北师大版（新教材）高一必修2重点题型N14
立体几何
考试范围：简单几何体的再认识；考试时间：100分钟；命题人：
题型1、柱、锥、台的侧面积与表面积问题
1．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为 36π ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】通过圆柱的体积与求出圆柱的底面半径，转化求解圆柱的侧面积即可．
【解答】解：设圆柱的底面半径为r．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r．
因为该圆柱的体积为54π，πr2h＝2πr3＝54π，解得r＝3，
所以，该圆柱的侧面积为2πr×2r＝36π．
故答案为：36π．
【点评】本题考查几何体的体积以及表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
2．已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是 2π cm2．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】根据圆锥的母线长＝，（其中h为圆锥的高），圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解
【解答】解：圆锥的母线长l＝＝，
故圆锥的侧面积S＝πRl＝＝2π．
故答案为：；
【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
3．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于 15π ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．
【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，
∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，
∴，
即h＝4，
∴圆锥的母线长l＝，
∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，
故答案为：15π．
【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算，要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式．
4．已知三棱柱ABO﹣DCE的顶点A、B、C、D、E均在以顶点O为球心、半径为2的球面上，其中AB＝2，则三棱柱的侧面积为（ ）
A．2+2
B．2+4
C．4+4
D．4+6
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】连结OD，OC，则△OBC与△OEC都是边长为2的等边三角形，从而三棱柱的侧面积S＝S正方形ABCD+2S四边形BCEO＝S正方形ABCD+4S△OBC，由此能求出结果．
【解答】解：如图，三棱柱ABO﹣DCE的顶点A、B、C、D、E均在以顶点O为球心、半径为2的球面上，AB＝2
连结OD，OC，则△OBC与△OEC都是边长为2的等边三角形，
∴三棱柱的侧面积：
S＝S正方形ABCD+2S四边形BCEO＝S正方形ABCD+4S△OBC
＝2×2+4×（）＝4+4．故选：C．
【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5．若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为8cm3，则它的侧面积为 4cm2 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】根据体积公式求出高h＝3，利用其性质求出侧面的高h′＝＝，再利用三角形的面积公式即可．
【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为2cm，
∴底面面积为8cm2，
∵体积为8cm3，
∴高h＝3，
∴侧面的高h′＝＝，
∴它的侧面积为4×2×＝4
故答案为：cm2
【点评】本题考查了空间几何体的体积，面积问题，属于计算题，难度不大．
题型2、柱、锥、台的表面积问题
1．已知圆锥的母线l＝10，母线与旋转轴的夹角α＝30°，则圆锥的表面积为 75π ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
在Rt△POB中，r＝sin30°×10＝5，
∴该圆椎的侧面积S＝π×5×10＝50π．
∴圆锥的表面积为50π+π?52＝75π
故答案为：75π．
【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．
2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BB1C1C是菱形，且∠ABB1＝∠ABC．
（1）求证：AC1⊥B1C；
（2）若∠BCC1＝60°，AC＝AB，∠ACB＝45°，三棱锥A﹣BB1C的体积为18，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直．
【分析】（1）易知△ABC≌△ABB1，故AC＝AB1，连接BC1与B1C相交于点O，由菱形的性质可知，B1C⊥BC1，且O为B1C的中点，于是有B1C⊥AO，再由线面垂直的判定定理即可得证．
（2）在△ABC中，由余弦定理可推出BC＝AB，从而证得AB⊥BC，AB⊥BB1；由线面垂直的判定定理可推出AB⊥面BCC1B1，即AB为三棱锥A﹣BB1C的高；设AB＝a，由三棱锥A﹣BB1C的体积为18，可求出a的值，进而得△ACC1底边CC1上的高为h；而三棱柱的表面积S＝2S△ABC+++2，代入数据即可得解．
【解答】解：（1）由题可知，△ABC≌△ABB1，∴AC＝AB1．
连接BC1与B1C相交于点O，
∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，且O为B1C的中点，
∴B1C⊥AO，
∵BC1∩AO＝O，BC1、AO?平面ABC1，∴B1C⊥平面ABC1，
∵AC1?平面ABC1，∴AC1⊥B1C．
（2）在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ACB＝＝＝，
∴BC＝AB，∴BC2+AB2＝AC2，即AB⊥BC．
∵∠ABB1＝∠ABC，∴AB⊥BB1，
又BC∩BB1＝B，BC、BB1?平面BCC1B1，∴AB⊥面BCC1B1，即AB为三棱锥A﹣BB1C的高．
