(共33张PPT)
§2 导数在实际问题中的应用
课标阐释
思维脉络
1.通过解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在实际问题中的作用.
2.会用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.
知识梳理
思考辨析
1.生活中的变化率问题
在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是
瓦特.
在气象学中,通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作
降雨强度,它是反映一次降雨大小的一个重要指标.
知识梳理
思考辨析
2.最大值、最小值问题
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).最大值或者在极大值点取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,应首先求出函数的极大值点,然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点也有类似的意义和求法.函数的最大值和最小值统称为最值.
知识梳理
思考辨析
名师点拨正确理解函数的极值与最值
(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值.
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最大(小)值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
知识梳理
思考辨析
解析:f'(x)=x2-4,令f'(x)=x2-4=0得x=2或x=-2(舍).
当x∈(0,2)时,f'(x)<0;
当x∈(2,3)时,f'(x)>0,因此x=2是函数f(x)的极小值点,
∵f(0)=4,f(3)=1,
∴f(x)在[0,3]上的最大值为f(0)=4.
答案:B
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
某箱子的容积与底面边长x的关系为
( )
A.30
B.40
C.50
D.不确定
知识梳理
思考辨析
又∵当0
0,
当40000,且x≠0,x≠60.
故V(x)的最大值就是其极大值16
000,此时箱子的底面边长为40.
答案:B
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值.( )
(2)函数在区间[a,b]上的最值一定是在端点处取得.( )
(3)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必存在最大值与最小值.( )
(4)函数的最大值只有一个,但是可以在不同点处取得.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
思维辨析
探究一
求函数的最值
【例1】
求下列函数的最值.
(2)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2].
分析求极值及两端点的函数值比较其大小.
探究一
探究二
思维辨析
解:(1)f'(x)=-3x2+3.
所以y=f(x)的最大值为2,最小值为-2.
(2)f'(x)=-4x3+4x,由f'(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得x=-1,0,1.
当x变化时,f'(x)及f(x)的变化情况如下表:
x
-3
(-3,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f'(x)
?
+
0
-
0
+
0
-
?
f(x)
-60
↗
极大
值4
↘
极小
值3
↗
极大
值4
↘
-5
所以当x=-3时,y=f(x)有最小值-60,当x=-1或x=1时,y=f(x)有最大值4.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:
(1)求y=f(x)在[a,b]内的极值.
①求导数f'(x);
②求方程f'(x)=0的全部实根;
③检查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么y=f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么y=f(x)在这个根处取得极小值.
(2)将y=f(x)各极值与f(a),f(b)比较,确定y=f(x)的最大值与最小值.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1函数f(x)=x2(4x+3)在区间[-2,2]上的最大值为 ,最小值为 .?
∴函数在[-2,2]上的最大值为44,最小值为-20.
答案:44 -20
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2已知f(x)=ax3-2ax2+b(a≠0),是否存在实数a,b使得f(x)在区间[-2,1]上的最大值是5,最小值是-11?若存在,求出a,b的值及相应函数f(x);若不存在,请说明理由.
解:存在.∵f(x)=ax3-2ax2+b(a≠0),
∴f'(x)=3ax2-4ax=ax(3x-4).
令f'(x)=0,得x1=0,x2=
?[-2,1].
若a>0,则当x变化时f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x
[-2,0)
0
(0,1]
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
探究一
探究二
思维辨析
因此,f(0)必为最大值,
∴f(0)=5,得b=5.
∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,
∴f(1)>f(-2),
∴f(x)min=f(-2)=-16a+5=-11.
∴a=1.∴f(x)=x3-2x2+5.
若a<0,同理可得f(0)为最小值,
∴f(0)=-11,得b=-11.
∵f(-2)=-16a-11,f(1)=-a-11,
∴f(-2)>f(1).
∴f(-2)=f(x)max=5.
∴a=-1.
∴f(x)=-x3+2x2-11.
探究一
探究二
思维辨析
探究二
实际问题的最值
【例2】
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.
(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,并求出最大值.
分析利润是销售收入减去成本,而成本又包括固定成本与可变成本,要先求出函数W,再利用求最值的方法求利润最大值.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
综合①②知,当x=9时,W取得最大值为38.6万元.
答:当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,最大值为38.6万元.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练3有甲,乙两个工厂,甲厂位于一笔直河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离岸40
km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A处相距50
km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a元,则供水站C应建在岸边何处才能使水管费用最省?
探究一
探究二
思维辨析
解得x=30(负值舍去).
∵当0≤x<30时,y'<0;
当300.
∴x=30时y取最小值,此时CD=30
km.
故AC=50-30=20
km,因此供水站建在A,D之间距甲厂20
km处,可使水管费用最省.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练4统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
令h'(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h'(x)<0;
当x∈(80,120)时,h'(x)>0.
所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
探究一
探究二
思维辨析
因不注意实际问题的定义域而致误
【典例】
现有一批货物由海上从A地运往B地.已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;
(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
易错分析解应用题最关键的就是要准确写出数学模型的函数关系式,这其中就包括函数的定义域.求定义域时一定要根据题目的条件,考虑自变量的实际意义.本题中函数的定义域为(0,35].
探究一
探究二
思维辨析
令y'=0,解得x=40或x=-40(舍去),
∵函数的定义域为(0,35],
∴函数在定义域内没有极值点.
又∵0故为了使全程运输成本最小,轮船应以35海里/时的速度行驶.
