(共30张PPT)
3.1 变化率与导数
课标阐释
思维脉络
1.理解函数平均变化率的意义,会求函数的平均变化率;
2.了解函数瞬时变化率的意义,理解函数导数的概念,会求函数在某一点处的导数;
3.理解导数的几何意义及其应用.
【思考】平均变化率
表示割线P1P2的斜率,Δx,Δy的取值一定是正数吗?
提示:Δx≠0,Δy∈R.
1.函数的平均变化率及其意义
名师点拨
Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,它表示自变量的改变量,可以为正,也可以为负,但不能等于零;Δy是相应函数值的改变量,它可以为正,可以为负,也可以等于零,若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2).
【做一做1】
(1)下列说法错误的是( )
A.函数的平均变化率可以大于零
B.函数的平均变化率可以小于零
C.函数的平均变化率可以等于零
D.函数的平均变化率不能等于零
2.瞬时速度
若物体运动的路程与时间的关系式是s=f(t),当Δt趋近于0时,函数f(t)在t0到t0+Δt之间的平均变化率
趋近于一个常数,这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度.
【做一做2】
如果质点M按照规律s(t)=2t2+1作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则该质点在t=3
s时的瞬时速度等于 .?
解析:由于Δs=s(3+Δt)-s(3)=2(3+Δt)2+1-19=12Δt+2Δt2,所以质点在t=3
s时的瞬时速度为
答案:12
m/s
3.导数的概念
名师点拨
对于导数的概念,应注意以下几点:
(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关;
(3)导数是一个常数,而不是变量,其实质是一个极限值.
【做一做3】
利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数.
4.导数的意义
【做一做4】
若函数f(x)在x=-2处的导数f'(-2)=1,则曲线f(x)在
(-2,f(-2))处的切线的倾斜角等于 .?
解析:由于斜率k=f'(-2)=1,而tan
45°=1,所以倾斜角θ=45°.
答案:45°
5.导函数
对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即
名师点拨
导数与导函数之间既有区别又有联系,一般地,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,与x,Δx均无关.
【做一做5】
若函数f(x)的导数f'(x)=-3x2+x+1,则f'(-1)= .?
解析:f'(-1)=-3(-1)2+(-1)+1=-3.
答案:-3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
函数的平均变化率及其意义
在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率等于 .?
(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数f(x)的图象上,若f(x)从x1到x2的平均变化率为
,则曲线y=f(x)的割线AB的倾斜角等于 .?
分析(1)根据平均变化率的定义求解;(2)根据函数平均变化率的几何意义求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟求函数平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1;
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1(1)已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为( )
A.3
B.0.29
C.2.09
D.2.9
(2)质点运动规律s(t)=2t+3,则t从3到3.3,质点运动的平均速度为( )
A.9
B.9.6
C.2
D.0.2
答案:(1)D (2)C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
例2(1)求函数f(x)=-x2+3x的导数;
(2)求函数y=x-
在x=-1处的导数.
分析(1)可按照导数的定义分步求解;(2)可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在x=-1处的函数值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.求函数f(x)在某一点x0处的导数,通常可以有两种方法:一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义进行求解,二是先利用导数的定义求出函数的导函数,再计算导函数在x0处的函数值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2(1)函数f(x)=4x2在x=-1处的导数等于 .?
(2)求函数f(x)=-
的导数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
导数的几何意义及其应用
例3(1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率等于( )
A.0
B.2
C.4
D.6
分析(1)根据导数的几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得图象在点A处的切线的斜率;(2)利用导数的几何意义求出图象在点P处的切线的斜率,再根据直线方程的点斜式求得直线方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:
(1)求出函数f(x)在x0处的导数,即得切线的斜率;
(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上,若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率;否则,该点的导数值就不是过该点的切线的斜率.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
一题多变——求瞬时速度
典例某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1
s时的瞬时速度.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.
解:求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度.
∴物体的初速度为1
m/s.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.4
解析:因为f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,
又因为m>1,所以m+1=3,所以m=2.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:B
4.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt](Δt>0)内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( )
A.-3
B.3
C.6
D.-6
解析:由平均速度和瞬时速度的关系可知,v=s'(1)=
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共32张PPT)
3.2 导数的计算
课标阐释
思维脉络
1.能应用导数的定义求几个常用函数的导数;
2.掌握基本初等函数的导数公式;
3.掌握导数的运算法则,能进行导数的运算.
1.几个常用函数的导数
2.基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,[cf(x)]'=cf'(x).
名师点拨
两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).
特别提醒
1.在两个函数积和商的导数运算中,不能出现
2.注意积与商的导数运算法则中符号的异同,积的导数中是“+”号,而商的导数中分子上是“-”号.
【做一做3】
(1)函数y=x2-ln
x的导数为 .?
(2)函数y=xcos
x的导数为 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
导数公式与运算法则的简单应用
例1求下列函数的导数:
分析分析每个函数的解析式的构成特点,紧扣导数公式和运算法则进行求解,必要时应先对解析式进行恒等变形,例如(5)和(6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟简单函数的导数的求解策略
(1)理解并掌握导数公式及导数运算法则的结构规律,熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提,若运算结果出现错误,其主要原因是不能正确地运用导数的运算法则,或者基本初等函数的导数公式弄错.
(2)进行求导运算时,要善于分析函数解析式的结构特点,必要时应先对解析式进行恒等变形,化简解析式,再求导,尽量避免使用积或商的求导法则.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数公式和运算法则求复杂函数的导数
例2求下列函数的导数:
分析所给函数解析式较为复杂,不能直接套用导数公式和导数运算法则,可先对函数解析式进行适当的变形与化简,然后再用相关公式和法则求导.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟复杂函数的导数的求解策略
求函数的导数时,一般要遵循“先化简再求导”的原则,这样一方面可以简化求导的过程,另一方面可以解决有些函数无法直接运用公式和法则求导的问题.尤其是当函数解析式中含有三角函数时,更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,最后再运用公式进行求导.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
导数运算的应用
分析(1)对分段函数各段分别求导后再求解;(2)利用导数的几何意义求出切线斜率,再运用平行直线的斜率相等求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟学习了导数公式以及运算法则后,求导时就无需再使用其定义的方法,而可以直接套用公式,但必须熟记公式与法则.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练3(1)曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( )
(2)已知f(x)=ex+3x,若f'(x0)>5,则x0的取值范围是 .?
解析:(1)因为y'=ex,所以曲线y=ex在点(2,e2)处的切线的斜率为k=e2,则切线方程为y-e2=e2(x-2),即e2x-y-e2=0,令x=0,得y=-e2,令y=0,得x=1,所以三角形面积
(2)因为f(x)=ex+3x,所以f'(x)=ex+3,于是f'(x0)>5,即为
+3>5,解得x0>ln
2.
