得|PA|+|PB|=10,所以
2.椭圆的标准方程
名师点拨
1.对椭圆标准方程的三点认识
(1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上.
(2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是
的平方和,并且分母为不相等的正值.
(3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,当点
M到两焦点距离相等时,a,b,c(都是正数)恰好构成一
个直角三角形的三条边,a是斜边,所以a>b,a>c,且
a2=b2+c2(如图所示).
相同点:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;
不同点:两椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
3.给出椭圆方程
=1(m>0,n>0,m≠n),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法
椭圆的焦点在x轴上?标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上?标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.
解析:(1)∵椭圆的一个焦点为(0,1),∴焦点在y轴上,∴4-m=1,解得m=3.
(2)由于10>6,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,从而c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).
(3)由已知得b2=a2-c2=21,又焦点在y轴上,于是椭圆的标准方程为
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
对椭圆定义的理解
例1已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法:
①当a=2时,点P的轨迹不存在;
②当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3;
③当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6;
④当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆.
其中正确的说法是 .(填序号)?
分析按照椭圆的定义进行判断.
解析:当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,①正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,②错误,③正确;当a=3时,点P的轨迹为线段AB,④错误.
答案:①③
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟由椭圆定义知,点的集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}(其中|F1F2|=2c)表示的轨迹有以下三种情况:
(1)当a>c时,集合P为椭圆;
(2)当a=c时,集合P为线段F1F2;
(3)当a因此在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时,一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1到两定点F1(0,5),F2(0,-5)的距离之和为10的点M的轨迹是( )
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上都不对
解析:由于|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
根据椭圆的标准方程求参数的取值范围
(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 .?
分析根据椭圆标准方程的形式进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟根据椭圆方程求参数取值范围的方法
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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延伸探究
若本例(2)方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是什么?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
求椭圆的标准方程
例3根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
分析(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)直接进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
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反思感悟椭圆标准方程的求解方法
(1)利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:
①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程.
(2)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).此时焦点位置包括焦点在x轴上(mn)两种情况,可以避免分类讨论,从而简化运算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6;
(2)经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
相关点法在求解椭圆方程中的应用
典例如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹.
解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
又M为PD的中点,
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆(x≠±2).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
代入法求轨迹方程的基本步骤
(1)设点:设所求轨迹上动点坐标为P(x,y),已知曲线上动点坐标为Q(x1,y1);
(2)求关系式:用点P的坐标表示出点Q的坐标;
(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把所得方程化简即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”,改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
A.(±5,0)
B.(0,±5)
C.(0,±12)
D.(±12,0)
解析:因为c2=a2-b2=169-25=122,所以
c=12,又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±12).
答案:C
探究一
探究二
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当堂检测
3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)和(0,3),且椭圆经过点(0,4),则该椭圆的标准方程是( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
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当堂检测
答案:点在椭圆外
探究一
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当堂检测
5.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=5,c=2;
探究一
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当堂检测(共35张PPT)
2.1.2 椭圆的简单几何性质
课标阐释
思维脉络
1.掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质;
2.能够应用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质;
3.掌握根据椭圆的几何性质解决有关问题的方法.
【思考】观察椭圆
(a>b>0)的形状(如图),你能从图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
提示:(1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;
(2)对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点都对称;
(3)特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).
椭圆的简单几何性质
焦点位置
中心在原点,焦点在x轴上
中心在原点,焦点在y轴上
性
质
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴:线段A1A2,长2a;短轴:线段B1B2,长2b;长半轴长:a;短半轴长:b
离心率
,e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆
a,b,c的
关系
c2=a2-b2
名师点拨
1.椭圆的范围决定了椭圆的大小,它位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.其实质是给出了椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最值和轨迹等问题时的检验.
2.应用方程研究曲线对称性的方法如下:
(1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称;
(2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称;
(3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.
3.椭圆的离心率
4.椭圆的通径:过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径,其长度为
.
答案:B
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
根据椭圆的标准方程研究其几何性质
例1求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟用标准方程研究几何性质的步骤
(1)化标准:把椭圆方程化成标准形式;
(2)定位置:根据标准方程分母的大小确定焦点的位置;
(3)求参数:写出a,b的值,并求出c的值;
(4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
根据椭圆的几何性质求其标准方程
例2根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)椭圆的一个顶点是(0,2),离心率e=
;
(2)椭圆长轴的一个端点为(-6,0),短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形.
分析(1)焦点位置不确定,应进行分类讨论;(2)焦点位置确定,可根据题目条件求出a,b,c的值即得方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)根据椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:
①确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;
②确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;
③写出标准方程.
(2)在求椭圆标准方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行分类讨论.一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点位置,而已知离心率、长轴长、短轴长、焦距时,则不能确定焦点位置.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1根据下列条件,求椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0).
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
椭圆的离心率问题
例3(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围;
(2)椭圆
(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c,求椭圆的离心率.