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得对于实际问题,除了要正确地写出函数关系,依据求函数最值的步骤求最值外,还要注意验证极值点是否在函数的定义域内,若不在定义域内,则需要考虑应用函数的单调性求解.
1.函数y=(x+1)ex+1,x∈[-3,4]的最大值为( )
A.2e-2
B.5e5
C.4e5
D.-e-1
解析:由y=(x+1)ex+1,得y'=ex+1+(x+1)ex+1=(x+2)ex+1,
当-30,
所以函数y=(x+1)ex+1在(-3,-2)上是减少的,在(-2,4)上是增加的.
因为f(-3)=-2e-2所以函数y=(x+1)ex+1,x∈[-3,4]的最大值为5e5.故选B.
答案:B
2.用边长为48
cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )
A.6
cm
B.8
cm
C.10
cm
D.12
cm
解析:设截去的小正方形的边长为x
cm,铁盒的容积为V
cm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0答案:B
3.函数f(x)=x3-3ax+a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为( )
A.0≤a<1
B.0C.-1D.0解析:f'(x)=3x2-3a,∵f(x)在(0,1)内有最小值,
∴f'(0)<0,f'(1)>0.
∴-3a<0,3-3a>0.∴0答案:B
5.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5
000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?
解:(1)由题意得本年度每辆车的投入成本为10×(1+x),出厂价为13×(1+0.7x),年销售量为5
000×(1+0.4x),因此本年度的利润为y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5
000×(1+0.4x)
=(3-0.9x)×5
000×(1+0.4x)
=-1
800x2+1
500x+15
000(01.1 导数与函数的单调性
课标阐释
思维脉络
1.结合实例,借助几何直观探索函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会根据导数值的变化规律说出函数值变化快慢的规律.
3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
4.会利用导数解决单调性的逆向求参数问题.
5.初步理解导函数在刻画函数中的作用.
知识梳理
思考辨析
导数与函数的单调性
如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数
f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的.
如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数
f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的.
知识梳理
思考辨析
名师点拨利用导数研究函数的单调性应注意的问题
(1)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调性.
(2)注意“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点.
(3)单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
(4)在某一区间内,“f'(x)>0(或f'(x)<0)”是“函数f(x)在该区间上是增加的(或减少的)”的充分不必要条件,而不是充要条件.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
函数y=xln
x在区间(0,5)上是( )
A.增加的
B.减少的
答案:C
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
函数f(x)=x3-x的递增区间是 ,递减区间是 .?
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在该区间上是增加的,反之亦成立.( )
(2)函数f(x)在区间(x1,x2)上的导数比在区间(x2,x3)上的导数大,则函数在(x1,x2)上比在(x2,x3)上增长的快.( )
(3)函数f(x)=ln
x+
在(-∞,1)上是减少的.( )
(4)在某个区间内有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
求函数的单调区间
【例1】
求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=x4-2x2+3.
(2)f(x)=2x-ln
x.
分析先求f'(x),再解不等式f'(x)>0得函数的单调递增区间,解不等式f'(x)<0得函数的单调递减区间.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:(1)∵函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1).
令4x(x+1)(x-1)>0,解得-11,
∴函数f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).
令4x(x+1)(x-1)<0,解得x<-1或0∴函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1)和(0,1).
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0),得出相应的x的范围;
(4)根据不等式的解集,写出相应结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1函数y=x2-4x+a的单调递减区间是 .?
解析:∵函数的定义域为R,y'=(x2-4x+a)'=2x-4.由y'=2x-4<0得x<2,∴函数y=x2-4x+a的单调递减区间是(-∞,2).
答案:(-∞,2)
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练2求下列函数的单调区间:
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究二
根据单调性求参数
解:(方法一)∵f'(x)=x2-ax+a-1,令f'(x)=0,解得x=1或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上是增加的,不符合题意.
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上是增加的,在(1,a-1)上是减少的,在(a-1,+∞)上是增加的.
依题意知,函数f(x)在区间(1,4)上是减少的,在(6,+∞)上是增加的,
∴4≤a-1≤6,即5≤a≤7.
∴a的取值范围是[5,7].
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(方法二)∵f'(x)=x2-ax+a-1,
由题意知f'(x)≤0在区间(1,4)上恒成立,f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的方法
(1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在(a,b)上单调,则f'(x)≥0或f'(x)≤0在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练3已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则实数k的取值范围是 .?
解析:∵f'(x)=3x2-k,由题意知3x2-k=0在(-3,-1)内有解,即k=3x2
在(-3,-1)内有解.
又∵当x∈(-3,-1)时,3x2∈(3,27),∴k∈(3,27).
答案:(3,27)
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练4若函数f(x)=x3-ax2+1在[0,2]内是减少的,求实数a的取值范围.
解:(方法一)f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a).
当a=0时,f'(x)≥0,故y=f(x)在(-∞,+∞)上是增加的,与y=f(x)在[0,2]内是减少的不符,舍去.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(方法二)f'(x)=3x2-2ax.
由y=f(x)在[0,2]内是减少的知3x2-2ax≤0在[0,2]内恒成立.
当x=0时,由3x2-2ax≤0在[0,2]内恒成立得a∈R.
当x≠0时,3x2-2ax≤0在[0,2]内恒成立,
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究三
证明不等式
证明:要证明sin
x0),
可先令F(x)=x-sin
x,于是F(0)=0,
由于F'(x)=1-cos
x≥0,所以F(x)在(0,+∞)上是增加的,从而有F(x)>F(0)=0,
即x-sin
x>0,x>sin
x(x>0).
