(共33张PPT)
§1 数系的扩充与复数的引入
课标阐释
思维脉络
1.了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用.
2.理解复数的有关概念及意义.
3.掌握两复数相等的充要条件.
4.了解复平面的概念,理解并掌握复数的几何意义.
知识梳理
思考辨析
1.复数的概念及表示方法
(1)虚数单位:把平方等于-1的数用符号i表示,规定
i2=-1.把i叫作虚数单位.
(2)复数:把形如a+bi的数叫作复数(a,b是实数,i是虚数单位).复数通常表示为
z=a+bi
(a,b∈R).
(3)复数的实部与虚部:对于复数z=a+bi,a与b分别叫作复数z的实部与虚部,并且分别用Re
z与Im
z表示,即a=Re
z,b=Im
z.
知识梳理
思考辨析
2.复数的分类
(2)集合表示:
知识梳理
思考辨析
名师点拨1.虚数不能比较大小.
2.复数a+bi中,a,b均为实数.
知识梳理
思考辨析
答案:0或2
知识梳理
思考辨析
3.复数的有关概念
(1)复数的相等:两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等,记作a+bi=c+di.即a+bi=c+di当且仅当a=c,且b=d
.
(2)复平面:
当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.
知识梳理
思考辨析
(3)模:
复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是对应的.点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,|z|=
知识梳理
思考辨析
名师点拨关于复数相等的两点说明
(1)对于两个复数,若都是实数,则可以比较大小;若两个复数不全是实数,则不能比较大小,在复数集里一般没有大小之分,但却有等与不等之分.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等是把复数问题转化成实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,b∈R)既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识它.
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
实部为21,虚部为-3的复数所对应的点位于复平面的( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:由题意知该复数在复平面内对应点为(21,-3),故该点位于第四象限.
答案:D
知识梳理
思考辨析
【做一做3】
已知复数z=a+i(其中a∈R)的模为
,则a的值为 .?
答案:±2
知识梳理
思考辨析
【做一做4】
若(x+y)+yi=(x+1)i.求实数x,y的值.
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)因为原点在虚轴上,所以数0是虚数.( )
(2)两个复数一定不能比较大小.( )
(3)复数a+bi一定不是实数.( )
(4)虚轴上的点表示纯虚数.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析本题需运用复数的有关分类概念来解决,尤其要注意纯虚数的条件是a=0,且b≠0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决复数分类问题的步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数?b=0;②z为虚数?b≠0;③z为纯虚数?a=0且b≠0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
A.-1
B.0
C.1
D.-1或1
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a的值是 ,b的值是 .?
答案:3 3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
复数的相等及应用
【例2】
(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求实数x与y;
分析先找出两个复数的实部和虚部,再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决复数相等问题的利器——化复为实.
(1)把两个复数写成代数形式,分清其实部与虚部.
(2)确立两个独立参数列出方程,即实部和虚部分别相等.
(3)正确解方程组,得到结果.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)=3,则实数x的值是 .?
答案:-2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练4若ai+2=b-i(a,b∈R),i为虚数单位,则a2+b2= .?
答案:5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三
复数的几何意义
分析利用复数对应的点的特点转化为关于a的方程或不等式解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置确定复数的实部和虚部满足的条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练5若
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵当
0,m-1<0,
∴复数z对应的点在第四象限.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视虚数不能比较大小而致误
【典例】
求使x+2+(x+y)i>y-5+(x+2y-3)i成立的实数x,y的取值.
易错分析两个虚数是不能比较大小的,只有相等和不相等之分,反之,两个数可以比较大小,则这两个数必为实数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得两个实数可以比较大小,但是两个复数中至少有一个为虚数时,不能比较大小,如果两个复数能比较大小,不是指实部与实部比,虚部与虚部比,而是说明两个数都是实数,即两个复数的虚部为0,只比较实部.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:A
2.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a=-1或a=3}
B.{a|a>3或a<-1}
C.{a|a>-3或a<1}
D.{a|a>3或a=-1}
解析:由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,即(a+1)(a-3)>0,解得a>3或a<-1,故实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.故选B.
答案:B
答案:C
在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:A
(1)若z为纯虚数,求m的值;
(2)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;
(3)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.(共36张PPT)
§2 复数的四则运算
课标阐释
思维脉络
1.掌握复数的加减法法则,并能运用复数加减法法则进行熟练计算.
2.掌握复数的乘、除法法则,并能运用复数的乘、除法法则进行熟练计算.
3.理解复数的共轭复数的定义,并能说出一个复数与其共轭复数的内在联系.
4.能熟练利用z·
=|z|2来解决复数除法问题.
5.注意和实数范围内的四则运算进行类比及区分.