答案:(1)D (2)(ln
2,+∞)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
导数几何意义与导数运算的综合应用
典例设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=3x2+2ax+b.
所以f'(1)=3+2a+b=2a,
解得b=-3.
f'(2)=12+4a+b=-b.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
1.此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.
2.准确利用导数公式与运算法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.下列函数中,导函数是奇函数的是( )
A.y=sin
x
B.y=ex
C.y=ln
x
D.y=cos
x
解析:A中y'=cos
x是偶函数,B中y'=ex是非奇非偶函数,C中y'=
(x>0)是非奇非偶函数,D中y'=-sin
x是奇函数.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.(多选)过点(2,0)作曲线f(x)=x3的切线l,则直线l的方程可能为( )
A.y=0
B.x=0
C.12x-y-24=0
D.27x-y-54=0
解析:∵f(x)=x3,∴f'(x)=3x2.
当x0=0时,切线方程为y=0;
当x0=3时,切点为(3,27),斜率k=27,故切线方程为y-27=27(x-3),整理为27x-y-54=0.
故选AD.
答案:AD
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.求下列函数的导数:
(1)y=x5-3x3-5x2+6;
(2)y=(2x2+3)(3x-2);
解:(1)y'=(x5-3x3-5x2+6)'=(x5)'-(3x3)'-(5x2)'+6'=5x4-9x2-10x.
(2)法一:y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.
法二:因为y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,所以y'=18x2-8x+9.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共27张PPT)
3.3.1 函数的单调性与导数
课标阐释
思维脉络
1.理解函数的单调性与其导数之间的关系;
2.掌握利用导数判断或证明函数单调性的方法;
3.掌握利用导数求函数单调区间的方法;
4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.
【思考】若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f'(x)>0这个说法正确吗?
提示:不正确,应该是f'(x)≥0.
1.函数的单调性与其导数的关系
?
名师点拨
在区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件,而不是必要条件.如果有个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性.例如函数f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但由f'(x)=3x2知f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
导数的符号
函数的单调性
f'(x)>0(x∈(a,b))
f(x)在(a,b)内单调递增
f'(x)<0(x∈(a,b))
f(x)在(a,b)内单调递减
f'(x)=0(x∈(a,b))
f(x)在(a,b)内是常数函数
【做一做1】
若函数f(x)的导数f'(x)=x(x-2),则f(x)在区间 内单调递减.?
解析:令f'(x)=x(x-2)<0,解得0
所以f(x)在区间(0,2)内单调递减.
答案:(0,2)
【做一做2】
若g(x)=ex+4x,则g(x)的单调递增区间是 .?
解析:由已知得g'(x)=ex+4,而对任意实数x,g'(x)>0,所以g(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).
答案:(-∞,+∞)
2.导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数判断或证明函数的单调性
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟函数单调性的判定方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,然后判断导数在所给区间内的符号,从而确定函数的单调性.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1(1)若函数f(x)=sin
x-2x,则f(x)( )
A.是增函数
B.是减函数
C.在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增
D.在(-∞,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增
(2)若f(x)=
+ln
x,则( )
A.f(e)B.f(π)C.f(e)D.f(2.7)探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:(1)由于f'(x)=cos
x-2<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,故选B.
(2)由于f'(x)=
>0,因此f(x)在R上单调递增,又2.7答案:(1)B (2)D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数求函数的单调区间
例2求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=2x3-5x2;
(2)f(x)=4x+
;
(3)f(x)=x2-ln
x;
(4)f(x)=cos
x+
x,x∈(0,π).
分析按照利用导数求函数单调区间的步骤转化为解不等式问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.利用导数求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的单调递增区间;解不等式f'(x)<0得到函数的单调递减区间.
2.在利用导数求函数单调区间时,必须先求出函数的定义域,然后在定义域内解不等式得到单调区间,否则容易导致错误.
3.当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
函数图象与其导函数图象之间的关系
例3已知定义在R上的函数f(x),其导函数
f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述
正确的是( )
A.f(b)>f(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(e)>f(d)
分析若函数f(x)在某一区间上是单调递增的,则f'(x)≥0,所以在此区间导函数图象应在x轴的上方;同理,若函数f(x)在某一区间上是单调递减的,则f'(x)≤0,所以在此区间导函数图象应在x轴的下方,据此进行判定.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:由导函数f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,c)时,f'(x)>0,当x∈(c,e)时,f'(x)<0,当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0.
因此f(x)在(-∞,c)内单调递增,在(c,e)内单调递减,在(e,+∞)内单调递增.
又因为af(b)>f(a).
但f(b),f(c),f(d)和f(b),f(a),f(e)以及f(c),f(e),f(d)的大小关系均无法判断,故选C.
答案:C
反思感悟函数图象与其导函数图象的关系的求解策略
解决函数图象与其导函数图象的关系问题时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是( )
解析:由y=f(x)的图象,知f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,所以在(-∞,0)内f'(x)≥0,在(0,+∞)内f'(x)≤0,故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
分类讨论思想——求含参数的函数的单调区间
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
求解含有参数的函数的单调区间时,首先应对参数进行分类讨论,然后根据求函数单调区间的步骤进行即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练设f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.
解:f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.
若a≤0,则f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln
a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln
a,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,ln
a)内单调递减,在区间(ln
a,+∞)内单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;当a>0时,f(x)在区间(-∞,ln
a)内单调递减,在区间(ln
a,+∞)内单调递增.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.如图为函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的图象可能为( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:由导函数y=f'(x)的图象,可知当-13或x<-1时,f'(x)>0,所以y=f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)内单调递增.
综上,函数y=f(x)的图象的大致形状如A中图所示,故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是 .?
解析:根据题意得,f'(x)=3x2+a,由于f(x)=x3+ax-2在区间[1,+∞)内是增函数,所以f'(x)≥0,即a≥-3x2在区间[1,+∞)内恒成立,则只要a大于函数的最大值即可,结合二次函数的性质可知,当x=1时,函数取得最大值-3,因此可知实数a的取值范围是[-3,+∞).
答案:[-3,+∞)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.求证:函数f(x)=sin
x+cos
x+3x在R上单调递增.(共31张PPT)
3.3.2 函数的极值与导数
课标阐释
思维脉络
1.了解极值、极值点的概念;
2.理解函数在某点取得极值的条件;
3.掌握求函数极值的方法与步骤.
1.函数极值的概念
取得极值的条件
极值
极值点
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小
f(a)叫做函数y=f(x)的极小值
点a叫做函数y=f(x)的极小值点
f'(a)=0
在点x=a附近的左侧
f'(x)<0,右侧
f'(x)>0
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大
f(b)叫做函数y=f(x)的极大值
点b叫做函数y=f(x)的极大值点
f'(b)=0
在点x=b附近的左侧
f'(x)>0,右侧
f'(x)<0
名师点拨
1.函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.
