(共27张PPT)
§1 变化的快慢与变化率
课标阐释
思维脉络
1.理解函数的平均变化率的概念与意义.
2.理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度).
3.会求函数在某点的瞬时变化率.
4.能正确地理解平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.
知识梳理
思考辨析
1.函数的平均变化率
函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率
(1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1).
(3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(4)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
知识梳理
思考辨析
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
(2)平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越“陡峭”,反之亦然.
(3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在时间段[t1,t2]上的平均速度,即
(4)改变量并不一定都是正值,也可以是负值,函数值的改变量还可以是0,比如常数函数,其函数值的改变量就是0.
(5)注意变量的对应,若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是Δy=f(x1)-f(x2).
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
函数f(x)=x2在区间[-1,3]上的平均变化率是( )
答案:B
知识梳理
思考辨析
2.瞬时变化率及瞬时速度
对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设
Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
而当Δx趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
知识梳理
思考辨析
名师点拨1.瞬时变化率是刻画函数值在x0点处变化的快慢,而平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
2.瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
如果某物体做方程为s=2(1-t2)的直线运动(s的单位:m,t的单位:s),那么,物体在1.2
s末的瞬时速度为( )
A.-4.8
m/s
B.-0.8
m/s
C.0.88
m/s
D.4.8
m/s
答案:A
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对于常数函数y=a(a是常数),它的平均变化率为0.( )
(2)若函数f(x)在区间[x1,x2]内的平均变化率为0,则说明函数f(x)在区间[x1,x2]上没有发生变化.( )
(3)在平均变化率的定义中,自变量x在区间[x1,x2]上的改变量Δx为任意实数.( )
(4)函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy是f(x0+Δx)-f(x0).( )
(5)瞬时速度是平均速度的极限值.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
平均变化率
【例1】
求函数y=3x2+2在下列区间上的平均变化率.
(1)[2,2.1];(2)[2,2+Δx].
分析可以先求自变量的改变量和函数值的改变量,再代入公式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为( )
A.-3Δt-6
B.-3Δt+6
C.3Δt-6
D.3Δt+6
解析:质点在[1,1+Δt]内的平均变化率,即为平均速度,
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
瞬时变化率
【例2】
已知s(t)=
gt2,其中g=10
m/s2.
(1)求t从3
s到3.1
s的平均速度;
(2)求t从3
s到3.01
s的平均速度;
(3)求t在t=3
s时的瞬时速度.
分析函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤
(1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t);
(2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t-
gt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三
平均变化率的应用
【例3】
求函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并结合图像探讨当Δx取定值后,随x0取值不同,该函数的平均变化率的变化特点及其含义.
分析由题目可获取以下主要信息:①已知函数的解析式;②求该函数的平均变化率并指出变化率的变化特点及含义,解答本题时可数形结合,根据定义求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟函数的平均变化率反映了函数图像上两点连线的斜率,函数平均变化率的绝对值越大,斜率的绝对值越大,图像也越陡峭.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+1,该质点在[2,2+Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5,则Δt的取值范围是 .?
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】
已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,-14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
易错分析在函数的平均变化率的求法公式中,Δy必须对应Δx,即若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2).
解:∵x1=1,y1=0,x2=2,y2=-14,
∴Δx=x2-x1=2-1=1,Δy=y2-y1=-14-0=-14.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得在平均变化率的定义中,自变量的改变量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx是哪种形式,Δy必须选择相对应的形式.如Δx=x0-(x0-Δx),则Δy=f(x0)-f(x0-Δx);Δx=(x0+h)-(x0-h),则Δy=f(x0+h)-f(x0-h).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,请计算t
解:当t∈[0,0.5]时,∵Δt=0.5-0=0.5
(s),
Δh=(-4.9×0.52+6.5×0.5+10)-(-4.9×02+6.5×0+10)=2.025
(m),
1.设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变化到1.1时,函数的平均变化率为( )
A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
答案:A
2.一物体的运动曲线为s=2t3,则其在第t=3秒时的瞬时速度是( )
A.6
B.18
C.54
D.81
解析:由瞬时速度的定义可知Δs=2(t+Δt)3-2t3=2(3+Δt)3-2×33=54Δt+18(Δt)2+2(Δt)3,
答案:C
3.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,第二年婴儿体重的平均变化率为
kg/月.?