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟利用导数证明不等式的步骤
(1)构造函数:F(x)=f(x)-g(x).
(2)求导:F'(x)=f'(x)-g'(x).
(3)判断函数的单调性.
(4)若F(x)在区间上的最小值大于或等于0,则f(x)≥g(x);
若F(x)在区间上的最大值小于或等于0,则f(x)≤g(x).
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练5已知函数f(x)=
+ln
x,则有( )
A.f(2)B.f(e)C.f(3)D.f(e)答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练6已知x>1,求证:x>ln(1+x).
分析构造函数f(x)=x-ln(1+x),只要证明在x∈(1,+∞)上,f(x)>0恒成立即可.
证明:设f(x)=x-ln(1+x)(x>1).
∴f(x)在(1,+∞)上是增加的.
又f(1)=1-ln
2>1-ln
e=0,
即f(1)>0,∴f(x)>0,即x>ln(1+x)(x>1).
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究四
函数与其导函数的关系
【例4】
下图是函数f(x)的导函数f'(x)的图像,则下列判断中正确的是( )
A.函数f(x)在区间(-3,1)上是增加的
B.函数f(x)在区间(1,3)上是减少的
C.函数f(x)的单调递增区间为(-3,1),(3,+∞)
D.函数f(x)的单调递增区间为(0,2),(4,+∞)
解析:根据f'(x)的正、负判断函数f(x)的单调性,在(0,2),(4,+∞)上f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,2),(4,+∞),函数f(x)的单调递减区间是(-3,0),(2,4).
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟研究一个函数的图像与其导函数的图像之间的关系时,要注意抓住各自的关键要素.对原函数,我们重点考察其图像在哪个区间上是增加的,哪个区间上是减少的,而对于导函数图像,则应考察导函数值在哪个区间上大于0,哪个区间上小于0,并考察这些区间与原函数的单调区间是否吻合.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练7f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像最有可能是下列选项中的( )
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:题目所给出的是导函数的图像,导函数的图像在x轴的上方,表示导函数值大于零,原函数的图像呈上升趋势;导函数的图像在x轴的下方,表示导函数值小于零,原函数的图像呈下降趋势.
当x∈(-∞,0)时,导函数图像在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图像呈上升趋势,可排除B,D两选项.
当x∈(0,1)时,图像在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图像呈下降趋势,可排除A选项.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
分类讨论思想在研究函数单调性中的应用
分析因为a的大小及符号不确定,所以要先求f'(x),然后对a的取值进行分类讨论,以确定单调区间.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
方法点睛导函数值的符号是影响函数在区间上的单调性的决定因素,在涉及含参数函数的单调性的判定、求单调区间问题时,需要分类讨论:
(1)讨论导数的最高次项系数,若最高次项含参数,则需分大于0、小于0、等于0讨论.若最高次项不含参数,则不需要讨论.
(2)讨论导数不等式的解集,一般情况下导函数都是二次函数,要讨论二次函数的判别式是否大于零,再讨论两根的大小,以确定不等式的解集.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
若b>0,则f'(x)<0,函数y=f(x)在区间(-1,1)上是减少的.若b<0,则f'(x)>0,函数在区间(-1,1)上是增加的.
1.函数f(x)=2x-sin
x在(-∞,+∞)上( )
A.是增加的
B.是减少的
C.在(0,+∞)上是增加的,在(-∞,0)上是减少的
D.在(0,+∞)上是减少的,在(-∞,0)上是增加的
解析:由f'(x)=2-cos
x>0,可知f(x)在(-∞,+∞)上是增加的.
答案:A
2.已知函数f(x)=
x3-2x2,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(4,+∞)
B.(0,2)
C.(0,4)
D.(-∞,0)
解析:由题意,得f'(x)=x(x-4),令f'(x)<0,得0答案:C
3.若在区间(a,b)内有f'(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)=0
D.不能确定
解析:∵在区间(a,b)内有f'(x)>0,且f(a)≥0,∴函数f(x)在区间(a,b)上是增加的.∴f(x)>f(a)≥0.
答案:A
4.(多选)如图是函数y=f(x)的导数y=f'(x)的图像,则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在(-1,3)上是增加的
B.函数y=f(x)在(3,5)上是减少的
C.函数y=f(x)在(-∞,0)上是增加的
D.函数y=f(x)有3个零点
解析:由导数图像知在(-∞,-1)和(3,5)上,f'(x)<0,f(x)是减少的,在(-1,3)和(5,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增加的.由图像不能得出其零点个数.故选AB.
答案:AB(共29张PPT)
1.2 函数的极值
课标阐释
思维脉络
1.结合图像,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.理解函数极值的概念.
3.能结合图像直观理解函数的极值与导数的关系.
4.会求函数的极值,并能确定是极大值还是极小值.
5.学会使用列表的方法来研究函数的极值与单调情况.
知识梳理
思考辨析
1.函数的极值的有关概念
在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都
小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其
函数值f(x0)为函数的极大值.
在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都
大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其
函数值f(x0)为函数的极小值.
极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.
知识梳理
思考辨析
名师点拨1.极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是端点.
2.若f(x)在某区间内有极值,则f(x)在该区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
3.可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即函数y=f(x)在一点的导数值为零是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件,而不是充分条件.
4.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f'(x)=0,在x0左侧和右侧f'(x)的符号不同.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图,则
( )
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
答案:A
知识梳理
思考辨析
2.求函数极值点的步骤
(1)求出导数f'(x).