2.在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值,没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值,又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
【做一做1】
下列说法不正确的是( )
A.函数y=x2有极小值
B.函数y=sin
x有无数个极值
C.函数y=2x没有极值
D.x=0是函数y=x3的极值点
答案:D
2.函数极值的求法
【做一做2】
函数f(x)=-2x3+3x2+1的极小值与极大值分别等于( )
A.0,1
B.-1,0
C.-2,-1
D.1,2
解析:f'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f'(x)=0得x=0或x=1,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以当x=0时函数取极小值f(0)=1,当x=1时函数取极大值f(1)=2.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数求函数的极值
例1求下列函数的极值:
分析按照求函数极值的步骤,借助表格进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟利用导数求函数极值的方法
利用导数研究函数的极值时,一般应首先确定函数的定义域,然后求出函数的导数,得到使导数为零的点,这些点将整个定义域分为若干个区间,然后将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中,考查导数为零的点的左、右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值,否则就不是极值,这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1求下列函数的极值:
(1)f(x)=x3-3x;
解:(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-3,
令f'(x)=0得x=±1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以函数在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=1处取得极小值f(1)=-2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
与函数极值有关的参数问题
例2已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
分析求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,
解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;
当-1当x>1时,f'(x)>0.
所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.
解得-2探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟导数在研究函数极值中的应用
利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
1本例中,若方程f(x)=0恰有两个根,则实数a的值如何求解?
解:由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,
若f(x)=0恰有两个根,则有2+a=0或-2+a=0,
所以a=-2或a=2.
延伸探究
2本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.
解:由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或-2+a>0,
即a<-2或a>2.
故实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
根据图象判断函数的极值
例3已知函数y=xf'(x)的图象如下图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内是增函数;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=-
处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内是增函数,①正确;
当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0.
当-10,所以f'(x)<0.
故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;
当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内是减函数,③错;
当0答案:①②④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟根据函数图象判断函数极值的方法
这类函数图象问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点,对于导函数的图象,我们重点考查其在哪个区间内为正,哪个区间内为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则该点处取得极大值;若由负值变为正值,则该点处取得极小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2
函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)无极大值点、有四个极小值点
B.函数f(x)有一个极大值点、两个极小值点
C.函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点
D.函数f(x)有四个极大值点、无极小值点
解析:设f'(x)与x轴的4个交点从左至右依次为x1,x2,x3,x4,当x0,当x1答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
数学思想——分类讨论求函数的极值
典例已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当a∈R,且a≠
时,求函数的极值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
x
(-∞,-2a)
-2a
(-2a,a-2)
a-2
(a-2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
∴f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.
∴函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
若a<
,则-2a>a-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.
∴函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
x
(-∞,a-2)
a-2
(a-2,-2a)
-2a
(-2a,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递
增↗
极大值
单调递
减↘
极小值
单调递
增↗
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
求可导函数f(x)的极值的步骤为:
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的导数f'(x);
(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0;
(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;
(5)判断得结论:若导数在x0附近,若左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
当00,函数f(x)单调递增;
当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
因此x=e为函数f(x)的极大值点.
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.函数y=2x2-ln
x的极值点为( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.已知定义在(a,b)内的可导函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极值点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由函数在极值点附近的左右两侧导数值符号相反可知,函数一共有3个极值点.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知a是函数f(x)=x3-12x的极大值点,则a= .?
解析:由题可知函数f(x)的定义域为R.
∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12,
令f'(x)=0,则x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,
∴当x=-2时,f(x)取得极大值,故f(x)的极大值点是a=-2.
答案:-2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共36张PPT)
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
课标阐释
思维脉络
1.了解函数的最大值、最小值的含义;
2.掌握利用导数求函数最值的方法.
【思考】若函数f(x)在区间[a,b]上只有一个极大值点x0,无极小值点,则f(x0)是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值吗?
提示:根据极大值和最大值的定义知,f(x0)是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值.
1.函数在闭区间上的最值
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
特别提醒
1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值,例如函数f(x)=
在区间(0,2)内的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,没有最大值,也没有最小值.
2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数
在[-1,1]上只有最大值,而没有最小值.
名师点拨
函数最值与极值的区别
(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.
(2)极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值.
【做一做1】
下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
答案:D
2.函数在闭区间[a,b]上最值的求法
一般地,求函数y=f(x)在[a,b]内的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值
f(a)
,
f(b)
比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
特别提醒
如果函数f(x)在闭区间[a,b]内恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]内单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]内单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
【做一做2】
函数f(x)=x3-3x2+12在区间[-1,1]上的最大值与最小值分别为 .?
解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
令f'(x)=0得x=0(x=2舍去).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=8,当x=0时,函数取最大值f(0)=12.
答案:12,8
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f'(x)
?
+
0
-
?
f(x)
8
单调递增↗
极大值12
单调递减↘
10
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
求函数在闭区间上的最值
例1求下列函数在相应区间上的最值:
(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3];
(2)f(x)=
x+sin
x,x∈[0,2π].
分析
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟1.求闭区间上可导函数的最值时,可不再判断函数的极值是极大值还是极小值,只需要把极值直接与端点的函数值比较即可获得.
2.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练1求下列函数的最值:
(1)y=4x3+3x2-36x+12,x∈[-2,2];
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
求函数在开区间(无穷区间)内的最值
例2求下列函数的最值:
(2)f(x)=(x2-3)ex.
分析没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)函数的定义域是R,且y'=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3)=ex(x+3)(x-1),
令y'>0,得x>1或x<-3;令y'<0,得-3所以函数f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)内单调递增,在(-3,1)内单调递减,
因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值等于f(-3)=6e-3;
在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.
从函数图象可得函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e,而函数无最大值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟求函数在无穷区间(或开区间)内最值的方法
求一个函数在无穷区间(或开区间)内的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的,求函数在无穷区间(或开区间)内的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
与最值有关的参数问题
例3设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
分析(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);
(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,
即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g'(t)=-3t2+3=0,解得t=1或t=-1(不合题意,舍去).
当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m.
h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0.∴m的取值范围为(1,+∞).
t
(0,1)
1
(1,2)
g'(t)
+
0
-
g(t)
单调递增↗
极大值1-m
单调递减↘
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究
1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解:令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g'(t)=-3t2+3=0,解得t=1或t=-1(不合题意,舍去).
当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
t
0
(0,1)
1
(1,2)
2
g'(t)
?
+
0
-
?
g(t)
-1-m
单调递增↗
极大值1-m
单调递减↘
-3-m
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,
存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立,
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴-3-m<0,∴m>-3,∴实数m的取值范围为(-3,+∞).
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究
2若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2∈(0,2),都有h(t1)<-2t2+m”,求实数m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
分类讨论思想在解决函数最值问题中的应用
【典例】
已知函数f(x)=ln
x-
.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为
,求实数a的值.