答案:0.25
4.质点M按规律s=at2+1运动,若质点M在t=2时的瞬时速度为8,求常数a的值.(共33张PPT)
§2 导数的概念及其几何意义
课标阐释
思维脉络
1.通过实例分析,体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念建立的背景.
2.理解瞬时变化率的含义,并知道瞬时变化率就是导数.
3.会求函数f(x)在某一点x0处的导数.
4.理解导数的几何意义,并能利用几何意义解决相关问题.
5.会求与导数相关的切线问题.
知识梳理
思考辨析
1.导数的概念
知识梳理
思考辨析
2.函数y=f(x)应在x=x0及其附近有意义,否则导数不存在.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
函数f(x)=x2在x=1处的导数为 .?
答案:2
知识梳理
思考辨析
2.导数的几何意义
(1)割线的斜率.
已知f(x)图像上两点A(x0,f(x0)),B(x0+Δx,f(x0+Δx)),过A,B两点的割线的斜率是
,曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.
(2)切线的斜率.
当Δx趋于零时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线y=f(x)在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的
导数f'(x0).
知识梳理
思考辨析
(3)导数的几何意义.
函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
知识梳理
思考辨析
名师点拨曲线的切线与导数
(1)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
(2)函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且导数值是该切线的斜率.
(3)曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
函数y=f(x)=
在x=1处的切线方程为 .?
答案:x+y-2=0
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)在定义域内的任一点都存在导数.( )
(2)若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴垂直.( )
(3)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数不存在,则在该点处的切线也不存在.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
导数的定义
【例1】
如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,求t1=4时的导数.
分析根据函数y=f(x)在点x0处导数的求解步骤即可解题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
可以简记为“一差,二比,三极限”.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
导数的几何意义
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
分析利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求得切线方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求过曲线上一点的切线方程的步骤
(1)求斜率.求出曲线在点(x0,f(x0))处的导数,即切线的斜率.
(2)写方程.用点斜式y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)写出切线方程.
(3)变形式.将点斜式化为一般式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+
(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 .?
答案:-3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三
导数几何意义的综合应用
【例3】
已知函数f(x)=
的图像上一点A(4,f(4)),O为坐标原点,点B为曲线段OA上一动点,求△AOB的面积的最大值.
分析因为线段OA是固定的,点B在曲线段OA上运动,当点B到OA的距离最大时,△AOB面积最大,要使点B到OA的距离最大,需要过点B作平行于OA的切线,进而求得点B坐标,再求面积.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.与导数的几何意义相关的题目大多与解析几何有关,如直线方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.
2.解决此类问题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点坐标是常设的未知量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3求曲线y=f(x)=
和y=g(x)=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求切线方程时,忽略“过”与“在”的差异
【典例】
求曲线y=2x2-7过点P(3,9)的切线方程.
易错分析求切线方程时,一般先判断该点是否在曲线上,本题中求过点P的切线方程,且点P不在曲线上,所以求出切点坐标是解决此类问题的关键.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
∵2×32-7=11≠9,
∴点P(3,9)不在曲线y=f(x)上,
∵切线斜率k=4x0,
∴设切线方程为y-y0=4x0(x-x0),
将P(3,9)代入上式并与y0=2
-7联立得
即切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得1.求曲线在某点处的切线方程时,该点即为切点,可直接求得斜率,写出切线方程,此时切线有且只有一条.
2.求曲线过某点的切线方程时,不论该点是否在曲线上,都不一定是切点,此时应设法求得切点坐标,再写出切线方程,此时切线可能有一条或多条.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练求过点P(-1,0)的曲线y=x2+x+1的切线方程.
解:设曲线y=f(x)=x2+x+1上一点M(x0,y0),
则该点处的切线斜率
即切点为(0,1)或(-2,3).
则过点(0,1)的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0;
过点(-2,3)的切线方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0.
1.设函数f(x)=ax3+2,若f'(-1)=3,则a=( )
答案:C
2.设f(x)为可导函数且满足
=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
答案:B
3.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11,则
答案:-11
4.曲线y=x2+6在点P处的切线斜率为4,则点P的坐标为 .?
答案:(2,10)(共25张PPT)
§3 计算导数
课标阐释
思维脉络
1.会用导数的定义求函数
2.记住基本初等函数的求导公式.
3.能够利用求导公式求简单函数的导数.
知识梳理
思考辨析
1.导函数
一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f'(x):f'(x)=
,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)
的导函数,通常也简称为导数.
知识梳理
思考辨析
名师点拨函数y=f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系.