(2)解方程f'(x)=0.
(3)对于方程f'(x)=0的每一个解x0,分析f'(x)在
x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性),确定极值点:
①若f'(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为极大值点;
②若f'(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为极小值点;
③若f'(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点.
知识梳理
思考辨析
名师点拨1.函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
2.当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
3.从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
函数f(x)=x3-3x2+7的极大值为 .?
解析:∵f'(x)=3x2-6x,解3x2-6x=0得x=0或x=2.∴f(x)的递增区间为(2,+∞)和(-∞,0),f(x)的递减区间为(0,2).
因此当x=0时,函数f(x)=x3-3x2+7取极大值f(0)=7.
答案:7
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任意一个函数f(x)在定义域内必然存在极值.( )
(2)函数f(x)的极大值一定大于极小值.( )
(3)可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的充要条件是f'(x0)=0.( )
(4)函数f(x)在其定义域内可以有多个极小值和极大值.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
思维辨析
探究一
利用导数求函数的极值
【例1】
求函数y=3x3-x+1的极值.
分析首先对函数求导,然后求方程y'=0的根,再检查y'在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么此处取最大值,如果左负右正,那么此处取极小值.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟利用导数求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求导数f'(x).
(3)解方程f'(x)=0得方程的根.
(4)利用方程f'(x)=0的根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号.
(5)确定函数的极值,若f'(x)的符号在x0处由正(负)变负(正),则f(x)在x0处取得极大(小)值.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1判断下列函数是否有极值,如果有极值,请求出其极值;如果无极值,请说明理由.
当x≥0时,y=x2是增加的;
当x<0时,y=-x2也是增加的.
故函数y=x|x|无极值.
探究一
探究二
思维辨析
探究二
已知极值求参数值
【例2】
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1,
(1)求常数a,b,c的值.
(2)判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出极值.
分析先求f'(x),再由函数f(x)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1建立关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,再由判定极值的方法判定其极值情况.
探究一
探究二
思维辨析
解:(1)f'(x)=3ax2+2bx+c,
∵x=±1是函数f(x)的极值点,
∴x=±1是方程f'(x)=0的两根,
即3ax2+2bx+c=0的两根.
探究一
探究二
思维辨析
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增加的,
在(-1,1)上是减少的.
∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,
当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟已知函数极值求参数的方法
(1)根据极值点处导数为0和函数在极值点处的函数值等于极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须要验证根的合理性.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,则a=( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:f'(x)=3x2+2ax+3,由题意得f'(-3)=0,解得a=5.
答案:D
探究一
探究二
思维辨析
变式训练3已知函数y=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为 .?
解析:y'=3-3x2=3(1+x)(1-x),令y'=0,得x1=-1,x2=1,经判断知x=1是极大值点,因此f(1)=2+m=10,即m=8.
答案:8
探究一
探究二
思维辨析
因误认为导数等于零的点就是极值点而致误
【典例】
已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,求常数a,b的值.
易错分析注意f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件,只有当f'(x)在x=x0两侧符号相反时,函数f(x)才在x=x0处取得极值.
探究一
探究二
思维辨析
当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0.
∴函数f(x)在R上是增加的,无极值,故应舍去.
当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3);
当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在x=-1处取得极小值.
因此a=2,b=9.
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得1.根据极值的定义,当f'(x0)=0时,函数f(x)在x=x0两侧先减后增,则函数f(x)在x=x0处取得极小值,函数f(x)在x=x0两侧先增后减,则函数f(x)在x=x0处取得极大值.
2.对于可导函数,极值点导数为零,但导数为零的点不一定是极值点,因此已知函数的极值点,求某些参变量的值时,应验证能否使函数取到极值,否则易出现错解.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练如果函数f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求a,b,c的值.
解:f'(x)=5ax4-3bx2,令f'(x)=0,
即x2(5ax2-3b)=0,
则f'(x)=5ax2(x2-1).
若a>0,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
思维辨析
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
无极值
↘
极小值
↗
1.设函数f(x)=xex,则( )
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
解析:f'(x)=ex+xex=ex(x+1).
令f'(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小值点.
答案:D
2.函数y=x3-6x的极大值为( )
答案:A
3.若函数f(x)=x3-3x2在区间(a-2,a+1)内存在极大值,则实数a的取值范围是 .?
解析:依题意得f'(x)=3x2-6x,由f'(x)=0得x=0或x=2,当x<0或x>2时,f'(x)>0,当0所以0是f(x)的极大值点,2是f(x)的极小值点.
因为函数f(x)=x3-3x2在区间(a-2,a+1)内存在极大值,
所以0∈(a-2,a+1),即-1答案:(-1,2)
4.设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数.
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的极值.
解:(1)∵f'(x)=3x2+2bx+c,
∴g(x)=f(x)-f'(x)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c.
又g(x)是R上的奇函数,
∴g(-x)=-g(x).
∴(-x)3+(b-3)x2-(c-2b)x-c
=-x3-(b-3)x2-(c-2b)x+c,
化简,得(b-3)x2-c=0.
∴b=3,c=0.
(2)由(1)知g(x)=x3-6x,
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:(共26张PPT)
第2课时 导数的四则运算及几何意义
知识网络
要点梳理
思考辨析
填一填:
① ;② ;③ ;④ ;⑤ .?