分析对于(1),可利用导数通过解不等式求得单调区间;对于(2),由于函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此需比较极值点和端点处的函数值的大小即可,最后再将讨论的情况进行合并整理.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
①当a≥0时,f'(x)>0,
∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
②当a<0时,令f'(x)>0,得x>-a,
∴f(x)的单调递增区间为(-a,+∞).
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
方法点睛
1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论后进行求解.
2.在分类讨论的每一种情况中得到参数的值后,要注意检验该结果是否符合讨论的前提条件.
3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对参数展开第二层讨论.
4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练已知函数f(x)=ax-ln
x,是否存在实数a,使得函数在(0,e]上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
2.若不等式2xln
x+x2+ax+3≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的最小值是( )
A.-4
B.0
C.2
D.4
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,故函数g(x)max=g(1)=-4,所以a≥g(x)max=-4.
答案:A
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
4.(多选)已知函数f(x)=ex+aln
x,下列结论正确的是( )
A.当a=0时,函数f(x)有最大值
B.对于任意的a<0,函数f(x)一定存在最小值
C.对于任意的a>0,函数f(x)是(0,+∞)内的增函数
D.对于任意的a>0,都有函数f(x)>0
解析:对于A,当a=0时,函数f(x)=ex,此时f(x)是单调增函数,故无最大值,故A错误;
对于B,对于任意的a<0,
∵f(x)=ex+aln
x,
∴f'(x)=ex+
,易知f'(x)是(0,+∞)内的增函数,
当x→+∞时,f'(x)→+∞,
当x→0时,f'(x)→-∞,
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
∴存在f'(x0)=0,
∴当0∴当x00,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(x0),故B正确;
对于C,对于任意的a>0,
∵函数f(x)=ex+aln
x,
∴f'(x)=ex+
,由a>0,x>0,
可得f'(x)>0,故函数f(x)是(0,+∞)上的增函数,故C正确;
对于D,由C知函数f(x)是(0,+∞)上的增函数,
当x→0时,ex→1,ln
x→-∞,
此时f(x)→-∞,故D错误.故选BC.
答案:BC
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测(共33张PPT)
3.4 生活中的优化问题举例
课标阐释
思维脉络
1.了解导数在解决利润最大、面积、体积最大(小)、效率最高、用料、费用最省等实际问题中的应用;
2.掌握利用导数解决实际问题最大(小)值的方法.
【思考】在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?
答案:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.
1.优化问题
在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.
2.解决优化问题的基本思路
名师点拨
解决实际优化问题的一般步骤
(1)认真阅读理解关于实际问题的材料,一般地,实际问题的材料都非常多,信息量较大,涉及的量也比较多,因此需要认真地、细心地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.
(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.
(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.
【做一做】
有矩形铁板,其长为6,宽为4,现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子,要使容积最大,则x= .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利润(收益)最大问题
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于x的函数关系式;
(2)年产量为多少吨时,该厂所获利润最大?
分析由于投入的成本与x的不同取值范围有关,所以应该用分段函数表示利润函数,然后利用导数分段求解,求得最大值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
∴L(x)max=L(100)=1
000ln
100-2
000.
∵1
000ln
50-250-(1
000ln
100-2
000)=1
750-1
000ln
2>1
750-1
000>0,
∴当x=50,即年产量为50
000吨时,利润最大,最大利润为(1
000ln
50-250)万元.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟利用导数解决利润(收益)最大问题的方法
利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:
(1)利润(收益)=收入-成本;
(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的利益.通过对市场的预测,当对两项投入都不大于3百万元时,每投入x百万元广告费,增加的销售额可近似地用函数y1=-2x2+14x(单位:百万元)来计算;每投入x百万元技术改造费用,增加的销售额可近似地用函数y2=-
x3+2x2+5x(单位:百万元)来计算.现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告投入和技术改造投入,请设计一种资金分配方案,使得该公司的销售额最大.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
面积与体积最大(小)问题
例2某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB⊥BC,OA∥BC,AB=BC=
2OA=4
km,曲线段OC是以点O
为顶点且开口向
右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边
分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大用地面积.(精确到0.1
km2)
分析首先应建立平面直角坐标系,求出抛物线段的方程,然后设出曲线段CO上顶点P的坐标,将矩形面积用P点坐标表示,最后用导数求其最大值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:以O为坐标原点,OA所在直线为y轴,以O点到BC的垂线为x轴建立直角坐标系(图略),设矩形落在曲线段OC上的一个顶点为P,抛物线方程为y2=2px(p>0).
把点C(4,2)代入y2=2px(p>0),得4=8p,得p=
,
∴y2=x(0≤x≤4,0≤y≤2).令P(t2,t)(0≤t<2),
记工业园区的用地面积为S
km2,
则S=(4-t2)(t+2)=-t3-2t2+4t+8,0≤t<2.
∴S'=-3t2-4t+4=-(t+2)(3t-2).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟利用导数解决面积与体积最大(小)问题的方法
求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题,解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式,能够依据题意确定出自变量的取值范围,建立准确的函数关系式,然后利用导数的方法加以解决,必要时,可选择建立坐标系,通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程,以便于问题的解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20
cm,要使其体积最大,则高为多少?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
费用(用料)最省问题
例3现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地到B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.
(1)把全程运输成本y(单位:元)表示为速度x(单位:海里/时)的函数;
(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度航行?
分析(1)写出函数解析式时要注意函数的定义域;(2)利用导数求最值,注意函数定义域的限制.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟费用(用料)最省问题的求解策略
用料最省、造价最低类问题的求解思路是找到变量之间的关系,借助关系建立函数关系式,然后借助导数予以求解.解题过程中要注意函数定义域的限制.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:
C(x)=
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
数学建模——生活中的优化问题
典例某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为
立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元,半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y(单位:千元).
(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域;
(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域;
(2)要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具;
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=
+2(x-50)2,其中20A.8
600元
B.8
060元
C.6
870元
D.4
060元
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,
则f(x)=(x-20)[
+2(x-50)2]=60+2(x-20)(x-50)2,20f'(x)=2[(x-50)2+2(x-50)(x-20)]=6(x-30)(x-50),
令f'(x)>0,得20所以f(x)的最大值为f(30)=8
060.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.周长为10
cm的矩形,绕一条边所在的直线旋转一周所得圆柱体积的最大值为
cm3.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知某工厂生产x件产品的成本为C=25
000+200x+
x2(单位:元),问:
(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?
(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?
当x<1
000时y'<0;
当x>1
000时y'>0,
故当x=1
000时,y取极小值,而函数只有一个点使y'=0,故函数在该点处取得最小值,因此要使平均成本最低,应生产1
000件产品.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
令S'=0,得x=6
000,当x<6
000时S'>0;
当x>6
000时S'<0,故当x=6
000时,S取极大值,而函数只有一个点使S'=0,故函数在该点处取得最大值,因此,要使利润最大,应生产6
000件产品.(共53张PPT)
第4课时 导数及其应用
知识网络
要点梳理
思考辨析
答案:①概念;
②几何意义;
③单调性;
④极值;
⑤最大(小)值
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.导数的运算
导数的运算法
2.导数的几何意义
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率;
(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.