分析(1)依题意建立c与b的不等式,再转化为a,c的不等式,即可求得离心率的取值范围;(2)根据题意,建立参数a,b,c的方程求解,注意椭圆定义的灵活运用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟求椭圆离心率的值或范围的两种方法
(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于c,a的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2(1)若直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的离心率为( )
(2)若椭圆的长轴长、短轴长、焦距构成等比数列,则该椭圆的离心率等于 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
一题多变——求椭圆的离心率
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求C的离心率.
解:在△PF1F2中,
∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,
∴∠F1PF2=60°,
设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求C的离心率的取值范围.
解:由题意,知c>b,∴c2>b2.
又b2=a2-c2,∴c2>a2-c2,即2c2>a2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.已知椭圆9x2+4y2=36,则其长轴长为( )
A.2
B.4
C.6
D.9
解析:∵椭圆的标准方程为
故a2=9,b2=4,
∴椭圆的长轴为2a=6,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.如果椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个端点与两焦点的连线组成一个正三角形,且a-c=
,则椭圆的标准方程是
.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e=
,且过点P(2,3),求此椭圆的标准方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共37张PPT)
2.2.1 双曲线及其标准方程
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握双曲线的定义;
2.掌握双曲线的标准方程,了解其推导过程;
3.掌握求双曲线标准方程的基本方法.
【思考1】若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?
提示:如图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数;如果改变一下笔尖位置,使|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线.
1.双曲线的定义
双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
焦点
两个定点F1,F2
焦距
两焦点F1,F2间的距离|F1F2|
几何表示
||MF1|-|MF2||=2a(常数),且0<2a<|F1F2|
名师点拨
理解双曲线的定义,应重点抓住它与椭圆的不同点:
(1)双曲线的定义中是动点到两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数,而不是差等于常数,否则轨迹只能为双曲线的某一支,设F1,F2表示双曲线的左、右焦点.
①若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;②若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.
(2)双曲线的定义中,常数应小于两个已知定点间的距离且不等于0,否则:
①若常数等于|F1F2|,则轨迹为两条射线;②若常数等于0,则轨迹为线段F1F2的垂直平分线;③若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.
【做一做1】
(1)给出下列条件,其中动点轨迹为双曲线的是( )
A.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于8
B.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差等于6
C.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于4
D.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之和等于4
(2)已知动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
解析:(1)由双曲线的定义知C项正确.
(2)|PM|-|PN|=2,而|MN|=2,所以点P在线段MN的延长线上.
答案:(1)C (2)D
【思考2】双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?
提示:在双曲线标准方程中,b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c与b大小不确定.
2.双曲线的标准方程
名师点拨
1.两双曲线
(a>0,b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>0,b>0,a2+b2=c2;不同点是:两双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2.双曲线的焦点在x轴上?标准方程中x2项的系数为正;双曲线的焦点在y轴上?标准方程中y2项的系数为正,这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法.
3.双曲线的标准方程可统一表示为:mx2+ny2=1(mn<0).
答案:(1)A (2)9
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
双曲线的定义及应用
分析根据双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解.
由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos
60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一:
①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;
②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;
③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;
特别提醒
利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2||=2a的变形使用,特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·|PF2|间的关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
本例中若∠F1PF2=90°,其他条件不变,求△F1PF2的面积.
解:由双曲线方程知a=3,b=4,c=5,
由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=6,
所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,①
在Rt△F1PF2中,由勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=100,②
将②代入①得|PF1|·|PF2|=32,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
双曲线标准方程的应用
(1)若方程表示双曲线,求实数m的取值范围;
(2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数m的取值范围;
(3)若方程表示椭圆,求实数m的取值范围.
分析根据双曲线与椭圆的标准方程的特征建立不等式(组)求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)依题意有(m-1)(m2-4)>0,即(m-1)(m+2)(m-2)>0,解得-22.
所以m的取值范围是(-2,1)∪(2,+∞).
所以m的取值范围是(-2,1).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(1)表示双曲线的条件是mn>0;
(2)表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m>0,n>0;
(3)表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m<0,n<0;
(4)表示椭圆的条件是m>0,n<0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1(1)若方程
表示双曲线,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,3)
B.(-1,+∞)
C.(3,+∞)
D.(-∞,-1)
(2)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
答案:(1)B (2)D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
求双曲线的标准方程
例3根据下列条件求双曲线的标准方程.
