2021-2022学年沪科版 九年级数学上册21.2二次函数y = a( x - h )2 k图象和性质课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
二次函数y
=
a(
x
-
h
)2
+
k图象和性质
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3、让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二
次
函
数
Y
=
ax2
的
性
质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
(0,k)
增减性
二
次
函
数
Y
=
ax2
+k
的
性
质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
(0,k)
增减性
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
画出函数
的图像
x
y=-1/2(x+1)2
...
...
...
...
...
...
0
-3
-2
-1
2
3
1
y=-1/2(x-1)2
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
x=
-1
x=1
想一想：三条抛物线
有什么关系？
答：形状相同，位置不同。
三个图象之间通过沿x轴平
移可重合。
1．把二次函数y
=6(x+3)2的图像，沿y
轴向下平移2个单位，向左平移３个单位，得到____________的图像.
2．把二次函数_
__________的图像，沿x
轴向右平移2个单位，沿y
轴向下平移3个单位，得到y
=6(x-3)2+5的图像.
3．把二次函数y
=6(x-3)2+5的图像，沿x
轴_______平移______个单位，再沿y
轴向______平移_______个单位，图像过原点.
y
=6(x+6)2-2
y
=6(x-1)2+8
向左
3
向下
5
例3.画出函数
的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
…
解:
列表
描点
连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
抛物线
的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1,
－1).
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
二次函数图像平移
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
(2)抛物线
与
有什么关系?
归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x
－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
归纳
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,
开口向上;当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(1,－2)
向下
向下
(3,7)
(2,－6)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,5)
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线y
=
4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
向右平移3个单位，再向上平移7个单位。
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
-
h
)2
y
=
a(
x
-
h
)2
+
k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
结论:
抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同，位置不同。
各种形式的二次函数的关系
如何平移：
例1.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
C(3,0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y=
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
3
4
－
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式
(1,-1)
(0,0)
(2,0)
当x
时，y﹤0。
当x
时，y=0;
（2）根据图象回答：
当x
时，y>0;
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)，
∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，
∵其图象过点(0,0)，
∴0=
a(0-1)2-1，
∴a=1
∴y=
(x-1)2-1
x<0或x>2
0<
x<2
x=0或2
1．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x
2的图像，先沿x轴向
左平移３个单位，再沿y轴向下平移2个单位，
得到__________的图像；
1．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x
2的图像，先沿x轴向
左平移３个单位，再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
y=3(x+3)2-2
1．抛物线的平移：
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平
移3个单位，得到y=-3(x+3)
2－2的图像.
1．抛物线的平移：
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平
移3个单位，得到y=-3(x+3)
2－2的图像.
y=-3(x+6)2
2.抛物线
的顶点坐标是________；
向上平移3个单位后，
顶点的坐标是________；
3.抛物线
的对称轴是_.
4.抛物线
2.抛物线
的顶点坐标是________；
向上平移3个单位后，
顶点的坐标是________；
3.抛物线
的对称轴是_____.
4.抛物线
(-1,0)
(-1,3)
x=-1
5．把二次函数y=4(x－1)
2的图像,
沿x轴向
_
平移_个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.
6．把抛物线y=－3(x+2)
2，先沿x轴向右
平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
得到_____________的图像．
5．把二次函数y=4(x－1)
2的图像,
沿x轴向
_
平移__个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.
6．把抛物线y=－3(x+2)
2，先沿x轴向右
平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
得到_____________的图像．
右
2
y=-3x2-1
7．把二次函数y=－2x
2的图像，先沿x轴
向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2
个单位，得到图像的顶点坐标是______．
7．把二次函数y=－2x
2的图像，先沿x轴
向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2
个单位，得到图像的顶点坐标是______．
(-3,-2)
8.如图所示的抛物线：
当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时，
y_____0；
当x在
_____
范围内时，y>0；
当x=_____时，y有最大值_____.
3
8.如图所示的抛物线：
当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时，
y_____0；
当x在
_____
范围内时，y>0；
当x=_____时，y有最大值_____.
3
0或-2
<
－2
<
x<0
-1
3
9、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1)
y=(x-3)2+2
；
(2)y=(x+4)2－5
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
10.与抛物线y=－4x
2形状相同，顶点为
（2，-3）的抛物线解析式为
．
y=
-
4(x-2)2-3或y=
4(x-2)2-3
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,
开口向上;当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
平移的规律总结：
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
当h>0时,向右平移h个单位
当h<0时,向左平移
个单位
当k>0时,向上平移k个单位
当k<0时,向下平移
个单位