答案:①函数的平均变化率 ②导数的概念 ③切线的斜率 ④导数的加法与减法法则 ⑤简单的复合函数的求导法则
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.切线方程的求法:
(1)以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤:
①求出函数f(x)的导数f'(x);
②求切线的斜率f'(x0);
③写出切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),并化简.
(2)如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),解方程组
注意:过某一定点求曲线的切线方程或斜率时,首先应判断所给定点是不是切点,如果不是,需将切点坐标设出.
知识网络
要点梳理
思考辨析
2.导数的计算:
导数的计算在应用导数研究函数性质中具有非常重要的作用,求导时可遵循以下原则:对于根式型函数,可考虑进行有理化变形;对于分式中分子、分母是齐次结构的函数,可裂项化为和差形式;对于多个整式乘积形式的函数,可展开化为和差形式;对三角函数,可进行恒等变形;对于复合函数,应分清复合层次.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)所表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,则函数f(x)在该点处一定存在导数.( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线.( )
(4)可导的周期函数的导函数是周期函数.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
专题归纳
高考体验
专题一 导数的几何意义
【例1】
已知函数f(x)=
,g(x)=aln
x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
分析本题考查导数的几何意义,考查推理论证能力和分析问题、解决问题的能力.
专题归纳
高考体验
反思感悟利用导数的几何意义,可求切线的斜率,
(1)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直;
(2)若f'(x0)>0,则切线的倾斜角为锐角;若f'(x0)<0,则切线的倾斜角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行.
专题归纳
高考体验
变式训练1已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=( )
A.9
B.6
C.-9
D.-6
解析:∵y'=4x3+2ax,
∴当x=-1时,y'=-4-2a=8,
∴a=-6.
答案:D
专题归纳
高考体验
(1)求该曲线在点P(-1,-1)处的切线方程;
(2)求该曲线过点Q(2,0)的切线方程;
又P(-1,-1)是曲线上的点,
∴P为切点,所求切线的斜率为k=f'(-1)=-1.
∴曲线在点P处的切线方程为y+1=-(x+1),
即y=-x-2.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题二 导数的计算
【例2】
求下列函数的导数:
分析根据函数的求导法则及导数的运算法则进行.
解:(1)y'=(5-4x3)'=-12x2.
(2)y'=(3x2+xcos
x)'=(3x2)'+(xcos
x)'=6x+cos
x-xsin
x.
专题归纳
高考体验
分析题目所给的函数是由三层函数复合而成的,如果直接求导,将会很麻烦,注意到这是一个对数函数,能利用对数的性质先化简.
专题归纳
高考体验
反思感悟求一个函数的导数的基本方法有三种:一是利用定义,二是利用基本初等函数的导数公式,三是先把函数分解成基本初等函数的和、差、积、商的运算,再利用导数的运算法则进行计算.
求复合函数的导数,一般是利用复合函数的求导法则,将问题转化为基本初等函数的导数解决.具体过程中要注意以下几点:①分析清楚复合函数的复合关系,它是由哪些基本函数(存在求导公式)复合而成,适当选定中间变量;②分步求导中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中要特别注意中间变量的系数;③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转回原自变量的函数.
专题归纳
高考体验
变式训练3已知f(x)=x(2
015+ln
x),若f'(x0)=2
016,则x0等于( )
A.e2
B.1
C.ln
2
D.e
解析:f'(x)=2
015+ln
x+x×
=2
016+ln
x,由f'(x0)=2
016得2
016+
ln
x0=2
016,则ln
x0=0,
解得x0=1.
答案:B
专题归纳
高考体验
变式训练4若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于( )
A.-1
B.-2
C.2
D.0
解析:∵f'(x)=4ax3+2bx,∴f'(x)为奇函数.
又f'(1)=2,∴f'(-1)=-2.
答案:B
专题归纳
高考体验
解析:y'=-2(3x+5)-2-1·3=-6(3x+5)-3.
答案:-6(3x+5)-3
专题归纳
高考体验
考点一:导数的几何意义
1.若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sin
x
B.y=ln
x
C.y=ex
D.y=x3
专题归纳
高考体验
解析:设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).
则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2),若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.
A项,f'(x)=cos
x,显然k1·k2=cos
x1·cos
x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;
答案:A
专题归纳
高考体验
2.设直线l1,l2分别是函数f(x)=
图像上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
专题归纳
高考体验
解析:由题意得P1,P2分别位于两段函数的图像上.
设P1(x1,ln
x1),P2(x2,-ln
x2)(不妨设x1>1,0专题归纳
高考体验
答案:A
专题归纳
高考体验
3.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .?
解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln
x-3x.
因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln
x-3x.
所以f'(x)=
-3,f'(1)=-2.
故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.
答案:y=-2x-1
专题归纳
高考体验
4.若直线y=kx+b是曲线y=ln
x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .?
答案:1-ln
2
专题归纳
高考体验
5.已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .?
解析:∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,
即切线斜率k=3a+1.
又f(1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).
而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为
=5-a,
∴5-a=3a+1,解得a=1.
答案:1
专题归纳
高考体验
考点二:导数的计算
答案:1
专题归纳
高考体验
7.已知函数f(x)=axln
x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a的值为 .?
解析:因为f(x)=axln
x,所以f'(x)=aln
x+ax·
=a(ln
x+1).由f'(1)=3得a(ln
1+1)=3,所以a=3.
答案:3(共89张PPT)
第3课时 导数的应用及定积分的简单应用
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要点梳理
思考辨析
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要点梳理
思考辨析
填一填:
① ;② ;③ ;④ ;⑤ ;⑥ .?