(1)c=
,经过点(-5,2),焦点在x轴上;
(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P到F1,F2的距离之差的绝对值等于6;
分析先根据已知条件设出双曲线的标准方程,再构造关于a,b的方程组,求得a,b即得方程,要注意对双曲线焦点位置的分析以及平方关系c2=a2+b2的运用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟双曲线标准方程的求法
(1)求双曲线标准方程的一般方法与步骤
①定位置:根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论;
焦点不确定时,亦可设为mx2+ny2=1(m·n<0);
③寻关系:根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组;
④得方程:解方程组,将a,b,c(或m,n)的值代入所设方程即为所求.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)一个焦点是(0,-6),经过点A(-5,6);
(2)过M(1,1),N(-2,5)两点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用双曲线定义求轨迹或方程
典例(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A.|PF1|-|PF2|=±3
B.|PF1|-|PF2|=±4
C.|PF1|-|PF2|=±5
D.|PF1|2-|PF2|2=±4
(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:(1)当|PF1|-|PF2|=±3时,||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4,满足双曲线定义,P点的轨迹是双曲线.
(2)如图,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于
点A和点B,
根据两圆外切的条件|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=2,表明动点M与两定点C2,C1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为x2-
=1(x≤-1).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时,一定要注意双曲线定义中的各个条件,不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数,就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零,否则就不是双曲线.
(2)利用双曲线的定义求曲线方程的基本步骤为
①寻求动点M与定点F1,F2之间的关系.
②根据题目的条件计算是否满足||MF1|-|MF2||=2a(常数,a>0).
③判断:若2a<2c=|F1F2|,满足定义,则动点M的轨迹就是双曲线,且2c=|F1F2|,b2=c2-a2,进而求出相应a,b,c.
④根据F1,F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练(1)下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上)?
①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|-|PF2|=
的点P的轨迹为双曲线;
②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足||PF1|-|PF2||=4的点P的轨迹为两条射线;
③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线;
④若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(-3,-1)的距离,则点P的轨迹为双曲线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(1)解析:①
<2,故点P的轨迹是双曲线的一支;②因为2a=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7,而7>6,故点P的轨迹不存在;④点M(1,2)到点N(-3,-1)的距离为
=5<8,故点P的轨迹是以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点的双曲线.
答案:②④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)解:圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1.
圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
A.(-∞,-2)
B.(-2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-2)∪(-2,0)
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.判断下列方程是否表示双曲线,若是,求出a,b,c的值及焦距;若不是,请说明理由.
(3)4y2-9x2=36;
(4)4x2-y2=0.(共40张PPT)
2.2.2 双曲线的简单几何性质
课标阐释
思维脉络
1.掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质;
2.能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质;
3.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法.
【思考】观察下面的图形:
(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么是否与椭圆一样有范围限制?
(2)是不是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是不是中心对称图形?对称中心是哪个点?
提示:(1)有限制,因为
≥1,即x2≥a2,所以x≥a或x≤-a.
(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
双曲线的简单几何性质
名师点拨
1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭型曲线,而双曲线是开放型的;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判定焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为
=λ(λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上.
小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.
4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其标准方程为x2-y2=a2,渐近线方程为y=±x,离心率一定等于
.
答案:2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
根据双曲线的标准方程研究其几何性质
例1求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
分析将双曲线方程化为标准形式,再求出其各个几何性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式;
(2)由标准方程确定焦点位置,再确定a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
将本例改为“求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”,请给出解答.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
根据双曲线的几何性质求其标准方程
例2求解下列各题:
(1)已知双曲线的右焦点为F(3,0),离心率等于
,求双曲线的标准方程;
(2)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过点P(
,2),求双曲线的标准方程;
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6,求双曲线的标准方程;
(4)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2),求双曲线的标准方程.
分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,即得方程;对于(3)和(4),焦点位置不确定,应分类讨论,也可直接利用共渐近线的双曲线方程之间的关系求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟求双曲线标准方程的两种方法
1.根据双曲线的几何性质求其标准方程时,常用的方法是先定型(确定焦点在哪个轴上),后计算(确定a2,b2的值),要特别注意c2=a2+b2的应用,不要与椭圆中的关系混淆.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.求双曲线标准方程,主要采用待定系数法,常用以下方法巧设双曲线方程进行求解
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1求下列双曲线的标准方程:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
双曲线的离心率与渐近线问题
(2)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于
,则其渐近线方程为
.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟双曲线的离心率与渐近线的求解策略
(1)求双曲线的离心率时,可以求出a与c的值,然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下,由于受到题目已知条件的限制,很难或不可能求出a和c的值,只能根据题目条件获得关于a和c的关系式,进而
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
双曲线的离心率的求法
典例已知F1,F2是双曲线
(a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
求双曲线离心率的三种方法
(3)若得到的是关于a,c的方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
A.(±4,0)
B.(0,±4)
C.(±5,0)
D.(0,±5)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:16
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共34张PPT)
2.3.1 抛物线及其标准方程
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握抛物线的定义;
2.理解并掌握抛物线的标准方程;
3.掌握求抛物线标准方程的方法;
4.能够运用抛物线的定义解决简单的轨迹问题.
【思考1】(1)平面内,到两定点距离相等的点的轨迹是什么?
(2)平面内,到两个确定平行直线l1,l2距离相等的点的轨迹是什么?
提示:(1)连接两定点所得线段的垂直平分线.
(2)一条直线.