知识网络
要点梳理
思考辨析
3.利用导数研究函数单调性
(1)利用导数求函数单调区间的步骤:
①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的递增区间;解不等式f'(x)<0得到函数的递减区间.
(2)根据单调性求参数取值范围:
函数f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立.
知识网络
要点梳理
思考辨析
4.利用导数研究函数的极值与最值
(1)应用导数求函数极值的一般步骤:
①确定函数f(x)的定义域;
②解方程f'(x)=0的根;
③检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号.
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
(2)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将①求得的极值与端点值f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.
知识网络
要点梳理
思考辨析
5.利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
利用导数研究下列问题:(1)函数的零点个数问题;(2)方程的根的问题;(3)不等式恒成立问题;(4)证明不等式问题;(5)解不等式问题;(6)比较大小问题.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)经过点A(x0,y0)作曲线y=f(x)的切线,则切线斜率等于f'(x0).( )
(2)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则在区间(a,b)上必有f'(x)<0.
( )
(3)可导函数在极值点处的导数必为0.( )
(4)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与x轴最多有3个交点.( )
(5)若不等式a>f(x)恒成立,则a>[f(x)]min.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5
)×
专题归纳
高考体验
专题一 导数的运算
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
答案:B
专题归纳
高考体验
专题二 导数的几何意义
例2(1)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 .?
(2)已知曲线y=x+ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .?
专题归纳
高考体验
解析:(1)y'=-5ex,则k=y'|x=0=-5×e0=-5,
所以所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
(2)∵y'=1+
,∴k=y'|x=1=2,
∴切线方程为y=2x-1.
由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知Δ=a2-8a=0,解得a=0或a=8.
∵当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线,
∴a=0舍去,故a=8.
答案:(1)5x+y+2=0 (2)8
专题归纳
高考体验
反思感悟利用导数研究曲线的切线问题,务必要注意所给点是否在曲线上,若点在曲线上,则函数在该点处的导数值就是曲线在该点切线的斜率,如果所给点不在已知曲线上,则应先设出切点坐标,再结合两点连线的斜率公式建立联系求解.
专题归纳
高考体验
变式训练2若曲线y=ax2-ln
x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .?
专题归纳
高考体验
专题三 利用导数研究函数单调性
例3已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)ln
x,a∈R.
(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[2,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(3)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.
分析(1)将a的值代入,确定定义域,求导数,然后解不等式即得;(2)转化为f'(x)≥0在[2,+∞)恒成立求解;(3)转化为不等式f'(x)<0在定义域上有解进行处理.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
变式训练3已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-
处取得极值.
(1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.
专题归纳
高考体验
令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.
当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)单调递减;
当-40,故g(x)单调递增;
当-1当x>0时,g'(x)>0,故g(x)单调递增.
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内单调递减,在(-4,-1)和(0,+∞)内单调递增.
专题归纳
高考体验
专题四 利用导数研究函数的极值与最值
例4已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值.
分析(1)根据条件可得f'(1)=0,f(1)=-1,求出a,b的值得到函数解析式,然后再利用导数解不等式得到单调区间;(2)按照求最值的步骤求解即可.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
(2)由(1),当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
由表中数据知,函数f(x)在x=2处取得最大值2,在x=-2处取得最小值-10,
∴函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-10.
专题归纳
高考体验
(1)若函数f(x)在x=2处取得极小值,求a的值;
(2)若a≥0,求f(x)在[0,1]上的最大值.
专题归纳
高考体验
解:(1)f'(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)
=(x-a)[x-(a+1)].
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
∴a+1=2,∴a=1.
x
(-∞,a)
a
(a,a+1)
a+1
(a+1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题五 利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
分析(1)将a,b的值代入,然后研究函数的极值,并结合单调性求出最值;(2)方程有唯一实数解,亦即相应函数图象与x轴只有一个交点,可先研究函数的极值情况,并结合图象分析,得到m的值.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
(1)若f(x)在[2,5]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)≥0对任意x>0恒成立,求实数a的最小值.
专题归纳
高考体验
令g(x)=2x-xln
x,因此g'(x)=2-(ln
x+1)=1-ln
x,
显然当00,即得g(x)在(0,e)内单调递增;
当x≥e时,g'(x)≤0,即得g(x)在[e,+∞)内单调递减.所以g(x)max=g(e)=e.
故a≥e,即a的最小值为e.
专题归纳
高考体验
考点一:导数的运算
1.已知函数f(x)=exln
x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为 .?
答案:e
专题归纳
高考体验
考点二:导数的几何意义
2.(2020全国Ⅰ高考)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1
B.y=-2x+1
C.y=2x-3
D.y=2x+1
解析:对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
答案:B
专题归纳
高考体验
答案:x+2y-2=0
专题归纳
高考体验
答案:4
专题归纳
高考体验
考点三:利用导数研究函数的单调性
5.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
专题归纳
高考体验
解析:设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)内,f'(x)<0,f(x)单调递减,
在区间(x1,x2)和(x3,+∞)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.
答案:D
6.(2020全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥
x3+1,求a的取值范围.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
解:(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.
设h(x)=f'(x),h'(x)=ex+2>0,故f(x)单调递增,f'(0)=0,
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
考点四:利用导数研究函数的极值与最值
7.(2020海南高考)已知函数f(x)=aex-1-ln
x+ln
a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
专题归纳
高考体验
解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-
.
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln
x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
(2)由题意a>0,当0a<1.
当a=1时,f(x)=ex-1-ln
x,f'(x)=ex-1-
.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-ln
x+ln
a≥ex-1-ln
x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).
专题归纳
高考体验
考点五:利用导数解决实际问题
8.(2020江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=
a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-
b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
专题归纳
高考体验
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价
k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
解:(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
专题归纳
高考体验
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
专题归纳
高考体验
令f'(x)=0,得x=20.
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
答:(1)桥AB的长度为120米;
(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
x
(0,20)
20
(20,40)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减↘
极小值
单调递增↗
专题归纳
高考体验
考点六:利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
9.(2020全国Ⅱ高考)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0
B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0
D.ln|x-y|<0
解析:∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.
∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)∴x0,∴y-x+1>1,
∴ln(y-x+1)>ln
1=0.故选A.
答案:A
专题归纳
高考体验
10.(2020全国Ⅲ高考)已知函数f(x)=x3-kx+k2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.
专题归纳
高考体验
解:(1)f'(x)=3x2-k.
当k=0时,f(x)=x3,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
当k<0时,f'(x)=3x2-k>0,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
11.(2021全国乙高考)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求a;
专题归纳
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(1)解:由题意,f(x)的定义域为(-∞,a).