答案:①用导数求函数的单调区间 ②函数的极值 ③函数的最值 ④速度、加速度 ⑤降雨强度 ⑥边际成本
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要点梳理
思考辨析
2.定积分
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要点梳理
思考辨析
填一填:
① ;② ;③ ;④ ;⑤ .?
答案:①面积问题 ②定义 ③性质 ④微积分基本定理 ⑤平面图形的面积
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要点梳理
思考辨析
1.利用导数研究函数的单调性的步骤.
(1)找出函数f(x)的定义域;
(2)求f'(x);
(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,f'(x)<0.
2.求可导函数f(x)极值的步骤.
(1)求函数的导数f'(x);
(2)令f'(x)=0,求出全部的根x0;
(3)列表,方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在同一表格内;
(4)判断得结论,若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若导数在x0附近左负右正,则在x0处取得极小值.
知识网络
要点梳理
思考辨析
3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤.
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
4.求定积分的三种方法.
(1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强.
(2)利用微积分基本定理求定积分.
(3)利用定积分的几何意义求定积分.当曲边梯形面积易求时,可通
知识网络
要点梳理
思考辨析
5.利用定积分求平面图形的面积.
在直角坐标系中,由曲线f(x),直线x=a,x=b(a知识网络
要点梳理
思考辨析
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)因为函数f(x)=x3的导数f'(x)=3x2≥0,所以函数f(x)=x3在R上是增加的.( )
(2)在开区间(a,b)内连续的函数f(x)若只有某一点处存在极大值(或极小值),则函数f(x)在该点处取得最大值(或最小值).( )
(3)导函数的值为0的点必定是函数的极值点.( )
(4)在某区间内函数的极大值和极小值一定是唯一的.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×
(7)√
专题归纳
高考体验
专题一 函数的单调性与导数
【例1】
已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.(注y=eax(a为常数)的导数y'=aeax)
解:因为函数f(x)的导数为f'(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.
(1)当a=0时,若x<0,则f'(x)<0,若x>0,则f'(x)>0.
所以,当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上是减少的,在区间(0,+∞)上是增加的.
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反思感悟求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.若含有参数,需对参数进行分类讨论.
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专题二 可导函数的极值与最值
【例2】
已知函数f(x)=x-aln
x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
∴f(1)=1,f'(1)=-1.
∴y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
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①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增加的,函数f(x)无极值.
②当a>0时,由f'(x)=0解得x=a.
∵x∈(0,a)时,f'(x)<0;x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
∴f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln
a,无极大值.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln
a,无极大值.
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反思感悟求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程f'(x)=0,再判断f'(x)=0的根是不是极值点,可通过列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨论.
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变式训练2设f(x)=
x3+mx2+nx.
(1)如果g(x)=f'(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;
(2)如果m+n<10(m,n∈N+),f(x)的递减区间的长度是正整数,试求m和n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)
解:(1)由题意得g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+m-1)2+(n-3)-(m-1)2,
已知g(x)在x=-2处取得最小值-5,
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(2)因为f'(x)=x2+2mx+n,且f(x)的递减区间的长度为正整数,故f'(x)=0一定有两个不同的根,从而Δ=4m2-4n>0,即m2>n.
不妨设两根分别为x1,x2,则|x2-x1|=2
为正整数.
故m≥2时才可能有符合条件的m,n.
当m=2时,只有n=3符合要求;
当m=3时,只有n=5符合要求;
当m≥4时,没有符合要求的n.
综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.
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专题三 导数与不等式
【例3】
已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:当x>0时,x2(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2专题归纳
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(1)解:由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.
又f'(0)=1-a=-1,得a=2.
所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.
令f'(x)=0,得x=ln
2.
当x2时,f'(x)<0,f(x)是减少的;
当x>ln
2时,f'(x)>0,f(x)是增加的.
所以当x=ln
2时,f(x)取得极小值,且极小值为
f(ln
2)=eln
2-2ln
2=2-ln
4,f(x)无极大值.
(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x,
由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln
2)>0,
故g(x)在R上是增加的.又g(0)=1>0,
因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2专题归纳
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(3)证明:(方法一)①若c≥1,则ex≤cex.
又由(2)知,当x>0时,x2所以当x>0时,x2取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内是增加的.
取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内是增加的,
又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln
k
=8(k-ln
2)+3(k-ln
k)+5k,
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反思感悟1.不等式的证明问题
可以从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式得到证明,其一般步骤是:构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论.
2.不等式恒成立问题
若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可,利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解.
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变式训练3已知函数f(x)=(x+1)ln
x-x+1.
(1)若xf'(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(2)证明:(x-1)f(x)≥0.
令g'(x)=0,解得x=1.
∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴当00;当x>1时,g'(x)<0.
故x=1是g(x)的极大值点,且是最大值点,则g(x)≤g(1)=-1.
综上,a的取值范围是[-1,+∞).
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(2)证明:由(1)知,g(x)≤g(1)=-1,即ln
x-x+1≤0.
当0x-x+1=xln
x+(ln
x-x+1)≤0;
∴(x-1)f(x)≥0.
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专题四 利用求导解应用题
【例4】
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:
cm)满足关系:
设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式.
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
分析本小题主要考查函数、导数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.可根据题意得出f(x)的解析式,再利用导数解决.
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反思感悟利用导数解决生活中优化问题的一般步骤.