1.抛物线的定义
特别提醒
抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线,且要求这个定点不能在定直线上,否则动点的轨迹就不再是一条抛物线,而是一条直线(过定点且与定直线垂直的直线).
定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
焦点
定点F叫做抛物线的焦点
准线
定直线l叫做抛物线的准线
【做一做1】
若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析:依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.
答案:D
【思考2】二次函数解析式是什么?其图象是什么?
提示:二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),它的图象是抛物线.
2.抛物线的标准方程
名师点拨
1.抛物线标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等)
(1)抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为±2p;
(2)若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);
(3)若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).
2.抛物线与二次函数的关系:二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),当b,c为0时,y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2=
y,当a>0时抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下.但当抛物线的开口向左或向右时,方程为y2=±2px(p>0),表示一条曲线,不能称之为二次函数.
特别提醒
抛物线的标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p<0的错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程
例1求下列各抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=-12x; (2)3x2-4y=0;
(3)x=32y2; (4)y2=ax(a≠0).
分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,然后写出焦点坐标和准线方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟根据抛物线方程求焦点坐标和准线方程的方法
已知抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时,首先应将所给方程化为标准方程,然后由标准方程得到参数p的值,最后得到焦点坐标和准线方程,需注意p>0,焦点所在坐标轴由标准方程中的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
若将本例(4)方程改为y=ax2(a≠0),其焦点坐标和准线方程分别是什么?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
求抛物线的标准方程
例2根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)焦点F到直线x=2的距离等于3;
(2)经过点M(-8,4);
(3)点(2,2)到准线的距离等于2;
分析先根据题意确定焦点的位置或准线的方程,从而确定标准方程的形式,设出其标准方程,然后求出参数p的值,代入即得抛物线标准方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)由于焦点F到直线x=2的距离等于3,所以焦点坐标为(-1,0)或(5,0).
当焦点坐标为(-1,0)时,设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
=1,2p=4,则抛物线方程为y2=-4x;
当焦点坐标为(5,0)时,设抛物线方程为y2=2px(p>0),
=5,2p=20,则抛物线方程为y2=20x.
(2)由于点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),解得2p=16或2p=1,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟求抛物线标准方程的方法
(1)当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立关于参数p的方程,求出p的值,进而写出抛物线的标准方程.
(2)当焦点位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),利用已知条件求出m,n的值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1(1)若抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线y=
x的距离等于2,则抛物线的方程为( )
(2)已知抛物线C的准线与直线x=-3之间的距离等于5,则抛物线C的标准方程为
.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解得p=8,故抛物线方程为x2=16y.
(2)由于准线与直线x=-3之间的距离等于5,所以可求得准线方程为x=-8或x=2.当准线方程为x=-8时,抛物线C的标准方程为y2=32x;当准线方程为x=2时,抛物线C的标准方程为y2=-8x.
答案:(1)D (2)y2=32x或y2=-8x
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
根据抛物线的定义解决轨迹问题
A.椭圆
B.双曲线
C.直线
D.抛物线
分析将所给等式整理转化,结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式分析判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
点M(x,y)到定直线3x-4y+2=0的距离,因此动点M(x,y)到定点(1,0)的距离等于它到定直线3x-4y+2=0的距离,且定点(1,0)不在定直线3x-4y+2=0上,故动点M的轨迹是以(1,0)为焦点,以3x-4y+2=0为准线的抛物线.
答案:D
反思感悟根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行分析判断,结合有关曲线的定义求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2若点P(x,y)到点F(0,-5)的距离比它到直线y=4的距离大1,则点P(x,y)的轨迹方程为( )
A.x2=16y
B.x2=-16y
C.x2=20y
D.x2=-20y
解析:依题意知点P(x,y)到点F(0,-5)的距离与它到直线y=5的距离相等,并且点F(0,-5)不在直线y=5上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,y=5是准线,于是点P(x,y)的轨迹方程为x2=-20y.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
抛物线的定义的应用
典例(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
(2)已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,对于定点A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的P点坐标.
(3)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),由
+3=5得p=4,因此抛物线方程为x2=-8y,其准线方程为y=2,由m2=24得m=±2
.
(2)如图,作PN⊥l于N(l为准线),作AB⊥l于B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,
当且仅当P为AB与抛物线的交点时,取等号.
∴(|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5.
此时yP=2,代入抛物线得xP=1,∴P(1,2).
(3)设动圆圆心为M(x,y),半径为r,
则由题意可得M到圆心C(0,-3)的距离与直线y=3的距离相等.
由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得,
点P到准线x=-
的距离d=|PF|,
易知点A(0,2)在抛物线y2=2x的外部,
连接AF,交y2=2x于点P',
欲使所求距离之和最小,只需A,P',F共线,
所以其最小值为
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是( )
A.6
B.7
C.8
D.9
解析:抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,可得xM=9,则M到y轴的距离是9.故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.P为抛物线y2=2px(p>0)上一点,点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则p=( )
A.2
B.4
C.4或9
D.2或18
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.已知d为抛物线y=2px2(p>0)的焦点到准线的距离,则pd=( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,AF的中点坐标为(2,2),则C的方程为 .?
