(共36张PPT)
§1 定积分的概念
课标阐释
思维脉络
1.了解曲边梯形的面积求法.
2.掌握定积分的概念,并会用定义求定积分.
3.理解定积分的几何意义和定积分的基本性质.
知识梳理
思考辨析
1.曲边梯形及其面积的求法
曲线y=f(x)与平行于y轴的直线和x轴所围成的平面图形叫曲边梯形.求连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积S的方法是:①分割;②近似代替;③求面积的和;④逼近.
2.定积分的背景
面积问题、路程问题以及做功问题3个问题,一般通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值也就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.
知识梳理
思考辨析
3.定积分的概念
一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图所示.
将[a,b]区间分成n份,分点为:a=x0
S'=f(δ1)Δx1+f(δ2)Δx2+…+f(δi)Δxi+…+f(δn)Δxn的值也趋于该常数A,
知识梳理
思考辨析
知识梳理
思考辨析
4.定积分的相关名称
符号
f(x)
f(x)dx
x
a
b
[a,b]
相关
名称
积分号
被积
函数
被积式
积分
变量
积分
下限
积分
上限
积分
区间
知识梳理
思考辨析
2.定义中区间的分法和ξi的取法是任意的.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
把区间[1,3]等分成n份,所得n个小区间的长度均为( )
答案:B
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
汽车以速度v=v(t)在[0,t]内做直线运动,经过的路程为s,则下列叙述正确的是( )
A.将[0,t]等分n份,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求得的路程是s的不足估计值
B.将[0,t]等分n份,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求得的路程是s的过剩估计值
C.将[0,t]等分n份,n越大,求出的路程近似替代s的精确度越高
D.将[0,t]等分n份,当n很大时,求出的路程就是s的准确值
解析:当n越大时,分割成的小区间长越小,则求出的路程近似替代s的精确度越高.
答案:C
知识梳理
思考辨析
5.定积分的几何意义及性质
(1)当f(x)≥0时,
f(x)dx表示的是y=f(x)与x=a,x=b和x轴所围曲边梯形的面积.
(2)当f(x)表示速度关于时间x的函数时,
f(x)dx表示的是运动物体从x=a到x=b时所走过的路程.
(3)定积分的性质.
知识梳理
思考辨析
名师点拨1.性质③对于有限个函数(两个以上)也成立,性质④对于把区间[a,b]分成有限个(两个以上)区间也成立.
知识梳理
思考辨析
答案:6
知识梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值.( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
过剩估计值与不足估计值的应用
【例1】
一辆汽车在直线形公路上变速行驶,汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+5(单位:km/h),试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程.(误差不超过1)
分析将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,通过求矩形面积和即可解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:将区间[0,2]10等分,如图.设矩形面积的过剩估计值为S,不足估计值为s,则
S=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72,
s=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2
=6.92.
故估计该车在这段时间内行驶的路程介
于6.92
km与7.72
km之间.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决此类问题,是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y=
x2所围成的曲边梯形的面积的估计值,并写出估计误差.
解:将区间[1,2]5等分,分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高,得此平面图形面积的过剩估计值S和不足估计值s.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用定积分的几何意义求定积分
【例2】
用定积分的几何意义求下列各式的值.
分析定积分
f(x)dx的几何意义是介于x=a,x=b之间,x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和,其中x轴上方部分的面积为正,x轴下方部分的面积为负.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)函数y=1+sin
x的图像如图所示,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的图像,以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积.
基本步骤如下:
(1)确定被积函数和积分区间.
(2)准确画出图形.
(3)求出各阴影部分的面积.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2用定积分表示如图所示的阴影部分的面积(不要求计算).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3用定积分的几何意义求定积分.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
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探究三
定积分性质的应用
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析本题考查定积分性质的应用问题,合理运用定积分的性质是解题的关键,另外分段函数求积分的方法是分段去求积分.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟被积函数为分段函数或绝对值函数时的处理方法:
分段函数和绝对值函数积分时要分段积分和去掉绝对值符号后再积分.处理这类积分一定要弄清分段临界点,同时对于定积分的性质,必须熟记在心.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视被积函数的图像在x轴上方或下方对定积分符号的影响而致误
易错分析用定积分求曲边图形面积时不判断曲边图形位于x轴上方,还是下方,直接求解易出现错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练用定积分表示由y=sin
x与直线x=-π,x=0,y=0所围成的平面图形的面积.
A.与f(x)和积分区间有关,与ξi的取法无关
B.与f(x)有关,与积分区间及ξi的取法无关
C.与f(x)及ξi的取法有关,与积分区间无关
D.与f(x),积分区间和ξi的取法都有关
答案:A
A.一定是正的
B.一定是负的
C.当0D.以上结论都不对
答案:A
答案:A(共30张PPT)
§2 微积分基本定理
课标阐释
思维脉络
1.通过实例能直观了解微积分基本定理.
2.能利用微积分基本定理求基本函数的定积分.
3.了解导数与定积分的关系.
4.能在具体的应用中体会微积分基本定理的作用和意义.