设AB＝a，则BC＝BB1＝a，∵三棱锥A﹣BB1C的体积为18，
∴?AB＝×?a?a?sin120°?a＝18，解得a＝6，
∴AC＝＝＝．
设等腰三角形ACC1底边CC1上的高为h，则h＝＝＝．
故三棱柱的表面积S＝2S△ABC+++2
＝2××6×6+6×6+2××6×6?sin60°+2××6×＝72++18．
【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、棱柱表面积和棱锥体积的求法，熟练运用空间中线面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3．已知一个正三棱柱，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积．
【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．
【解答】解：此棱柱为正棱柱，体积的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，
底面正三角形内切圆的半径为1，
故底面三角形高为3边长为2，
所以正三棱柱的表面积S＝2××2×3+3×2×2＝18．
故答案为：．
【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．
4．正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求：
（1）棱锥的侧棱长和斜高；
（2）棱锥的表面积．
【考点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1，作OM⊥BC，则M为BC
中点，连结OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，由此能求出棱锥的侧棱长和斜高．
（2）棱锥的表面积S＝S正方形ABCD+4S△SBC，由此能求出结果．
【解答】解：（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1，
作OM⊥BC，则M为BC
中点，
连结OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，
BC＝4，BM＝2，则OM＝2，OB＝2，
在Rt△SOD中，SB＝＝，
在Rt△SOM中，SM＝，
∴棱锥的侧棱长为3，斜高为．
（2）棱锥的表面积：
S＝S正方形ABCD+4S△SBC
＝
＝16+8．
【点评】本题考查棱锥的侧棱长和斜高及棱锥的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5．将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，设圆锥、球体的表面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝ 8 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】直接利用圆锥体和球体的体积和表面积公式的应用求出结果．
【解答】解：由于圆锥体的底面半径为4，高为2，
则：，
由于该锥体转换为球，设球的半径为r，
则，解得r＝2．
则：锥体的表面积为＝，
球的表面积为．
则：，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：圆锥的体积和表面积的应用，球的体积和表面积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
题型3、柱、锥、台的体积问题
1．若一个圆锥的母线与底面所成的角为60°，侧面积为14π，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设锥的母线长l，底面半径为r，r＝lcos60°＝，由圆锥的侧面积为圆锥底面半径与圆锥母线长的乘积的π倍，求出l＝4，半径为r＝2，由此能求出圆锥体积．
【解答】解：设锥的母线长l，底面半径为r，
依题意，半径r＝lcos60°＝，
∵圆锥的侧面积为：圆锥底面半径与圆锥母线长的乘积的π倍，
∴14π＝lrπ＝?π，解得l＝2，半径为r＝，
∴圆锥的高为：2sin60°＝，
∴圆锥体积V＝×π×7×＝π．
故选：A．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A．60π
B．61π
C．62π
D．63π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据题意求出圆台的高，计算圆台的体积即可．
【解答】解：画出圆台的示意图，如图所示：
由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，
所以O为球心，
因为BM＝4，OB＝5，
所以OM＝＝3，
即圆台的高为3，
所以圆台的体积为：
＝＝61π．故选：B．
【点评】本题考查了圆台的外接球与体积的计算问题，也考查了空间想象能力与推理计算能力，是基础题．
3．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】作出图形，根据题意可得，由此可得球与圆柱的体积之比．
【解答】解：如图，由题意得，，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查球与圆柱的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
4．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，P，M，N分别为DD1，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意画出图形，分别求出PM、PN、MN、OP、OM、ON的长度，再求出O到平面PMN的距离，代入棱锥体积公式求解．
【解答】解：如图，
在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
求得PM＝PN＝，OM＝ON＝，
OP＝，MN＝，
取MN的中点Q，连接PQ，OQ，可得PQ⊥MN，OQ⊥MN，
PQ＝，OQ＝，
在△OQP中，由余弦定理可得，cos∠OQP＝＝，
∴sin＝，
则O到平面PMN的距离h＝OQ?sin∠OQP＝＝．
∴．
故选：B．
【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由正方体的体积减去四个全等三棱锥的体积得答案．
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，