答案:y2=8x
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .?
解析:设动圆的半径为R,因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.
又因为动圆和直线l:x=-2相切,所以M到直线l:x=-2的距离d=R,即M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且A是焦点,l是准线,并且有
=2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=8x.
答案:y2=8x(共32张PPT)
2.3.2 抛物线的简单几何性质
课标阐释
思维脉络
1.掌握抛物线的简单几何性质;
2.掌握直线与抛物线的位置关系;
3.能够运用抛物线几何性质解决实际问题.
【思考】观察下列图形,思考以下问题:
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别?
(2)根据图形及抛物线方程y2=2px(p>0)如何确定横坐标x的范围?
提示:(1)抛物线与另两种曲线相比较,有明显的不同,椭圆是封闭曲线,有四个顶点,有两个焦点,有中心;双曲线虽然不是封闭曲线,但是有两支,有两个顶点,两个焦点,有中心;抛物线只有一条曲线,一个顶点,一个焦点,无中心.
(2)由抛物线y2=2px(p>0)有
所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和向右下方无限延伸.
1.抛物线的简单几何性质
名师点拨
1.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.
2.抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
3.抛物线的通径:
【做一做1】
(1)若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,那么下列点中一定在该抛物线上的是( )
A.(-m,-n)
B.(m,-n)
C.(-m,n)
D.(-n,-m)
(2)顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线的准线与对称轴的交点坐标是 .?
解析:(1)由抛物线关于x轴对称易得.
(2)依题意设抛物线方程为x2=2py(p>0),则有42=2p·1,2p=16,于是抛物线方程为x2=16y,其准线为y=-4,准线与对称轴的交点坐标是(0,-4).
答案:(1)B (2)(0,-4)
2.直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+b,抛物线C:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.则有:
k2=0
直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线有一个公共点
k2≠0
Δ>0
直线与抛物线相交,有两个公共点
Δ=0
直线与抛物线相切,有一个公共点
Δ<0
直线与抛物线相离,无公共点
特别提醒
直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点;直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切,也有可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
【做一做2】
(1)已知曲线y=x2-x+2与直线y=x-m有两个交点,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,+∞)
B.(-∞,-1]
C.(-∞,-1)
D.(-∞,1)
(2)过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线的条数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
即方程x2-x+2=x-m有两个不相等的实数根,
将方程整理为x2-2x+m+2=0,
所以Δ=4-4(m+2)>0,
解得m<-1.
故选C.
(2)易知点(0,1)在抛物线y2=2px(p>0)外,过(0,1)可作抛物线的两条切线,过(0,1)与对称轴(x轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点,所以共有3条.故选D.
答案:(1)C (2)D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
由抛物线的几何性质求标准方程
例1抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
分析根据题设条件,设出抛物线的标准方程,利用待定系数法求解.
∴抛物线的对称轴为x轴.
设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即
=3,∴p=6.
∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,
其准线方程分别为x=-3或x=3.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
用待定系数法求抛物线方程的步骤
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4”,求此抛物线的标准方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
直线与抛物线的位置关系及应用
例2已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点A(1,-2).
(1)求抛物线方程,并求其准线方程;
(2)若直线l与OA平行,与抛物线有公共点,且直线OA与l的距离为
,求直线l的方程.
分析(1)将A点坐标代入抛物线方程即得p的值,从而得抛物线方程与准线方程;(2)设出直线l的方程与抛物线方程联立进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)将点A(1,-2)代入抛物线y2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,得p=2.
即抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)设直线l的方程为y=-2x+t.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟直线和抛物线位置关系的判定方法
解决直线与抛物线位置关系的判断问题时,主要利用代数方法,即将直线方程与抛物线方程联立,通过方程组解的个数情况判断位置关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.
解:显然直线斜率k存在,可设直线方程为y-2=k(x+3),由
整理得ky2-4y+12k+8=0.①
(1)当k=0时,方程①化为-4y+8=0,即y=2,此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)当k≠0时,方程①应有两个相等的实根,
即x-3y+9=0或x+y+1=0.
综上,所求直线有三条,分别为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
抛物线在实际问题中的应用
例3如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O'P=1
m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2
m,点P距抛物线的对称轴1
m,则水池的直径至少应设计多少米?
(精确到1
m)
分析可以以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得点P坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,设抛物线与水面的交点为B,则由点B的纵坐标求出点B的横坐标即可得解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.一般解决实际问题的步骤:
(1)建立适当的数学模型,将实际问题转换成数学问题;
(2)通过所学的数学知识进行求解.