(1)“函数在点x0处的导数”,就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限,它是一个数值,只与x0有关,与Δx无关,不是变数.
(2)导函数f'(x)是对某一区间内任意x而言,是一个函数关系.
(3)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x0处的函数值,即f'(x0).
知识梳理
思考辨析
2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数
导函数
y=c(c是常数)
y'=0
y=xα(α是实数)
y'=αxα-1
y=ax(a>0,a≠1)
y'=axln
a
特别地(ex)'=ex
y=logax
(a>0,a≠1)
?
知识梳理
思考辨析
函数
导函数
y=sin
x
y'=cos
x
y=cos
x
y'=-sin
x
y=tan
x
?
y=cot
x
?
知识梳理
思考辨析
名师点拨基本初等函数的导数公式.
(1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆:①将xα与ax对比记忆,两公式最易混淆;②将ax与loga
x对比记忆,并要强化记忆,这两个公式最难记;③将sin
x与cos
x对比记忆,注意正、负号问题.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
下列结论不正确的是( )
答案:B
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
若函数f(x)=ex,则f(x)在点(0,1)处的切线方程为 .?
解析:∵f'(x)=ex,∴f'(0)=e0=1,即切线的斜率为1.
故所求切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.
答案:x-y+1=0
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何函数都有导函数.( )
(2)函数f(x)=a2的导函数是f'(x)=2a.( )
(3)常数函数f(x)=c的导数值为0,表示函数在任意点处的切线垂直于y轴,即斜率为0.( )
(4)奇函数的导数为偶函数.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
思想方法
探究一
利用导数公式求导数
【例1】
求下列函数的导数:
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数.
探究一
探究二
思想方法
探究一
探究二
思想方法
反思感悟求基本初等函数的导数
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成分数指数幂的形式求导.
探究一
探究二
思想方法
变式训练1求下列函数的导数.
探究一
探究二
思想方法
探究二
导数公式的应用
【例2】
点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
分析先利用导数的几何意义确定点P的坐标,再利用点到直线的距离求解.
解:设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点.如图所示.
由题意知,在点P(x0,y0)处的切线斜率为1,
∵y'=(ex)'=ex,
∴
=1.
∴x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).
探究一
探究二
思想方法
反思感悟利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题,解决此类问题的关键是正确地确定所求切线的位置,进而求出切点坐标,或切线方程.
探究一
探究二
思想方法
探究一
探究二
思想方法
数形结合思想的应用
【典例】
讨论关于x的方程ln
x=kx解的个数.
分析通过求导的方法求出曲线y=ln
x与直线y=kx相切时k的值,借助图形求解.
解:方程ln
x=kx的解的个数就是直线y=kx与曲线y=ln
x交点的个数.
设直线y=kx与y=ln
x相切(如图所示)时,切点为P(x0,ln
x0),
则kx0=ln
x0.
探究一
探究二
思想方法
方法点睛导数的几何意义为导数与解析几何问题的沟通搭建了一个平台,因此从这种意义上说,导数也就是数形结合的桥梁,而导数公式是进行导数运算的一个有力工具,比定义法更简单、快捷,所以利用导数公式这一工具,借助数形结合这一有效方法,可以解决很多综合性问题,本例就是借助图形,进行合理转化,把方程解的个数转化为直线与曲线交点个数.
探究一
探究二
思想方法
变式训练抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界),若点P(x,y)是区域D内的任一点,则x+2y的取值范围是 .?
解析:由y=x2,得y'=2x,从而可知切线的斜率k=2,因此抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
切线y=2x-1与两坐标轴围成的三角形区域为D,
如图所示阴影部分.
1.下列函数满足f'(x)=f(x)的是( )
A.f(x)=ex
B.f(x)=cos
x
C.f(x)=sin
x
D.f(x)=ln
x
答案:A
2.下列选项中正确的是( )
C.(5x)'=5x
D.(5x)'=5xln
5
答案:D
3.函数f(x)=2x的导数是( )
解析:因为(2x)'=2xln
2,所以A正确.故选A.
答案:A
∴与之垂直的直线斜率为-3.故所求直线方程为y-4=-3(x-8),即3x+y-28=0.(共27张PPT)
§4 导数的四则运算法则
课标阐释
思维脉络
1.能够掌握导数的四则运算法则,并清楚四则运算法则的适用条件.
2.会运用运算法则求简单函数的导数.