知识梳理
思考辨析
1.复数的加法、减法
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,
运算:z1+z2=
(a+c)+(b+d)i
,z1-z2=
(a-c)+(b-d)i
.
(2)法则:两个复数的和(或差)仍然是一个复数,它的实部是原来两个复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).
知识梳理
思考辨析
名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法的逆运算;
特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加减法法则一致.
2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数运算中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
3.运算结果:两个复数的和(或差)是唯一确定的复数.
4.适当推广:可以推广到多个复数进行加减运算.
5.虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号,合并同类项即可.
知识梳理
思考辨析
知识梳理
思考辨析
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,
则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)运算律:
对于任意的z,z1,z2,z3∈C,有
①交换律:z1·z2=z2·z1,
②结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),
③乘法对加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1z2+z1z3,
④复数的乘方:对任意自然数m,n,有
知识梳理
思考辨析
名师点拨虚数单位i的常见结论.
(1)虚数i的乘方及其规律:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in具有周期性,最小正周期为4.
(2)in+in+1+in+2+in+3=0.
(3)(1±i)2=±2i.
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
已知i为虚数单位,复数z=2i(2-i)的实部为a,虚部为b,则logab等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:z=2i(2-i)=4i-2i2=2+4i,则a=2,b=4,所以logab=log24=2.故选C.
答案:C
知识梳理
思考辨析
3.共轭复数与复数的除法
知识梳理
思考辨析
名师点拨共轭复数的运算性质
知识梳理
思考辨析
答案:B
知识梳理
思考辨析
答案:B
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2.( )
(2)两个互为共轭复数的复数的和与积都是实数.( )
(3)若两个复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1=z2=0.( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
复数的加减运算
分析先求z1+z2,再根据复数为虚数判断求出.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟复数加减运算的方法
1.复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.
2.把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
解析:∵z+i-3=3-i,
∴z=3-i+3-i=6-2i.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
复数的乘法、除法运算
【例2】
计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
(3)(-2+3i)÷(1+2i)+i5;
分析按照复数乘法与除法运算法则进行计算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(-2+11i+5)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i=53+23i.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟复数的乘法可以把i看作字母,按多项式的乘法法则进行,注意把i2化成-1,进行最后结果的化简;复数的除法先写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,并进行化简.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z=( )
A.3+5i
B.3-5i
C.-3+5i
D.-3-5i
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三
共轭复数
A.-1+3i
B.-1-3i
C.1+3i
D.1-3i
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析将方程左边化成a+bi的形式,利用复数相等的充要条件来求解.
解:设z=x+yi(x∈R,y∈R),由题意得
x2+y2-3y-3xi=1+3i,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练5已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=( )
A.5-4i
B.5+4i
C.3-4i
D.3+4i
解析:∵a-i与2+bi互为共轭复数,
∴a=2,b=1.
∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
不清楚判别式使用的条件而造成失误
【典例】
已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0
(x,y∈R)有实数解,求点(x,y)的轨迹方程.
易错分析根的判别式只有在实系数的一元二次方程中才能用,本题的正确处理方法是设出方程的根,利用复数相等的充要条件化为方程组,然后消参数求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:设实根为t,则t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,
即(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得对于复系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为复数),讨论解的情况时,需先设x=m+ni(m,n∈R),将上述方程利用复数相等转化为实系数方程再进行处理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求实数k的取值所构成的集合.
1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:由已知条件可得z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,
因此,复数z在复平面内对应的点在第二象限.
故选B.
答案:B
答案:B
答案:-1+I
4.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2= .?
解析:∵z1+z2=5-6i,∴(x+2i)+(3-yi)=5-6i,
即(x+3)+(2-y)i=5-6i,
∴z1=2+2i,z2=3-8i,
∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
答案:-1+10i(共38张PPT)
第4课时 复数
知识网络
要点梳理
思考辨析
知识网络
要点梳理
思考辨析
填一填:
① ;② ;③ ;④ ;⑤ .?
答案:①纯虚数 ②复数相等 ③加法 ④共轭复数 ⑤除法
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.复数的概念,包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、复数相等、共轭复数等,成为近年来高考对复数考查的重要对象,准确理解概念的内涵是解决此类问题的关键.解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a,b∈R)的形式,明确复数的实部与虚部,由实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.
知识网络
要点梳理
思考辨析
2.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,要注意i2=-1.在进行复数的运算时,要灵活利用i,ω的性质,或适当变形创造条件,从而转化为关于i,ω的计算问题,并注意以下结论的灵活应用:
知识网络
要点梳理
思考辨析
3.复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.
特别注意|z|,|z-a|的几何意义——距离.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)复数的模可以比较大小.( )
(2)z1·z2=0,则z1=0或z2=0.( )
(3)|z1·z2|=|z1|·|z2|.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
专题归纳
高考体验
专题一 复数的概念
【例1】
复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时,
(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?