令p(x)=xf(x),则p(x)=xln(a-x),x∈(-∞,a),
当x<0时,p'(x)>0,
当0所以当a=1时,x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点.
专题归纳
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(2)证明:由(1)可知,xf(x)=xln(1-x),
因为当x∈(-∞,0)时,xln(1-x)<0,
当x∈(0,1)时,xln(1-x)<0,
所以需证明x+ln(1-x)>xln(1-x),即x+(1-x)ln(1-x)>0.
令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),x<1,
专题归纳
高考体验
所以h'(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,
所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,
所以当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,h(x)>h(0)=0,即x+ln(1-x)>xln(1-x),(共37张PPT)
习题课——导数的综合应用
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用导数研究方程的根或函数零点的一般方法;
2.掌握利用导数解决不等式恒成立问题的基本方法;
3.掌握利用导数研究函数综合问题的方法.
1.利用导数研究方程的根或函数零点
(1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横坐标;
(2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与直线y=a交点的横坐标;
(3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与g(x)图象交点的横坐标.
【思考】(1)对于函数y=f(x),x∈[a,b],若f(x)≥c,或f(x)≤c恒成立,则c满足的条件是什么?
(2)对于函数y=f(x),x∈[a,b],若存在x0∈[a,b],使得f(x)≥c,或f(x)≤c成立,则c满足的条件是什么?
提示:(1)c≤f(x)min或c≥f(x)max.
(2)c≤f(x)max或c≥f(x)min.
2.利用导数解决不等式恒成立问题
(1)不等式λ≥f(x)恒成立,则λ≥[f(x)]max;
(2)不等式λ≤f(x)恒成立,则λ≤[f(x)]min.
【做一做1】
方程x3-3x2-2=0实根的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:令f(x)=x3-3x2-2,则f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以f(x)有极大值f(0)=-2,极小值f(2)=-6,结合函数图象可知其与x轴有一个交点,因此方程只有一个实数根.
答案:B
【做一做2】
已知函数f(x)=x3-
x2-2x+5,若当x∈[-1,2]时,f(x)A.[7,+∞)
B.(7,+∞)
C.(-∞,7)
D.(-∞,7]
解析:利用导数可求得当x∈[-1,2]时,f(x)max=7,所以m>7,即实数m的取值范围为(7,+∞).
答案:B
解析:函数定义域为(0,+∞),
由f'(x)=0得x=4,
因此f(x)在(0,4)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增,
所以f(x)有唯一极小值f(4)=m-2ln
2+1,要使函数没有零点,须有m-2ln
2+1>0,解得m>2ln
2-1.
答案:(2ln
2-1,+∞)
【做一做4】
设函数f(x)=
x2ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数研究方程的根或函数的零点
例1已知函数f(x)=x3-x2-x+a,g(x)=x3-2x-ln
x+3,其中a∈R.
(1)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
分析(1)方程f(x)=0只有一个实数根,就是函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解;(2)函数h(x)有两个零点,就是其图象与x轴有两个交点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
x
(0,1)
1
(1,+∞)
h'(x)
+
0
-
h(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
因此h(x)在x=1取得极大值h(1)=a-3,即为函数h(x)的最大值.
要使函数h(x)有两个零点,其图象与x轴应有两个交点,因此极大值h(1)=a-3>0.解得a>3.故a的取值范围为(3,+∞)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟方程f(x)=0的根,就是函数y=f(x)的零点,以及函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.因此与方程的根(函数的零点)有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数的大致图象,结合图象讨论它与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1已知函数f(x)=x2-aln
x(a∈R),当x=1时f(x)取得极值.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+k(k∈R)的图象的交点个数.
解:(1)函数f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-
.
因为当x=1时,f(x)取得极值,
所以f'(1)=2-a=0,即a=2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2ln
x+x2-2x-k=2x2-2ln
x-2x-k,
因为x>0,所以2x+1>0.
令F'(x)=0,则x=1,当x∈(0,1)时,F'(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0.
因此函数F(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
所以F(x)min=F(1)=-k.
①当-k>0,即k<0时,两图象交点个数为0;
②当-k=0,即k=0时,两图象交点个数为1;
③当-k<0,即k>0时,两图象交点个数为2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数解决不等式恒成立问题
例2已知f(x)=xln
x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
分析对于(1)可通过解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到单调区间;对于(2),应先将不等式进行参数分离,把欲求范围的参数a移至不等式的一边,然后利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)∵函数f(x)=xln
x的定义域为(0,+∞),
∴f'(x)=ln
x+1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:
∴当x=1时,h(x)取得最大值,且h(x)max=h(1)=-2,
∴若a≥h(x)在x∈(0,+∞)内恒成立,
则a≥h(x)max=-2,即a≥-2,
故a的取值范围是[-2,+∞).
x
(0,1)
1
(1,+∞)
h'(x)
+
0
-
h(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟不等式恒成立问题的求解策略
有关不等式的恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题,求解时,要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知,即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数,然后利用导数研究其最值,最后求得参数的取值范围.一般地,λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2已知函数f(x)=
x3-2x2+ax+b(a,b∈R),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且只有一条切线l与直线y=x+3垂直.
(1)求实数a的值;
(2)若方程f(x)=0有3个不同的实数根,求实数b的取值范围.
解:(1)因为f(x)=
x3-2x2+ax+b,
所以f'(x)=x2-4x+a.
直线y=x+3的斜率等于1,
依题意知在曲线y=f(x)的所有切线中,有且只有一条切线l的斜率等于-1,
故方程x2-4x+a=-1有且只有一个实数根,
于是Δ=16-4(a+1)=0,解得a=3.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)由(1)知f'(x)=x2-4x+3,
令f'(x)=0得x1=1,x2=3,
当x变化时,f(x)和f'(x)的变化情况如下表:
要使方程f(x)=0有3个不同的实数根,应使函数y=f(x)的图象与x轴有3个不同的交点,
x
(-∞,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
极大值b+
单调递减↘
极小值b
单调递增↗
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
函数的极值、最值与导数
例3已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,t](0解:(1)f'(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.
又函数f(x)过(1,0),即-2+b=0,b=2.
所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)由f(x)=x3-3x2+2,
得f'(x)=3x2-6x.
由f'(x)=0,得x=0或x=2.
①当0②当2f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,
所以f(x)max=f(0)=2.
x
0
(0,2)
2
(2,t)
t
f'(x)
0
-
0
+
?
f(x)
2
单调递减↘
-2
单调递增↗
t3-3t2+2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟利用导数求函数极值与最值的解题策略
(1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
在本例条件不变的情况下,若关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围.
解:令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c,
则g'(x)=3x2-6x=3x(x-2).
在x∈[1,2)内,g'(x)<0;在x∈(2,3]内,g'(x)>0.
