2021-2022学年沪科版 九年级数学上册 第二十一章 二次函数 复习课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
二次函数复习课
二次函数的定义：　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　形如y=ax2+bx+c
(a,b,c是常数，a≠0)
的函数叫做二次函数
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
二次函数的一般形式
函数y＝ax2＋bx＋c
其中a、b、c是常数
切记：a≠0
右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时，
y＝ax2＋c
当c＝0时，
y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时，
y＝ax2
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x
-2
+x
(6)y=x2-x(1+x)
驶向胜利的彼岸
当m取何值时，函数是y=
(m+2)x
分别
是一次函数？
反比例函数？
知识运用
m2-2
二次函数？
（一）形如y
=
ax
2　(a≠0)
的二次函数
二次函数
开
口
方
向
对
称
轴
顶
点
坐
标
y
=
ax
2
a
＞
0
a
＜
0
向上
向下
直线X=0
(0,0)
（二）形如y
=
ax
2+k　(a≠0)
的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
=
ax
2+k
a
0
向上
a
0
向下
＞
＜
直线X=0
（0，K）
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
=
a（x
-
h)
2
a
＞
0
a
＜
0
向上
向下
直线X=h
（h，0）
（三）、形如y
=
a
(x
-
h)
2
(
a≠0
)
的二次函数
巩固练习1：
（1）抛物线y
=
x
2的开口向
,对称轴是
,顶点坐标是
,图象过第
象限
；
（2)已知y
=
-
nx
2
(n＞0)
,
则图象
(
)
（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。
上
Y轴
(0,0)
一、二
不可能
（3）抛物线y
=
x
2+3的开口向
,对称轴是
,
顶点坐标是
,是由抛物线
y
=
x
2向
平移
个单位得到的；
上
直线X=0
（0，3）
上
3
（2）已知（如图）抛物线y
=
ax
2+k的图象，则a
0，k
0；若图象过A
(0,-2)
和B
(2,0)
，则a
=
,k
=
；函数关系式是y
=
。
〉
〈
0.5
-2
0.5x
2-2
X
Y
A
B
O
(四)
形如y
=
a
(x+h)
2
+k
(a
≠0)
的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
=
a（x+h)
2+k
向上
向下
a
＞
0
a
＜
0
直线X=-h
（-h，k）
练习巩固2:
（1）抛物线
y
=
2
(x
–３
)
2+1
的开口向
,
对称轴
,
顶点坐标是
（2）若抛物线y
=
a
(x+m)
2+n开口向下，顶点在第四象限，则a
0,
m
0,
n
0。
上
X=３
（３，1）
〈
〈
〈
2、已知二次函数y=-
x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。
1
2
0
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
3
4
5
6
-1
-2
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？
y=x2-6x+7
=x2-6x+9-2
=(x-3)2-2
平移规律：
h决定左右
左正右负
K决定上下
上正下负
基础练习
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平
移三个单位,得到的图象的函数解析式为
________________________
2.由函数y=
-3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,
再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式
为_____________________________
y=2(x+2)2-3
=2x2+8x+5
y=
-
3(x-1-4)2+2+3
=-3x2+30x-70
3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;
y=2(x+1)2-8
4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
逆向思考,由y=x2-6x+4
=(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：
由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号：
由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
与x轴无交点
b2-4ac<0
17.根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c
=0
（a≠0,
a,
b,
c为常数）的一个解的范围是（
）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2＋bx＋c
-0.03
-0.01
0.02
0.04
A．6.17＜
X
＜6.18
B．6.18＜
X
＜6.19
C．-0.01＜
X
＜0.02
D．6.19＜
X
＜6.20
B
3、已知二次函数
的图象如图所示，则函数
的图象只可能是（
）
y
x
0
2
-3
（16）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出下面的五条信息：①
a＜
0；②
c＝0；③
函数的最小值为-3；
④当x＜0时，y>0；
⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1
>
y2
你认为其中正确的个数有（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
C
练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a___0,
b____0,
c_____0,
abc____0
b___2a,
2a-b_____0,
2a+b_______0
b2-4ac_____0
a+b+c_____0,
a-b+c____0
4a-2b+c_____0
0
-1
1
-2
＜
＜
＜
＜
＞
＞
＞
＜
＞
＞
＞
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式（b2-4ac）
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac
>
0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有交点
没有实数根
b2-4ac
<
0
选择
抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.