2.利用抛物线模型解决实际问题时的关键点:
(1)一般将抛物线的顶点作为原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,得到抛物线的标准方程;
(2)注意抛物线上关键点(焦点、顶点)的坐标;
(3)善于运用抛物线的对称性进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2一辆卡车高3
m,宽1.6
m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a
m,求使卡车通过的a的最小整数值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
一题多解——与中点弦有关的问题
典例过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,则AB所在直线的方程为 .?
解:(1)(方法一)设以点Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有
=8x1,
=8x2,
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
又y1+y2=2,∴y1-y2=4(x1-x2),
∴所求弦AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),
即4x-y-15=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),用点差法求kAB;方法二:设直线AB的方程,建立方程组求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.若抛物线经过点(2,1)且通径长等于4,则其标准方程为( )
A.y2=
x
B.y2=4x
C.x2=4y
D.x2=-4y
解析:由于通径长等于4,所以2p=4.
又因为经过点(2,1),所以方程只能为x2=4y.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.直线y=2x+4与抛物线y=x2交于A,B两点,则△ABO的面积为( )
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.已知点P(m,m)(m≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,且点P到该抛物线焦点的距离为30,则p=( )
A.10
B.12
C.20
D.30
解析:设抛物线的焦点为F,因为点P(m,m)(m≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,所以m2=2pm,即m=2p.
又由抛物线的焦半径公式可得
,解得p=12.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
m,水面宽为4
m.水位下降1
m后,水面宽为
m.?
解析:建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,
则抛物线方程为x2=-2y.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.如图所示,等边三角形OAB的边长为8
,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上,求抛物线E的方程.
解:依题意,|OB|=8
,∠BOy=30°.
设B(x,y),
则x=|OB|sin
30°=4
,y=|OB|cos
30°=12.
因为点B(4
,12)在x2=2py上,
所以(4
)2=2p×12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.(共32张PPT)
习题课——抛物线的综合问题
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用抛物线的定义解决有关问题的方法;
2.掌握抛物线焦点弦问题的求解方法;
3.掌握抛物线中的定点与定值问题的求解方法.
1.利用抛物线的定义解题
若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,那么点P到点F的距离等于点P到l的距离.
2.抛物线的焦半径与焦点弦
(1)抛物线的焦半径
(2)抛物线的焦点弦
【做一做1】
若抛物线y2=-16x上一点P到准线的距离等于它到点M(-6,0)的距离,则点P的坐标为( )
解析:根据抛物线的定义可知,点P到焦点F(-4,0)的距离等于它到点(-6,0)的距离,
因此点P在线段MF的垂直平分线上,而F(-4,0),
答案:B
【做一做2】
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若F是线段AB的中点,则|AB|=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由题可知,线段AB为抛物线的通径,
所以|AB|=2p=4,故选D.
答案:D
【做一做3】
若过抛物线C:y2=4x的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,则线段AB的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
所以直线AB的方程为y=2x-2,
设A(x1,y1),B(x2,2y2),
所以x1+x2=3,|AB|=x1+x2+2=5.故选C.
答案:C
【做一做4】
已知点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,点A(3,0),则|PA|的最小值为 .?
【做一做5】
已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值.
证明:抛物线x2=4y的焦点F(0,1),
由题易知直线AB的斜率存在,设其为k,则直线AB的方程为y-1=kx.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用抛物线的定义解决计算问题
例1已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.
分析一种思路是由条件结合两点间距离公式,建立方程组求解;另一种思路是借助抛物线的定义进行转化求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟抛物线定义的应用技巧
利用抛物线的定义解题,实质是进行了两种距离之间的转化:即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化,通过这种转化可以简化解题过程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
若本例中抛物线的对称轴为y轴,点M坐标为(m,3),其他条件不变,如何求抛物线方程?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
与抛物线有关的最值问题
例2在抛物线y2=2x上求一点P,使点P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟与抛物线有关的最值问题的解决方法
解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
抛物线的焦点弦问题
例3已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
分析(1)只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,然后根据焦点弦长度公式求解;(2)利用焦点弦长度公式得到AB的中点坐标后计算即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟求解抛物线的焦点弦长度问题一般有两种方法:一是运用一般的弦长公式求解;二是直接利用焦点弦长度公式求解,即如果AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长:|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这种方法的实质是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的定义的重要应用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36,求弦所在的直线方程.
解:∵过焦点的弦长为36,∴弦所在的直线的斜率存在且不为零.
故可设弦所在直线的斜率为k,且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
∵抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),
∴直线的方程为y=k(x-1).
整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0(k≠0).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
抛物线中的定值、定点问题
典例如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:设直线AB的斜率为k(k≠0),
因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为-k(k≠0).
因为直线AB的方程是y=k(x-4)+2,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练已知A,B为抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为原点,若OA⊥OB,求证:直线AB过定点.
