(共26张PPT)
第5章 导数及其应用
5．1 导数的概念
5．1.1 平均变化率
必备知识·自主学习
导思
1.什么是平均变化率？
2.平均变化率的意义是什么？
数量化
视觉化
×
√
√
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5．1.2 瞬时变化率——导数
必备知识·自主学习
导思
1.什么是割线的斜率？什么是切线的斜率？两者有何联系？
2.导数和导函数如何定义的？
名称
割线
切线
定义
设点Q为曲线C上不同于P
的一点，则_______称为曲
线的割线
当点Q无限逼近点P
时，直线PQ最终就成
为在点P处___________
的直线l，这条直线l称
为曲线在点P处的切线
直线PQ
最逼近曲线
名称
割线
切线
斜率
设曲线C上一点P(x，f(x))，另
一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则
割线PQ的斜率为______________
当点Q沿曲线C向点P运动，
并无限靠近点P时，割线PQ
逼近点P的切线l，从而割线
的斜率逼近切线l的斜率，
即当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于点
P(x，f(x))处的切线的斜率
一个常数
某
点
处
的
导
数
定义
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当
______________时，比值
＝_____________无限趋
近于一个______，则称f(x)在x＝x0处_____，并称该常数
A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作_____．可用符号
“→”表示“___________”
几何
意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点_________
处的___________
Δx无限趋近于0
常数A
可导
f′(x0)
无限趋近于
(x0，f(x0))
切线的斜率
任一点
自变量x
f′(x)
函数值
×
×
√
×
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5．2 导数的运算
5．2.1 基本初等函数的导数
必备知识·自主学习
导思
1.如何用导数的定义求基本初等函数的导数？
2.基本初等函数的导数公式是什么？
f(x)
kx＋b
C(C为
常数)
x
x2
x3
f′(x)
__
__
__
___
____
3x2
k
0
1
2x
(xα)′＝______(α为常数)
(ln
x)′＝____
(ax)′＝_____(a＞0，且a≠1)
(sin
x)′＝cos
x
(logax)′＝
(a＞0，且a≠1)
(cos
x)′＝－sin
x
(ex)′＝__
αxα－1
axlna
ex
√
×
×
×
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X
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5．2.2 函数的和、差、积、商的导数
5．2.3 简单复合函数的导数
必备知识·自主学习
导思
1.导数的四则运算是如何进行的？有何种运算法则？
2.复合函数是如何定义的？怎样求复合函数的导数？
f′(x)±g′(x)
f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
y′u·u′x
y对u
u对x
×
×
×
×
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四步
内容
理解题意
条件：①函数是两个函数的积
②其中一个函数是复合函数
结论：求函数的导函数
思路探求
利用导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，逐步求导
书写表达
y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′
＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x
题后反思
解决本题关键是正确区分所给函数是怎样构成的，以及是否存在复合函数
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分层)选择中间变量,写出构成它的内、外函数
分别求导(分别求各层函数对应变量的导数
相乘
把上述求导的结果相乘
变量
量回代
把中间变量回代
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5．3 导数在研究函数中的应用
5．3.1 单调性
必备知识·自主学习
导思
1.函数的单调性与导函数值的正负有关系吗？如果有，有何种关系？
2.函数图象的变化趋势与导数值的大小有何关系？
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
函数f(x)在(a，b)上_________
f′(x)<0
函数f(x)在(a，b)上_________
单调递增
单调递减
√
×
√
√
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四步
内容
理解
题意
条件:①f(x)=x3-ax-1
②f(x)为单调增函数
结论:求实数a的取值范围
思路
探求
f(x)为单调递增函数→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围
四步
内容
书写
表达
由已知得f'(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,
f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0.
题后
反思
若函数f(x)在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
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5．3.2 极大值与极小值
必备知识·自主学习
导思
1.什么是函数的极小(大)值点？
2.什么是函数的极小(大)值？如何求函数的极值？
√
×
×
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四步
内容
理解
题意
条件:函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0)
结论:(1)y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)函数f(x)的单调区间与极值点.
思路
探求
(1)根据导数的几何意义及已知条件建立关于a,b的方程组,从而可求出a,b的值;(2)求单调区间时,要注意对参数a的讨论.
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函数y=f(x)在点x=x的附近有意义,且函数
特征
图象在点x=x处从左侧到右侧由“上升”
变为“下降”(函数由单调递增变为单
极大
调递减)
值实质
f(x)=0,且在点x=x1附近的左侧f(x)>0
右侧f(x)<0
极大值
极大值为f(x1)
函数y=f(x)在点x=x的附近有意义,且函
特征
数图象在点x=x2处从左侧到右侧由“
降”变为“上升”(函数由单调递减变为
极小
单调递增
值(实质
f(x2)=0,且在点x=x2附近的左侧f(x)<0,
右侧f(x)>0
极小值
极小值是(x2)
f(r)
O
xX
b
课结東(共42张PPT)
5．3.3 最大值与最小值
第1课时 最大值与最小值
必备知识·自主学习
导思
1.函数的极小(大)值与函数的最小(大)值有何关系？
2.如何求函数在某一闭区间上的最小(大)值？
极值
f(a)，f(b)
×
×
×
√
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XX
课结東(共43张PPT)
第2课时 生活中的优化问题举例
关键能力·合作学习
A
A
D
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M
S
4兀
4兀
4兀
4兀
2兀
2兀
2兀
2兀
π2πxO兀2xOπ2πxO|2兀x
D
E
优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
E
A
G
E
A
X
C
xe
frB
h
45
h2
C
e
B
b
M
D
X
课结東(共32张PPT)
阶段提升课
第五课 导数及其应用
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
x
0
(0，2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
3t2－6t
f(x)
2
－2
t3－3t2＋2
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函数的图象问题
实际生活中
函数的单调性
的最值问题
(1)复合函数记法:y=g(x)
导数在研究
函数的极值、最值
函数中的应用(导数的应用
(2)中间变量代换:==an,l=g(x)
的多
(3)逐层求导法则:y2=ytvl
△yf(x2)-f(x1)
导数的
f(x)=c(c为常数),f(x)=0
△x
变化率变化率(导数与导数、计算
2f(x)=x(∈Q,且≠0),∫(x)=0
平均速度
与导数入的
i计算
3.(x)=sinx,
f(r=cos
x
基本初等4fx)=cosx,f(x)=-sinx
lim△
y
lim
f(x2)-f(x1)
函数的导
f(x)a(a>0且a≠1),f(x)=alna
△x-0
△x-0
X2-X
数公式
6.f(x)
瞬时速度
7.f(x)=logx(x>0,a0,且a≠1)
limf(xo+△x)-f(xo)
f"(x0)△x→0
导数
f(-
xIn
a
△x
8.
f(r)=Inx,
f(x
=x(x>0)
f(x)=1imf(x+△x)-(x)
鹨
f(x)±g(x)]′f(x)±g(x)
x→0
△x
[f(x)·g(x)]′f(x)g(x)+f(x)g'(
切线的斜率
几何意义
f(x)1
f(g(x-f()g(x
(g(x)≠0
求切线方程
g(x)]2
课结東