(1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域;
(2)求函数y=f(x)的导数f'(x),解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点;
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值;
(4)还原到原实际问题中作答.
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变式训练4某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=
+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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=2+10(x-3)(x-6)2,3f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),
令f'(x)=0,得x=4.
当30,函数f(x)在(3,4)上是增加的;
当4∴当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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专题五 定积分的计算
【例5】
求下列定积分:
分析先由定积分性质将其分解,然后由牛顿—莱布尼茨公式求解.
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反思感悟用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;
(4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值;
(5)计算原始定积分的值.
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专题六 定积分的应用
【例6】
如图所示,由两条曲线y=-x2,4y=-x2以及直线y=-1所围成的平面图形的面积为( )
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解析:所围成的平面图形的面积(记为S)由两部分组成:一部分是y轴右边的图形的面积(记为S1);另一部分是y轴左边的图形的面积(记为S2).
答案:B
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反思感悟利用定积分求平面图形的面积,在高考中多以选择题、填空题的形式出现,难度较小.
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变式训练6求由曲线y=x2,直线y=2x和y=x围成的图形的面积.
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考点一:利用导数研究函数的单调性
1.(2020全国Ⅱ,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
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答案:D
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(方法一)则由题意可得,当cos
x=1时,f'(x)≥0,
当cos
x=-1时,f'(x)≥0,
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答案:C
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3.已知函数f(x)=(x+1)ln
x-a(x-1).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
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由x2>1和x1x2=1得x1<1,
故当x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)上是减少的,因此g(x)<0.
综上,a的取值范围是(-∞,2].
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4.设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
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(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.
令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.
所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上是减少的;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上是增加的.
故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).
故f(x)的递增区间为(-∞,+∞).
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考点二:利用导数研究函数的极值与最值
5.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
解析:由题意可得,
f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.
因为x=-2是函数f(x)的极值点,
所以f'(-2)=0.所以a=-1.
所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.
所以f'(x)=(x2+x-2)ex-1.
令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.
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当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.
答案:A
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6.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为( )
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解析:特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除A,B;
当0由函数零点的判定可知,y'=4x-ex在(0,2)内存在零点,
即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.
答案:D
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(1)若a=0,则f(x)的最大值为 ;?
(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 .?
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解析:令g(x)=x3-3x,φ(x)=-2x.由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-
,0),(0,0),(
,0).又g(x)与φ(x)图像的交点为
A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与φ(x)的大致图像如图所示.
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(2)由图像知,当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,∴a的取值范围是(-∞,-1).
答案:(1)2 (2)(-∞,-1)
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8.(2020全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)是减少的,在(0,+∞)是增加的.
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(2)f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)是增加的,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln
a.当x∈(-∞,ln
a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln
a,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln
a)是减少的,在(ln
a,+∞)是增加的,故当x=ln
a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln
a)=-a(1+ln
a).
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由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln
a)存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,
所以当x>4且x>2ln(2a)时,
故f(x)在(ln
a,+∞)存在唯一零点.
从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点.
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9.设函数f(x)=αcos
2x+(α-1)(cos
x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.
(1)求f'(x);
(2)求A;
(3)证明|f'(x)|≤2A.
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解:(1)f'(x)=-2αsin
2x-(α-1)sin
x.
(2)(分类讨论)当α≥1时,
|f'(x)|=|αsin
2x+(α-1)(cos
x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.
当0<α<1时,将f(x)变形为
f(x)=2αcos2x+(α-1)cos
x-1.
(构造函数)
令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,
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所以|f'(x)|≤1+α<2A.
当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.
所以|f'(x)|≤2A.
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考点三:导数与不等式
10.设函数f(x)=ln
x-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
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解:(1)(导数与函数的单调性)
令f'(x)=0解得x=1.
当00,f(x)是增加的;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)是减少的.
(2)由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.
所以当x≠1时,ln
x专题归纳
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(3)由题设c>1,(构造函数)
设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxln
c,
当x0,g(x)是增加的;
当x>x0时,g'(x)<0,g(x)是减少的.
又g(0)=g(1)=0,故当00.
所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
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11.(2020全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥
x3+1,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)是减少的,在(0,+∞)是增加的.
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所以g(x)在(0,2)是增加的,而g(0)=1,
故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
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考点四:导数的综合性问题
12.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
(ⅰ)若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上是减少的.
(ⅱ)若a>0,则由f'(x)=0得x=-ln
a.
当x∈(-∞,-ln
a)时,f'(x)<0;当x∈(-ln
a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)
在(-∞,-ln
a)上是减少的,在(-ln
a,+∞)上是增加的.
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(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.
(ⅱ)若a>0,由(1)知,当x=-ln
a时,f(x)取得最小值,最小值为
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13.(2017全国Ⅱ高考)已知函数f(x)=ax3-ax-xln
x,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
设g(x)=ax-a-ln
x,则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为
时,g'(x)>0,g(x)是增加的.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.
综上,a=1.
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考点五:导数在实际问题中的应用
14.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6
m,PO1=2
m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6
m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
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解:(1)由PO1=2
m知O1O=4PO1=8
m.
因为A1B1=AB=6
m,
所以正四棱锥
P-A1B1C1D1的体积
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
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(2)设A1B1=a
m,PO1=h
m,则0连接O1B1.
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考点六:定积分的计算
答案:C
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答案:C
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答案:0
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18.执行下边的程序框图,输出的T的值为 .?
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考点七:求图形的面积
答案:C
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20.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .?