A
直线x=1
B直线x=
-1
C
直线x=2
D直线x=
-2
(2)抛物线y=3x2-1的________________
A
开口向上,有最高点
B
开口向上,有最低点
C
开口向下,有最高点
D
开口向下,有最低点
(3)若y=ax2+bx+c(a
?
0)与轴交于点A(2,0),
B(4,0),
则对称轴是_______
A
直线x=2
B直线x=4
C
直线x=3
D直线x=
-3
(4)若y=ax2+bx+c(a
?
0)与轴交于点A(2,m),
B(4,m),
则对称轴是_______
A
直线x=3
B
直线x=4
C
直线x=
-3
D直线x=2
c
B
C
A
2、已知抛物线顶点坐标（h,
k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x
轴的两个交点(x1,0)、
(x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0)
求抛物线解析式的三种方法
练习　根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)，
(1，-2)
，
(2，3)
三点；
(2)、图象的顶点(2，3)，
且经过点(3，1)
；
(3)、图象经过(-2，0)，
(3，0)
，且最高点
的纵坐标是3
。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为（
1
，
2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a
(3-1)2+2
∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即：
y=-2x2+4x
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的
形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状
相同?
a=1或-1
又?顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
?
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1)
y=(x-1)2+5
(2)
y=(x-1)2-5
(3)
y=-(x-1)2+5
(4)
y=-(x-1)2-5
2.若a+b+c=0,a?0,把抛物线y=ax2+bx+c向下
平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新
抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2)
新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1
，
最高点在直线y=2x+4上。
(1)
求此抛物线的顶点坐标.
（2）求抛物线解析式.
（3）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1
又∵图象的最高点在直线y=2x+4上
∴当x=1时，y=6
∴顶点坐标为（
1
，
6）
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
解：
∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0）
OB=1，
∴点B（-1，0）
∵
∠ACB=90°ＯＣ⊥
ＡＢ
∴
∠
CAO=∠BCO
∠CAO+∠OCA=90,∠OCA+∠BCO=90
∴∠BOC=∠COA,
∴△ＢＯＣ∽△COＡ
∴ＯＢ／ＯＣ＝ＯＣ／ＯＡ
∴OC=2，点C（0，-2）
由题意可设y＝a（x＋１）（x－４）得：
a（０＋１）（０－４）＝－２
∴a＝０.５
　∴
y＝０.５（x＋１）（x－４）
A
B
x
y
O
C
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
y
O
x
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
2.5
0
x
y
h
A
B
D
　　　河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所
示的坐标系，其函数的表达式为y=
-
x2
，
当水位线在AB位
置时，水面宽
AB
=
30米，这时水面离桥顶的高度h是（
）
A、5米
B、6米；
C、8米；
D、9米
1
25
解：当x=15时，
Y=-1/25
×
152
=-9
问题1：
问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？
分析：利润=（每件商品所获利润）×
（销售件数）
设每个涨价x元，
那么
（3）销售量可以表示为
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥
0，且为整数）
(500-10x)
个
（2）一个商品所获利润可以表示为
（50+x-40）元
（4）共获利润可以表示为
(50+x-40)(500-10x)元
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
解：
y=(50+x-40)(500-10x)
=-10
x2
+400x+5000
(0
≤
x≤50
,且为整数
)
=-
10（x-20）2
+9000
问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？
问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
解：
(1)
∵
AB为x米、篱笆长为24米
∴
花圃另一边为（24－4x）米
(3)
∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝
时，S最大值＝
＝36（平方米）
∴
S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24
x
（0∴
0<24－4x
≤8
4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32
平方米
小试牛刀
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，
点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
几秒后ΔPBQ的面积最大？
最大面积是多少？
A
B
C
P
Q
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则：
AP=2x
cm
PB=（8-2x
）
cm
QB=x
cm
则
y=1/2
x（8-2x）
=-x2
+4x
=-（x2
-4x
+4
-4）
=
-（x
-
2）2
+
4
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是
4cm2
（0A
B
C
P
Q
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是多少？
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
D
C
A
B
G
H
F
E
10
6
再显身手
解：设花园的面积为y
则
y=60-x2
-（10-x）（6-x）
=-2x2
+
16x
（0=-2（x-4）2
+
32
所以当x=4时
花园的最大面积为32
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
谈谈你的学习体会
“二次函数应用”
的思路
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.解题求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.