要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异的实根,
故实数c的取值范围为(-2,0].
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数解决参数的综合问题
典例已知函数f(x)=
x2-2(a+2)ln
x+ax,a∈R.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的最小值;
(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有
恒成立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
分析(1)将a的值代入,先求极值,再得到最值;(2)将所给不等式进行转化,化为f(x2)-ax2>f(x1)-ax1,从而可构造函数g(x)=f(x)-ax,通过g(x)的单调性,利用导数转化为不等式恒成立问题即可求得.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
因此当x∈(0,2)时,f'(x)<0,x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在x=2时取得极小值也就是最小值,
故函数最小值为f(2)=-2ln
2.
即f(x2)-f(x1)>a(x2-x1),f(x2)-ax2>f(x1)-ax1,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
通过统计分析,失分主要出现在第二问,造成失分的原因是:
(1)不能将所给不等式转化,为构造新函数奠定基础;
(2)虽能对不等式转化,但不能将转化后的不等式合理变形,从而构造新函数;
(3)构造新函数后,无法根据题意推出其单调性;
(4)在得到新函数的单调性后,无法利用导数转化为恒成立问题求解;
(5)分离参数后无法准确求得函数最值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练设函数f(x)=
-kln
x(k>0).
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,
]上仅有一个零点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.若不等式2x+cos
x-m<0在x∈[-π,0]上恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-4π-1,+∞)
B.(-∞,-4π-1)
C.(1,+∞)
D.(-∞,1)
解析:不等式可化为m>2x+cos
x,令f(x)=2x+cos
x,
则f'(x)=2-sin
x>0,即f(x)在[-π,0]上单调递增,故其最大值为f(0)=1,
故实数m的取值范围是(1,+∞).
答案:C
2.方程x3-6x2+9x-4=0实根的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:利用导数,求出函数的极大值为0,极小值为-4,再结合函数的单调性,通过数形结合可得.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.函数f(x)=x3-3x在[0,3]上的最小值为 .?
解析:依题意f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故函数f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得最小值,即f(x)min=f(1)=-2.故函数在区间[0,3]上的最小值为-2.
答案:-2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.设函数f(x)=
.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x>3时,f'(x)≥af(x)恒成立,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共29张PPT)
习题课——导数运算及几何意义的综合问题
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用导数的几何意义解决切线问题的方法;
2.理解导数的定义式;
3.掌握导数运算综合问题的求解方法.
【思考】曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是什么?
提示:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
1.导数的几何意义
(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率等于函数f(x)在x0处的导数f'(x0).
(2)曲线的切线与该曲线不一定只有一个公共点.
(3)“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在点P处的切线”,点P就是切点,而“曲线过点P的切线”,点P不一定是切点.
2.导数的定义
【做一做1】
已知函数f(x)=sin
x-cos
x,且f'(x0)=2f(x0),则tan
x0=( )
A.-3
B.3
C.1
D.-1
解析:由f(x)=sin
x-cos
x,可得f'(x)=cos
x+sin
x.
又f'(x0)=2f(x0),
∴cos
x0+sin
x0=2(sin
x0-cos
x0),
整理得3cos
x0=sin
x0,
故选B.
答案:B
答案:B
答案:x+y-6=0
答案:1和0
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
导数几何意义的综合应用
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)若曲线y=f(x)的某一切线与直线y=4x-16平行,求切点坐标与切线的方程.
分析利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点;(3)中可知切线斜率,也应设出切点进行求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)由题意得f'(x)=3x2+1,∴曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线的斜率为f'(3)=28.
∴切线的方程为28x-y-70=0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟利用导数的几何意义求曲线的切线方程时,首先必须分清所给的点是否在已知曲线上,是否是切点,如果是切点,则该点处的导数即为切线的斜率,如果不是切点,则应首先设出切点坐标,再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系,进行求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)∵y'=x2,∴曲线在点P(2,4)处的切线的斜率k=y'|x=2=4,
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
导数定义式的应用
A.-20
B.-10
C.10
D.20
分析将所给极限式进行整理变形,构造出导数定义中的极限式,从而转化为求函数在某一点处的导数值问题,然后利用导数运算法则求解.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟在利用导数的定义解决这类问题时,增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx采用哪种形式,Δy中都必须选择相应的形式,按照这个原则,将所给极限式化为导数中的极限式的形式,根据导数定义得出结果.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
导数运算的综合应用
例3用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2
017x2
016(x≠0,x≠1).
分析结合幂函数的导数公式和运算法则以及等比数列的前n项和公式求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟本例中的求和问题,如果不用导数方法,需要用到数列中的乘公比错位相减法进行求解,计算过程复杂,容易出错,但借助导数公式,通过巧妙转化,使得求和过程非常简洁,充分体现了导数的广泛应用.因此在解决问题的过程中,要注意和导数的相关知识进行联系,借助导数求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练2已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2
017),求f'(1)-f'(2
017)的值.
解:由于f(x)=(x-1)[(x-2)(x-3)…(x-2
017)],
令g(x)=(x-2)(x-3)…(x-2
017),
则f(x)=(x-1)·g(x),
所以f'(x)=g(x)+(x-1)g'(x),
于是f'(1)=g(1)+0·g'(1)=g(1)=1×2×3×…×2
016.
同理,设h(x)=(x-1)(x-2)…(x-2
016),
即f(x)=(x-2
017)·h(x),
则f'(x)=h(x)+(x-2
017)h'(x),
所以f'(2
017)=h(2
017)=2
016×2
015×2
014×…×1,
故f'(1)-f'(2
017)=0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
等价转化思想在导数几何意义中的应用
典例已知点P是曲线f(x)=x2-ln
x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值.
分析所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln
x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,亦即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln
x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
方法点睛
这类“求某曲线上一点到某已知直线的最小距离”问题,都可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线上平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下:
(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.
(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.
(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.
(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.
探究一
探究二
探究三
思想方法
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变式训练点P是曲线f(x)=-x2上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为( )
探究一
探究二
探究三
思想方法
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答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
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答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
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2.已知直线y=-x+m是曲线f(x)=x2-3ln
x的一条切线,则m的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
答案:B
探究一
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探究三
思想方法
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3.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由条件知点(1,f(1))在直线x-y+2=0上,所以f(1)=3,且f'(1)=1,所以f(1)+f'(1)=3+1=4.
答案:D
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4.已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln
x相切于点P(1,4),则b= .?
解析:由点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln
x上可得a=2,所以f'(x)=4x+
,所以曲线在x=1处的切线的斜率k=f'(1)=5,因此切线方程为y=5x+b,由点P(1,4)在切线上,可得b=-1.
答案:-1
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思想方法
当堂检测(共34张PPT)
习题课——利用导数研究函数的单调性
课标阐释
思维脉络
1.掌握已知函数的单调性,求参数的取值范围的方法;
2.掌握解析式中含参数的函数单调区间的求法;
3.掌握利用导数证明不等式和解不等式的方法.