知识梳理
思考辨析
微积分基本定理
(1)条件:连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即
f(x)=F'(x).
知识梳理
思考辨析
名师点拨1.微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系,揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系,为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量.
2.用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F'(x)=f(x)的函数F(x),再计算F(b)-F(a).
3.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简函数,再求定积分.
知识梳理
思考辨析
答案:F(x)=ln
x+c(x>0,c为常数)
知识梳理
思考辨析
答案:7
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)运用微积分基本定理求定积分与求导数运算是互逆运算.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
求简单的定积分
【例1】
求下列定积分的值:
分析根据微积分基本定理,关键是求相应被积函数的一个原函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟由微积分基本定理求定积分的步骤及注意点
第一步:求被积函数f(x)的一个原函数F(x);
第二步:计算函数的增量F(b)-F(a).
注意:当被积函数为两个函数的乘积时,一般要转化为和的形式,便于求得函数F(x),再计算定积分.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
求分段函数的定积分
分析f(x)在区间[0,3]上的定积分可按照f(x)的分段标准,分成在区间[0,1],[1,2],[2,3]上三段的定积分之和.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟计算分段函数的定积分
1.分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成几段定积分的和的形式.
2.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,一般按照原函数分段的情况分即可.
3.当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数的定积分再计算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三
微积分基本定理的应用
分析先求出定积分,再利用函数奇偶性列出方程组求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟定积分的逆运算是一个新的关注点和高考创新点,一般是将积分上限或下限参数化,在求定积分的表达式后要求将其函数化,然后再与函数的性质、最值等结合在一起进行考查,解决此类问题的关键是分清各变量之间的关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因对定积分的被积函数的确定出错而致误
【典例】
求由抛物线y2=8x(y≥0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积.
易错分析本题中阴影部分的面积不能用一个定积分表示,应先分割成两部分再用定积分表示.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得1.利用定积分求平面图形面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观地确定出被积函数以及积分上限和积分下限.
2.当所求面积的图形边界不能用同一个函数来表示时,需借助定积分的性质分段求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
1.变速直线运动的物体的速度为v(t),初始t=t1时所在位置为S0,则当t2秒末时它所在位置为( )
答案:B
答案:B
3.若F'(x)=x2,则F(x)的解析式一定不正确的是( )
解析:∵(x3)'=3x2,∴F(x)=x3不正确.
答案:B(共23张PPT)
§3 定积分的简单应用
课标阐释
思维脉络
1.能用求定积分的方法求由已知曲线所围成的平面图形的面积.
2.能用求定积分的方法求简单的几何体的体积.
3.注意平面图形的面积及几何体的体积与定积分的内在联系与区别.
4.要学会使用数形结合和转化思想解决问题.
知识梳理
思考辨析
1.一般地,设由曲线
y=f(x)
,
y=g(x)
以及直线
x=a
,
x=b
所围成的平面图形(如图)的面积为S,
2.函数f(x),x∈[a,b]的图像围绕x轴旋转一周,所得到的几何体的体
知识梳理
思考辨析
知识梳理
思考辨析
答案:D
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的几何体的体积可以表示为( )
答案:B
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何曲线y=f(x)及x=a,x=b与x轴围成的平面图形的面积都可
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×
探究一
探究二
思维辨析
探究一
利用定积分求平面图形的面积
【例1】
计算由直线y=x-4,曲线y=
以及x轴所围成的图形的面积.
分析先作出草图,由图形的形状确定求面积的方法.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟求由两条曲线所围成图形的面积的步骤
(1)画出图形,确定图形的范围,即借助几何直观将所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.
(2)确定积分上限和积分下限,即通过解方程组求出交点的横坐标确定积分上限和积分下限.
(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置.
(4)写出平面图形的定积分表达式,运用微积分基本定理计算积分,从而求出平面图形的面积.
探究一
探究二
思维辨析
答案:A
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
探究二
简单的旋转几何体的体积
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟简单旋转体的体积求解步骤
(1)画出旋转前的平面图形和旋转体的图形.
(2)确定轴截面图形的范围,即求交点坐标,确定积分上限和积分下限.
(3)确定被积函数.
(4)确定旋转体体积的积分表达式.
(5)求出定积分,即旋转体的体积.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
因不能正确确定积分上、下限而致误
【典例】
如图,阴影部分是由曲线y=
,y2=x与直线x=2,y=0围成,则其面积为 .?
易错分析将阴影部分分为两部分,两部分所对应的被积函数是不同的.利用数形结合可较易判断.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得1.要根据图形的特点选择适当的被积函数,如y2=x,要把它
2.要正确确定积分区间,通常将两曲线方程联立方程组得交点坐标,以便于确定积分上、下限.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练如图所示,求阴影部分的面积.
答案:B
2.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形,绕x轴旋转一周后,所形成的旋转体的体积为( )
答案:A
3.直线y=x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 .?
4.若由曲线y=x2+k2与直线y=2kx及y轴所围成的平面图形的面积为S=9,则k= .?
答案:±3