解:(1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0,
由②得x=4,经验证满足①③式.
∴当x=4时,z∈R.
专题归纳
高考体验
(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0,
专题归纳
高考体验
反思感悟判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数的值使代数式有意义,本题中如果忽略了
就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍也是非常关键的.
专题归纳
高考体验
变式训练1若z1=a+2i,z2=3-4i,且
为纯虚数,则实数a的值为 .?
专题归纳
高考体验
专题二 复数的四则运算
答案:A
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题三 复数的几何意义
【例3】
已知复数z1=i(1-i)3,
(1)求|z1|;
(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
专题归纳
高考体验
(方法二)∵|z|=1可看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2),∴|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点距离最大.
专题归纳
高考体验
反思感悟在复数集中,|z|表示复数z在复平面内对应的点到坐标原点的距离;若|z|=r,则表示以原点为圆心,r为半径的圆.
专题归纳
高考体验
变式训练3设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( )
答案:D
专题归纳
高考体验
专题四 复数问题实数化思想
【例4】
设存在复数z同时满足下列两个条件:
(1)复数z在复平面内的对应点位于第二象限;
解:设z=x+yi(x,y∈R),由(1)得x<0,y>0.
由(2)得x2+y2+2i(x+yi)=8+ai,即x2+y2-2y+2xi=8+ai,由复数相等的充要条件,得
专题归纳
高考体验
反思感悟复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),从实部虚部来理解一个复数,把复数z满足的条件转化为实数x,y应该满足的条件,从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题.
专题归纳
高考体验
变式训练4已知复数z1=-2+i,z1z2=-5+5i(其中i为虚数单位),
(1)求复数z2;
(2)若复数z3=(3-z2)[(m2-2m-3)+(m-1)i]所对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.
解:(1)设z2=a+bi(a,b∈R),
则z1·z2=(-2+i)·(a+bi)=(-2a-b)+(a-2b)i,
(2)z3=(3-z2)[(m2-2m-3)+(m-1)i]
=i[(m2-2m-3)+(m-1)i]
=-(m-1)+(m2-2m-3)i,
专题归纳
高考体验
考点一:复数的概念
1.(2020浙江,2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析:由条件可知a-2=0,即a=2,故选C.
答案:C
专题归纳
高考体验
2.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案:B
专题归纳
高考体验
3.i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .?
解析:(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.
∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,
∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2.
答案:-2
专题归纳
高考体验
考点二:复数的模
4.设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )
答案:C
专题归纳
高考体验
5.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=( )
A.0
B.1
C.
D.2
解析:由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,
故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.
答案:D
专题归纳
高考体验
6.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .?
专题归纳
高考体验
考点三:共轭复数
7.设复数z满足z+i=3-i,则
=( )
A.-1+2i
B.1-2i
C.3+2i
D.3-2i
解析:由z+i=3-i,得z=3-2i,所以
=3+2i,故选C.
答案:C
专题归纳
高考体验
8.(2020全国Ⅲ,文2)若
(1+i)=1-i,则z=( )
A.1-i
B.1+i
C.-i
D.i
答案:D
专题归纳
高考体验
答案:A
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
考点四:复数的几何意义
11.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
答案:B
专题归纳
高考体验
12.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
答案:A
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考点五:复数的运算
答案:D
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14.(2021·全国甲·理3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=( )
答案:B
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A.1-2i
B.1+2i
C.1+i
D.1-I
答案:C
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16.若复数z满足2z+
=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则2z+
=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.
答案:B
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17.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)·(1-bi)=a,则
的值为 .?
答案:2
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18.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .?
解析:∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,
∴a+1=0,即a=-1.
答案:-1(共30张PPT)
习题课——复数的模及几何意义的应用
课标阐释
思维脉络
1.理解复数模的几何意义及其应用.
2.能够运用复数的运算法则进行有关的计算.
知识梳理
1.复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量
相对应,它们之间都是一一对应的关系.
2.复数的模及其几何意义
(1)已知复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z的模|z|=|a+bi|=
.
(2)复数的模的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复数
z对应的点Z(a,b)到原点的距离.
(3)复数的模,复数对应的点到原点的距离,复数所对应向量的模三者是一致的.
知识梳理
【做一做1】
满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A.一条直线
B.两条直线
C.圆
D.椭圆
解析:根据复数模的几何意义,|z-i|=|3+4i|=5,即表示复数z在复平面上对应点到点(0,1)的距离等于常数5的轨迹,即表示以点(0,1)为圆心,5为半径的圆.
答案:C
知识梳理
知识梳理
【做一做3】
在复平面内,若复数z满足|z+1|+|z-1|=4,则z在复平面内对应的点的轨迹是? ,其方程为 .?