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.抛物线x2=2py(p>0)上一点(4,1)到其焦点的距离d=( )
A.4
B.5
C.7
D.8
解析:将(4,1)代入x2=2py得p=8,则由抛物线定义得到d=1+
=5.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,|AB|=6,弦AB中点P的横坐标xP=2,则该抛物线的方程为( )
A.y2=2x
B.y2=4x
C.y2=6x
D.y2=8x
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知,x1+x2+p=6,
又xP=
=2,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时,点P的坐标为( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离,如图,|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三点共线时取得,此时P,Q的纵坐标都是-1,点P坐标为
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.设抛物线y2=2x与过焦点F的直线交于A,B两点,则
的值是 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.已知抛物线y2=-8x的顶点为O,点A,B在抛物线上,且OA⊥OB,求证:直线AB经过一个定点.(共41张PPT)
习题课——双曲线的综合问题
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用双曲线的定义解决有关问题的方法;
2.理解直线与双曲线的位置关系及其判断方法.
1.双曲线的焦点三角形问题
【思考】直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点,则直线与圆(椭圆)相切,那么,直线与双曲线相切,能用这个方法判断吗?
提示:不能.
2.直线与双曲线的位置关系
(1)判定方法:
直线:Ax+By+C=0,
两方程联立消去y,得mx2+nx+q=0.
位置关系
公共点个数
判定方法
相交
2个或1个
m=0或
相切
1个
m≠0,且Δ=0
相离
0个
m≠0,且Δ<0
(2)联立直线方程与双曲线方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.
特别提醒
直线与双曲线只有一个公共点时,直线不一定与双曲线相切,也可能相交,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.
答案:A
解析:由已知得2a=2×4=8,
所以|MF1|-|MF2|=8.
又|MF1|=3|MF2|,所以|MF2|=4.
答案:B
答案:C
【做一做4】
已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过点F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则双曲线E的标准方程为( )
答案:B
答案:3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用双曲线的定义解决求值问题
分析(1)可直接利用双曲线的定义求解;(2)利用双曲线的定义以及余弦定理、三角形面积公式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)由已知可得a2=36,b2=64,所以c2=100,即c=10.因为双曲线左支上的点到右焦点F2的距离的最小值为a+c=6+10=16,而|PF2|=14<16,所以点P只能在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=12,
所以|PF1|=26.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟双曲线定义的应用
①若点P在左支上,则|PF1|的最小值为c-a,|PF2|的最小值为c+a;
②若点P在右支上,则|PF1|的最小值为c+a,|PF2|的最小值为c-a.
(2)解决双曲线的焦点三角形问题时,通常也是利用双曲线的定义并结合余弦定理、三角形面积公式,通过配方等变形,解决面积计算等相关问题.
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利用双曲线定义解决轨迹问题
例2若动圆与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切,求动圆的圆心P的轨迹方程.
分析由动圆与定圆A和B都相外切,找到动点P与两个定点A,B的距离之间的关系,再对照双曲线的定义进行判断求解.
解:设动圆P的半径为R,且P(x,y),
则|PA|=R+7,|PB|=R+1.
所以|PA|-|PB|=(R+7)-(R+1)=6<10=|AB|,
根据双曲线的定义可知,点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支.
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反思感悟与双曲线有关的轨迹问题的求解策略
解决轨迹问题时,如果在题目的条件中出现了定点(m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(当然也可以是某定圆的圆心),应注意考察动点到两个定点的距离之差(绝对值)是不是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值小于两个定点之间的距离,那么动点的轨迹就是双曲线(或其某一支).
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延伸探究
若本例条件改为动圆与圆A和圆B都内切,其他条件不变,如何求动圆圆心的轨迹方程?
解:设动圆P的半径为R,且P(x,y),
则|PA|=R-7,|PB|=R-1,
∴|PB|-|PA|=6<10=|AB|,
∴点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的左支.
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直线与双曲线的位置关系
(2)若l与C有两个不同的交点,求双曲线C的离心率e的取值范围.
分析(1)将l与C的方程联立消去一个未知数,得到一元二次方程,利用根与系数的关系可求得弦长;(2)由l与C相交,知Δ>0,从而求出a的取值范围,可得离心率的取值范围.
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反思感悟1.直线与双曲线位置关系的判断方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的交点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当二次项系数为0时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
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2.求弦长的两种方法
(1)距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间距离公式求弦长.
(2)弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦长公式求解,即若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
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变式训练2已知点A(-
,0)和点B(
,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D,E两点,求线段DE的长.
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一题多解——中点弦问题
典例已知双曲线
-y2=1,求过点A(3,-1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
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解:(方法一)由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为y+1=k(x-3),
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方法点睛
解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围问题.
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解析:设双曲线右焦点为F2,连接AF2,BF2,由图形的对称性知四边形AFBF2为矩形,则有|AF|-|AF2|=2a,|AF|·|AF2|=3a2,
∴|AF|=3a,|AF2|=a,在Rt△AFF2中,kAF=tan∠AFF2=
,故选A.