1.已知函数的单调性,求参数的取值范围
(1)解题步骤:
函数在区间[a,b]内单调递增(减)→f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]内恒成立→利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证
(2)注意事项:
一般地,要检验由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围中是否有取值使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则该参数取值范围为最后解.
(3)解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
2.解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式的问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后再将各种情况分别进行表述.
3.利用导数证明不等式
利用导数证明不等式,是导数应用的一个重要方面,其证明思路主要是运用构造函数的方法.一般地,要证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或h(x)≤h(x)max<0),证得要证明的不等式.
4.利用导数解不等式
利用导数解不等式,也是导数应用的一个重要方面,其求解思路主要是运用构造函数的方法,通过函数的单调性进行求解.
【做一做1】
若函数f(x)=x3-ax在[-2,-1]上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,3]
B.(-∞,12]
C.[3,+∞)
D.[12,+∞)
解析:f'(x)=3x2-a,依题意3x2-a≥0在[-2,-1]上恒成立,即a≤3x2,而g(x)=3x2在[-2,-1]上的最小值等于3,所以实数a的取值范围是(-∞,3].
答案:A
A.(0,+∞)
B.(-1,0)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
答案:A
答案:D
【做一做4】
求证:当x>0时,ex>x+1.
证明:令h(x)=ex-x-1,h'(x)=ex-1,
由于x>0,所以h'(x)>0.
因此h(x)在(0,+∞)内单调递增,
于是h(x)>h(0)=0,故ex>x+1.
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思维辨析
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已知函数的单调性求参数的值或取值范围
例1已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
分析f(x)为增函数→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围
解:由已知得f'(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,
所以只需a≤0.
又因为当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a的取值范围为(-∞,0].
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思维辨析
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反思感悟已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数取值范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
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延伸探究
1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.
解:由f'(x)=3x2-a,
①当a≤0时,f'(x)≥0,
∴f(x)在(-∞,+∞)内为增函数.故a≤0不成立
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延伸探究
2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
探究一
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思维辨析
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延伸探究
3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)内不单调,求实数a的取值范围.
解:∵f(x)=x3-ax-1,
∴f'(x)=3x2-a,
由f'(x)=0,
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求含参数函数的单调区间
例2已知函数f(x)=
x2+aln
x(a∈R,a≠0),求f(x)的单调区间.
分析先确定函数定义域,再求导数,最后结合定义域以及参数a的取值范围,讨论f'(x)的符号,从而确定函数的单调区间.
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探究一
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反思感悟求含参数函数的单调区间的方法
当函数解析式中含有参数时,求其单调区间问题往往就要转化解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行科学合理的分类讨论,做到不重不漏.
探究一
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探究一
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利用导数解决不等式问题
探究一
探究二
探究三
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探究一
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反思感悟利用导数证明不等式的常见形式与步骤
(1)常见形式:已知x∈(a,b),求证:u(x)>v(x).
(2)证明步骤:
①将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)>0;
②在x∈(a,b)上,判断f'(x)的符号;
③若f'(x)>0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0即可;若f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0即可.
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例4定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,2)
C.(0,+∞)
D.(2,+∞)
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答案:C
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反思感悟本题关键在于根据题意构造函数,通过导数研究函数的单调性,然后借助单调性求解不等式.构造函数时,注意以下技巧:
(1)若已知条件中有f(x)>f'(x)(或f(x);
(2)若已知条件中有f(x)+f'(x)>0(或f(x)+f'(x)<0),可构造函数y=exf(x);
(3)若已知条件中有f(x)+xf'(x)>0(或f(x)+xf'(x)<0),可构造函数y=xf(x).
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变式训练3设函数f'(x)是函数f(x)的导函数,?x∈R,f(x)+f'(x)>0,且f(1)=2,则不等式f(x)>
的解集为( )
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,2)
解析:依题意,令函数g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,且g(1)=2e,
所以g(x)是R上的增函数,f(x)>
?exf(x)>2e?g(x)>g(1),解得x>1.故选A.
答案:A
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分类讨论与化归思想在导数中的应用
典例已知函数f(x)=x2+2aln
x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=
+f(x)在[1,2]内是减函数,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
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方法点睛
1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数取值范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.
(2)先令f'(x)>0(或f'(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
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答案:C
1.函数f(x)=x-a
在[1,4]内单调递减,则实数a的最小值为( )
A.1
B.2
C.4
D.5
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探究二
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2.已知函数f(x)=x3-6x2+9x+2,f'(x)是函数f(x)的导数,则函数f(x)和f'(x)单调性相同的区间是( )
A.[1,2]∪[3,+∞)
B.[1,2]和[3,+∞)
C.(-∞,2]
D.[2,+∞)
解析:根据题意可知f'(x)=3x2-12x+9,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=3,所以当x∈(-∞,1),(3,+∞)时,函数f(x)单调递增,当x∈[1,3]时,函数f(x)单调递减,由f'(x)的图象可知当x∈(-∞,2)时,f'(x)单调递减,当x∈[2,+∞)时,f'(x)单调递增,则函数f(x)和f'(x)单调性相同的区间是[1,2]和[3,+∞).
答案:B
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3.已知定义在R上的函数f(x),其导数为f'(x),满足f'(x)>2,f(2)=4,则不等式xf(x-1)>2x2-2x的解集为 .?
解析:构造函数g(x)=f(x)-2x,则g'(x)=f'(x)-2>0,即函数g(x)在R上为增函数,
且g(2)=f(2)-2×2=0.
①当x<0时,由xf(x-1)>2x2-2x可得f(x-1)<2(x-1),即f(x-1)-2(x-1)<0,
即g(x-1)<0=g(2),可得x-1<2,解得x<3,此时x<0;
②当x>0时,由xf(x-1)>2x2-2x可得f(x-1)>2(x-1),即f(x-1)-2(x-1)>0,
即g(x-1)>0=g(2),可得x-1>2,解得x>3,此时x>3.综上所述,不等式xf(x-1)>2x2-2x的解集为(-∞,0)∪(3,+∞).
答案:(-∞,0)∪(3,+∞)
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探究一
探究二
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5.求函数f(x)=ex+kx(k∈R)的单调区间.
解:f'(x)=ex+k.
因此当k≥0时,f'(x)>0,f(x)在R上单调递增,函数无单调递减区间;
当k<0时,由f'(x)=ex+k>0,解得x>ln(-k),
由f'(x)=ex+k<0,
解得x(-k),即函数在(ln(-k),+∞)内单调递增,在(-∞,ln(-k))内单调递减.
综上,当k≥0时,函数的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间;
当k<0时,函数f(x)的单调递增区间是(ln(-k),+∞),单调递减区间是
(-∞,ln(-k)).