解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图像如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.
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21.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线形(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .?
专题归纳
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解析:以梯形的下底为x轴,上、下底边的中点连线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),故
答案:1.2(共31张PPT)
习题课——导数的综合应用
课标阐释
思维脉络
1.利用导数研究函数的单调性、极值,以及连续函数在区间[a,b]上的最大(小)值.
2.利用导数研究不等式恒成立问题及含有参数的最值问题的解法
知识梳理
1.求可导函数y=f(x)的单调区间
求可导函数y=f(x)单调区间的步骤是:
(1)求f'(x);
(2)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0);
(3)确认并指出递增区间(或递减区间).
要注意函数的定义域.
知识梳理
2.求解函数极值
求解函数极值的一般步骤是:
(1)确定函数的定义域;
(2)求方程f'(x)=0的根;
(3)用方程f'(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格;
(4)由f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
知识梳理
3.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值
求函数y=f(x)在[a,b]上最值的一般步骤是:
(1)求y=f(x)在[a,b]内的极值;
(2)把y=f(x)在[a,b]内的极值与f(a),f(b)比较,得最值.
知识梳理
【做一做1】
函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值为( )
A.-2
B.0
C.2
D.4
解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,可得x=0或x=2(舍去).
当-1≤x<0时,f'(x)>0,当0因此当x=0时,f(x)取最大值2.
答案:C
知识梳理
【做一做2】
函数f(x)=ln
x-ax2+x是定义域上的增函数,则a的取值范围是( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究一
利用函数的单调性与导数的关系求参数
【例1】
已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是增加的,求a的取值范围.
解:(方法一)∵f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴f'(x)=3x2-2ax-4,不难知道f'(x)=3x2-2ax-4的图像为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,
∴a的取值范围是[-2,2].
探究一
探究二
探究三
(方法二)要使f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是增加的,只需f'(x)=3x2-2ax-4≥0在(-∞,-2]和[2,+∞)上恒成立即可.
探究一
探究二
探究三
反思感悟利用函数的单调性与导数的关系求参数
(1)将问题转化为有关导函数的不等式在某区间上恒成立问题,即f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立.
(2)要利用分离参数或函数性质求解参数范围,常见思路有:
①m≥g(x)恒成立?m≥g(x)max;
②m≤g(x)恒成立?m≤g(x)min.
(3)要注意检验参数取“=”时是否满足题意.
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探究二
探究三
变式训练1已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1](a>0).若f(x)在(0,1]上是增加的,则a的取值范围是 .?
解析:∵f'(x)=2a-3x2,且f(x)在(0,1]上是增加的,∴f'(x)≥0在(0,1]上恒成立.
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探究三
变式训练2设函数f(x)=xekx(k≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)内是增加的,求k的取值范围.
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探究三
探究一
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探究三
探究二
含参数的最值问题
【例2】
已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)
,其中a<0.
(1)当a=-4时,求f(x)的递增区间;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
分析(1)将a=-4代入,令f'(x)>0得递增区间;(2)先求导,求出单调区间,通过对a讨论从而判断f(x)在[1,4]上的单调性,根据单调性,表示出最值进而求出a的值.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题.
(2)不能求出参数时,常需分类讨论.若参数对导数的正负有影响时,需讨论参数;若极值与函数端点值比较大小不能确定,也需分类讨论以确定最值.
2.已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
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探究三
解:令f'(x)=3x2-3ax=3x(x-a)=0,得x1=0,x2=a,
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
从表中可知,当x=0时,y=f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(1)>f(-1),故需比较f(0)与f(1)的大小,
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探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究三
恒成立问题
解:对函数f(x)求导得f'(x)=eax(ax+2)(x-1).
(1)当a=2时,f'(x)=e2x(2x+2)(x-1),
令f'(x)>0,解得x>1或x<-1,
令f'(x)<0,解得-1所以f(x)的递减区间为(-1,1),递增区间为(-∞,-1),(1,+∞).
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探究二
探究三
(2)令f'(x)=0,即(ax+2)(x-1)=0,
由a>0可得:
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探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
反思感悟恒成立问题是非常重要的常见题型之一,其中“不等式在某范围内恒成立,求参数的取值范围”这类问题较多,解决这类问题的常用方法是将问题转化为求函数的最值问题;对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.另外需特别小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.
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1.函数f(x)=ax2+x+1有极大值的充要条件是( )
A.a<0
B.a≥0
C.a>0
D.a≤0
解析:若a=0,则f(x)=x+1是增加的,无极值,若a>0,则f(x)的图像开口向上,无极大值,若a<0,f(x)的图像开口向下,有极大值.
答案:A
解析:由题意可得f'(x)=x2-2(4m-1)x+1≥0对于x∈R恒成立,
由二次函数的性质可得Δ=4(4m-1)2-4≤0,
故选B.
答案:B
3.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .?
解析:f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),由f'(x)=0,得x=3或x=-1,
∵f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,由f(x)max=k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.
答案:-71
4.已知f(x)=x2-2ln
x.
(1)求f(x)的最小值.
x1=-1(因x>0,应舍去),x2=1,当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值1
↗
故当x=1时,f(x)min=1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论函数g(x)=f(x)-a在[-1,2]上的零点个数.
因为x∈[-1,+∞),所以f'(x)的零点为0和1,
令f'(x)<0,得0令f'(x)>0,得x>1或-1所以f(x)的递减区间为(0,1),递增区间为(-1,0),(1,+∞).