3.初步使用转化的方法,并利用四则运算法则求导.
知识梳理
思考辨析
导数的运算法则
(1)函数的和差的导数:[f(x)±g(x)]'=
f'(x)±g'(x).
(2)函数的乘积的导数:[f(x)g(x)]'=
f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
特别地,当g(x)=k时,有[kf(x)]'=
kf'(x).
知识梳理
思考辨析
名师点拨1.导数运算法则的特点.
对于积与商的导数运算法则,应避免出现“积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商”这类想当然的错误.应特别注意积与商中符号的异同,积的导数法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.
2.应用运算法则时的注意点.
解决函数求导的问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,在求导之前应先将函数化简,再求导,以减少运算量.
3.运算法则的推广.
导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
函数f(x)=sin
x+x的导数是( )
A.f'(x)=cos
x+1
B.f'(x)=cos
x-1
C.f'(x)=-cos
x+1
D.f'(x)=-cos
x+x
解析:f'(x)=(sin
x+x)'=(sin
x)'+(x)'=cos
x+1.
答案:A
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思考辨析
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数.( )
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)在任何情况下都不成立.( )
(3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数.( )
(4)[c·f(x)]'=c·f'(x).( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
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探究一
利用导数的四则运算法则求导
【例1】
求下列函数的导数.
(1)y=xtan
x; (2)y=x4-3x2-5x+6;
分析仔细观察和分析各函数的结构特征,紧扣求导运算法则,联系基本函数求导公式,不具备求导法则条件的要进行适当变形.
探究一
探究二
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探究一
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思维辨析
反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧
(1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则.
(2)对三角函数在求导之前可先利用三角恒等变换进行化简,再进行求导.
(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.
探究一
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变式训练1函数y=sin
x·cos
x的导数是( )
A.sin2x
B.cos2x
C.sin
2x
D.cos
2x
解析:y'=(sin
x·cos
x)'=(sin
x)'cos
x+sin
x(cos
x)'=cos2x-sin2x=cos
2x.
答案:D
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变式训练2求下列函数的导数.
(1)y=2x·lg
x;
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导数计算的综合应用
【例2】
设函数f(x)=ax-
(x≠0),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
分析(1)利用求导公式求得切线的斜率,建立关于a,b的方程组求解;(2)由导数的几何意义表示出切线方程,根据题意表示出三角形的面积.
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即曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以,曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与y轴和直线y=x所围成的
即曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
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探究二
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反思感悟涉及导数几何意义的问题,可根据导数公式和运算法则,快速求得函数的导数,代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率,这样比利用导数定义要快捷得多.
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变式训练3曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 .?
解析:因为y'=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
答案:y=3x+1
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因运算法则应用不恰当而造成失误
【典例】
求下列函数的导数.
易错分析求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等变换,转化为易于求导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求导,例题(2)进行三角恒等变换后求导.
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解:(1)∵y=(x2+1)2=x4+2x2+1,
∴y'=(x4+2x2+1)'=(x4)'+(2x2)'+1'=4x3+4x.
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思维辨析
纠错心得1.应用基本初等函数求导公式和法则,一定要熟记公式,透彻理解函数结构特点,恰当选择公式,挖掘内在联系和规律.
2.对较复杂函数求导时一般先进行恒等变形,常见形式有把乘积式展开,分式形式变为和或差的形式,根式化为分数指数幂,三角形式多为三角恒等变换.
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思维辨析
变式训练求下列函数的导数.
1.(多选)若函数f(x)的导数f'(x)的图像关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=3cos
x
B.f(x)=x3+x
C.f(x)=x+
D.f(x)=ex+x
解析:对于A,f(x)=3cos
x,其导数f'(x)=-3sin
x为奇函数,图像不关于y轴对称,不符合题意;
对于B,f(x)=x3+x,其导数f'(x)=3x2+1为偶函数,图像关于y轴对称,符合题意;
对于D,f(x)=ex+x,其导数f'(x)=ex+1不是偶函数,图像不关于y轴对称,不符合题意.
故选BC.
答案:BC
2.曲线y=ln
x+x+1在点(1,2)处切线的方程为 .?
解析:因为f'(x)=
+1,所以切线斜率k=f'(1)=2,而切点坐标为(1,2),所以所求的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
答案:2x-y=0
3.已知抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)在点(2,1)处的切线方程为y=-3x+7,则a= ,b= .?