解析:根据模的几何意义,复数z在复平面内对应的点到两定点
(-1,0),(1,0)的距离之和为定值4,故其轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆,其方程为
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
复数与轨迹问题
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:设z=x+yi(x,y∈R),∵|z-1|=|z+i|,
∴复数z对应的点(x,y)在以点(1,0)和(0,-1)为端点的线段的垂直平分线上.∴y=-x.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟复数的实质是有序实数对,也就是复平面内点的坐标,如果复数按照某种条件变化,那么复平面内的对应点就构成具有某种特征的点的集合(或轨迹),这里应特别注意复数的模的几何意义,复数的模就是复数对应的点到原点的距离.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1设复数z=x+yi(x∈R,y∈R),在下列条件下求动点Z(x,y)的轨迹.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)原式可转化为|z+1+i|=|z-1-i|,表示到两点(-1,-1),(1,1)距离相等的点的轨迹,即以(-1,-1),(1,1)为端点的线段的垂直平分线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用复数的几何意义求最值
【例2】
已知复数z,满足|z|=2,求|z+1+
i|的最大值和最小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
∴复数w对应的点在复平面内以(1,
)为圆心,2为半径的圆上(如图所示).
此时圆上的点A对应的复数wA的模为最大值,圆上的点B对应的复数wB的模为最小值.
探究一
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思维辨析
反思感悟解决有关复数模的最值问题的常用方法
1.先建立关于复数模的函数,再求函数的最值,此时常设z=x+yi(x,y∈R).
2.写出复数表示的几何意义,利用数形结合思想,结合平面几何知识求解最值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
解析:由z1+z2=2i,得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,
即z2对应的点的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆,z1对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为1的圆,如图所示,则|z1-z2|为两圆上的点的距离,其最大值为4.
答案:C
探究一
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探究三
思维辨析
变式训练3已知复数z满足|z+
+i|≤1,求
(1)|z|的最大值和最小值;
(2)|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值.
(2)∵|z-1|2+|z+1|2=2|z|2+2,
∴|z-1|2+|z+1|2的最大值为20,最小值为4.
探究一
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思维辨析
探究三
复数的综合应用
分析(1)按常规解法,设z=a+bi(a,b∈R),化简ω=z+
,找出实部、虚部列出等量关系式求解;
(2)证明u为纯虚数,可按定义证明实部为零,虚部不为零,或证明
(3)要求ω-u2的最小值,由(1),(2)知ω与u2均为实数,所以可先建立ω-u2的函数关系,再设法求出最小值.
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探究三
思维辨析
(1)解:∵z是虚数,
∴可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.
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探究三
思维辨析
探究一
探究二
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思维辨析
变式训练4若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值是 .?
解析:根据复数模的几何意义可知,|z-4i|=|z+2|表示的复数z是在以点(0,4)和点(-2,0)为端点的线段的垂直平分线上,因此x+2y-3=0,
探究一
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思维辨析
探究一
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探究三
思维辨析
错用复数的几何意义
【典例】
复数z满足|z-1-i|=1,求|z+1+i|的最小值.
易错分析|z-1-i|表示复数z对应的点与复数1+i对应点间的距离,而|z+1+i|表示复数z对应的点与-1-i对应的点间的距离.
解:∵|z-1-i|=1,
由复数的几何意义知z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心,1为半径的圆,而|z+1+i|表示圆上的点到点(-1,-1)的距离,
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探究二
探究三
思维辨析
纠错心得在解决有关复数模的问题时,应结合复数、复数模的几何意义和解析几何等知识,将代数问题转化为几何问题,从而达到优化解题过程的目的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知复数z满足|z|=2,则|z+3-4i|的最小值是 .?
解析:∵|z|=2表示以原点为圆心,2为半径的圆,而|z+3-4i|表示的是圆上的点与点(-3,4)的距离,
答案:3
1.(多选)下列说法正确的是( )
对于D,根据复数的几何意义可知,|z+3|-|z-3|=4表示在复平面内的点Z(x,y)到F1(-3,0)与F2(3,0)的距离之差为常数4,所以复数z在复平面上对应点的轨迹是以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的双曲线的右支,故D错误.故选AB.
答案:AB
2.若复数z满足|z-3|+|z+3|=10,则复数z对应的点集所表示的图形是( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
解析:借助椭圆的定义和复数的几何意义知,复数z对应的点的轨迹是以(3,0),(-3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆.
答案:C
5.已知复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x,a∈R,当x在(-∞,+∞)内变化时,试求|z|的最小值g(a).
解:|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.
令t=2x+2-x,则t≥2,且22x+2-2x=t2-2,
因此|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,