答案:A
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答案:AC
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答案:C
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5.已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
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当堂检测(共40张PPT)
习题课——椭圆的综合问题
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用椭圆定义解决椭圆的焦点三角形问题的基本方法;
2.掌握与椭圆有关的简单的动点轨迹问题的求解方法;
3.理解直线与椭圆的位置关系;
4.掌握与椭圆有关的最值问题或范围问题的解法.
1.椭圆的焦点三角形问题
2.直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆一共有三种位置关系:相交、相切、相离.
(2)判断直线与椭圆位置关系的方法:将直线方程Ax+By+C=0与椭圆方程
(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,记该方程的判别式为Δ,那么:
①若Δ>0,则直线与椭圆相交;
②若Δ=0,则直线与椭圆相切;
③若Δ<0,则直线与椭圆相离.
3.最值问题
若椭圆
(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P是椭圆上任意一点,则|PF1|的最大值为a+c,|PF1|的最小值为a-c.
解析:由已知a=2,所以三角形MNF2的周长为|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=2a+2a=4a=8.
答案:C
答案:A
答案:C
答案:B
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思想方法
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利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
F1PF2=60°.
(1)求△F1PF2的面积;
(2)求点P的坐标;
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思想方法
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在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos
60°,
即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义,得10=|PF1|+|PF2|,
即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,
所以|PF1|·|PF2|=25,
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反思感悟1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够将一些距离进行相互转化,简化解题过程,因此,解题过程中涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时,应首先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
2.解决焦点三角形的面积问题时,既要用到椭圆的定义、又要运用余弦定理,还要通过配方技巧,采用整体运算的思想,代入三角形的面积公式求得.
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思想方法
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(1)若点A在椭圆上,且|AF1|=2|AF2|,求cos
∠F1AF2;
(2)若点P在椭圆上,且∠PF1F2=90°,求△PF1F2的面积.
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与椭圆有关的轨迹问题
例2求过点P(3,0)且与圆x2+y2+6x-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.
分析根据动圆与已知圆的相切关系,得到动圆圆心C满足的条件,即C与圆C1的圆心的距离以及到P点的距离的和等于常数,从而结合椭圆的定义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程.
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思想方法
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解:圆的方程可化为(x+3)2+y2=100,因此圆的圆心为C1(-3,0),半径为r=10.
设动圆圆心为C,半径为R,则依题意有:|PC|=R且|CC1|=10-R.
所以有|CC1|+|CP|=10,即动点C到两个定点C1(-3,0)和P(3,0)的距离之和等于常数10,且10>|C1P|,故动圆圆心C的轨迹为以C1(-3,0)和P(3,0)为焦点的椭圆,且长轴长等于10.
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思想方法
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反思感悟利用椭圆的定义求轨迹方程
求动点的轨迹(方程)时,定义法是一种重要的方法.如果在题目的条件中,出现了定点(m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(当然也可以是某定圆的圆心)时,就要考察动点到两个定点的距离之和是否是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值大于两个定点之间的距离,那么根据椭圆的定义就可判断动点的轨迹为椭圆,然后结合条件求出方程中的参数a,b的值,即得轨迹方程.
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思想方法
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变式训练2设A(-2,0),B(2,0),△ABC的周长为10,则顶点C的轨迹方程为 .?
解析:由△ABC的周长为10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6>|AB|=4.
根据椭圆的定义知,顶点C是在以A,B为焦点的椭圆上,且2a=6,c=2,所以b2=a2-c2=5.
又因为A,B,C三点构成三角形,所以点C不能在x轴上,所以,顶点C
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思想方法
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直线与椭圆的位置关系
例3已知椭圆
的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.
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思想方法
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解:(方法一)根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y-1=k(x-2).
将其代入椭圆方程并整理,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,
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思想方法
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(方法二)点差法
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点,
∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,
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思想方法
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(方法三)对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),
由于点M(2,1)为线段AB的中点,
则另一个交点为B(4-x,2-y).
∵A,B两点都在椭圆上,
①-②,得x+2y-4=0.
即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.
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思想方法
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反思感悟1.解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;
(2)点差法:利用椭圆与直线的交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,
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思想方法
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2.直线与椭圆相交弦长的求法
(1)直接利用两点间距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.
(2)弦长公式:当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.
设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则有
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延伸探究
在本例中求弦AB的长.
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椭圆中的最值问题
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思想方法
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(2)如图,设椭圆的左焦点为F1,则F1(-1,0),此时|MP|+|MF|=2a-|MF1|+|MP|=4+|MP|-|MF1|.
又因为当M到达M'(M'在PF1的延长线上)位置时,|MP|-|MF1|取得最大值,即|PF1|.
方法点睛
解决与椭圆有关的最值问题的三种方法
(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.
(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.
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思想方法
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答案:9
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思想方法
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答案:C
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思想方法
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思想方法
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答案:C
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思想方法
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答案:C
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思想方法
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思想方法
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答案:48
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思想方法
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5.已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.