解析:令y=f(x)=ax2+bx-5(a≠0),
则f'(x)=2ax+b,∴f'(2)=4a+b.
答案:-3 9(共24张PPT)
§5 简单复合函数的求导法则
课标阐释
思维脉络
1.能说出复合函数的概念,记住复合函数的求导法则.
2.会运用复合函数求导法则求一些复合函数的导数.
3.能把一个复合函数分成两个或几个简单函数的和、差、积、商的形式.
4.要明确复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'ux',其中选择中间量是应用公式解题的关键.
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复合函数的导数
(1)定义:对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成x的函数,我们称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)).其中u=φ(x)为中间变量.
(2)导数公式:复合函数y=f(φ(x))的导数为yx'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).
知识梳理
思考辨析
名师点拨求复合函数的导数的注意事项
(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适当选定中间变量.
(2)尽可能地先将函数化简,再求导.
(3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用.
(4)复合函数的求导过程可简记为分解—求导—回代,熟练以后,可以省略中间过程.
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思考辨析
【做一做1】
指出下列函数是怎样复合而成的:
解:(1)令u=g(x)=2x,则y=sin
u,u=2x,
y=f(u)=f(g(x))=sin
2x.
(3)令u=g(x)=1-2x,则y=logau,u=1-2x,
y=f(u)=f(g(x))=loga(1-2x).
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思考辨析
【做一做2】
求下列函数的导数.
(1)y=(2x+1)5;
解:(1)设u=2x+1,则y=u5,
∴y'x=y'u·u'x=(u5)'·(2x+1)'=5u4·2=10u4=10(2x+1)4.
(2)设u=1-3x,则y=u-4,∴y'x=y'u·u'x=(u-4)'·(1-3x)'=-4u-5·(-3)
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判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
答案:(1)× (2)√
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探究一
复合函数求导
【例1】
求下列函数的导数:
(1)y=(2x+1)n(n∈N+);
(2)y=sin(4x+3);
(3)y=xcos
2x.
解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)'
=2n(2x+1)n-1.
(2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3).
(3)y'=(xcos
2x)'=x'·cos
2x+(cos
2x)'·x
=cos
2x-2xsin
2x.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟求复合函数的导数要处理好以下环节:
(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构;
(2)关键是正确分析函数和复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层的求导;
(4)善于把一部分表达式作为一个整体;
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数;
(6)复合函数求导,中间步骤可以省略,不必写出函数复合过程,可以直接应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1已知函数f(x)=ln(2x+1),则f'(0)=( )
答案:C
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2求下列函数的导数.
探究一
探究二
思维辨析
探究二
综合应用
分析先利用复合函数的求导法则求出函数f(x)的导数,再利用导数的几何意义求切线方程.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求任何一个初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以解决与导数有关的实际问题.
探究一
探究二
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答案:2
探究一
探究二
思维辨析
变式训练4设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .?
解析:∵y'=a·eax,且y=f(x)=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,∴k=2=f'(0)=a,即a=2.
答案:2
探究一
探究二
思维辨析
没有分清复合函数的复合结构而致误
【典例】
求函数y=x·e1-2x的导数.
易错分析对e1-2x的求导应按照复合函数的求导法则进行,即(e1-2x)'=e1-2x·(1-2x)'=-2·e1-2x.
解:y'=e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x(1-2x)'
=e1-2x-2xe1-2x=(1-2x)e1-2x.
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得1.求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是直接求导函数,还是利用复合函数的导数公式求导.
2.复合函数y=f(φ(x))的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘中间变量对自变量的导数,分步计算时,每一步都要明确是对哪个变量求导.
探究一
探究二
思维辨析
1.函数y=cos
(1+x2)的导数是( )
A.2xsin
(1+x2)
B.-sin
(1+x2)
C.-2xsin
(1+x2)
D.xsin
(1+x2)
解析:y'=-sin
(1+x2)·(1+x2)'=-2xsin
(1+x2).
答案:C
2.函数y=e2x-4上x=2处的切线方程为( )
A.2x-y-3=0
B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0
D.ex+y+2e-1=0
解析:∵y'=(e2x-4)'=e2x-4·(2x-4)'=2e2x-4,
∴k=2e2×2-4=2.把x=2代入y=e2x-4,得y=1,
∴切点为(2,1).
∴函数y=e2x-4上x=2处的切线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
答案:A
3.设函数f(x)=cos(
x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ= .?
4.求下列函数的导数.