又＝，
∴三棱锥C1﹣A1BD的体积为1﹣，
故选：A．
【点评】本题考查多面体体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
题型4、外接球问题
1．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2，CD＝，AC＝AD＝，则球O的表面积为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】分析可知三棱锥A﹣BCD的外接球即为长方体AGFH﹣BCED的外接球，设球O的半径为R，求得R，进而得出球O的表面积．
【解答】解：∵AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴AB⊥BC，则，
在△BCD中，CD2＝2＝BC2+BD2，则BC⊥BD，如图所示，
三棱锥A﹣BCD的外接球即为长方体AGFH﹣BCED的外接球，
设球O的半径为R，则，解得，
∴球O的表面积为．故选：D．
【点评】本题主要考查球的表面积计算，明确三棱锥A﹣BCD的外接球即为长方体AGFH﹣BCED的外接球，进而求得外接球的半径是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
2．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PC＝BC＝2，AB＝4，∠APC＝120°，平面PAC⊥平面ABC，则球O的体积为（ ）
A．4π
B．
C．
D．8π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】利用勾股定理证明BC⊥AC，取AC的中点D，利用面面垂直的性质定理证明PD⊥平面ABC，设△PAC的外接圆的圆心为O1，设O2为△ABC的外接圆的圆心，连结OO1，OO2，由球的性质可得，四边形OO1DO2为正方形，求出球的半径，由球的体积公式求解即可．
【解答】解：因为PA＝PC＝2，∠APC＝120°，可知AC＝，
又AB＝4，BC＝2，所以AB2＝BC2+AC2，故BC⊥AC，
取AC的中点D，则PD＝1，PD⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，所以PD⊥平面ABC，
设△PAC的外接圆的圆心为O1，
则O1在PD的延长线上，因为PA＝PC＝2，∠APC＝120°，
所以PO1＝AO1＝AP＝2，所以DO1＝1，
设O2为△ABC的外接圆的圆心，
则O2为AB的中点，DO2＝1，
连结OO1，OO2，由球的性质可知，OO2⊥平面ABC，
所以DO1∥OO2，OO2⊥DO2，
同理可得，OO1∥DO2，OO1⊥DO1，
所以四边形OO1DO2为正方形，
所以球O的半径为，
所以，
则球O的体积为．
故选：C．
【点评】本题考查了球的切接问题以及球的体积，考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题．
3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，∴6a2＝18，则a2＝3，即a＝，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，
即a＝2R，即R＝，
则球的体积V＝π?（）3＝；
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．
4．三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，且AB＝BC＝CA＝PC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．
B．4π
C．
D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】作△ABC的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，
则PM为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，求出直径即可．
【解答】解：作△ABC的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，
则PM为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，如图所示；
∵AB＝BC＝CA＝2，∴CM＝＝；
又PC⊥平面ABC，∴PC⊥CM，
∴PM2＝PC2+CM2＝22+＝，
∴三棱锥P﹣ABC的外接球面积为
S外接球＝4πR2＝π?＝．
故选：D．
【点评】本题考查了三棱锥外接球的表面积求法问题，是中档题．
5．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为矩形，∠DPA＝，AD＝2，AB＝2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．16π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据其中一个侧面为直角三角形确定外接圆圆心的位置，再根据面面垂直确定球心的问题，即可求解．
【解答】解：因为△APD是直角三角形，∠DPA＝90°，
所以△APD外接圆的圆心在AD中点处，设为O'，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以矩形ABCD经过球心O，
所以对角线AC即为球的直径，设球的半径为R，
则AC＝2R＝，所以R＝2，
所以球的体积为．
故选：B．
【点评】本题考查球的体积，考查棱锥外接球时球心的找法，属于中档题．
6．已知三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，AB＝AD＝2，BC＝AC，则三棱锥D﹣ABC体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意可得三棱锥D﹣ABC体积最大时，则使底面三角形的面积最大，由底面三角形的边的关系及余弦定理求出C角的余弦值，进而求出它的正弦值的平方，求出三角形ABC面积的平方，由二次函数的单调性求出面积最大值时AC的值，进而可得三角形ABC为等腰三角形，求出其外接圆的半径，根据外接球的半径，底面外接圆的半径和三棱锥的高的一半，由勾股定理求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．
【解答】解：因为DA⊥平面ABC，AB＝AD＝2，所以三棱锥的体积最大时三角形ABC的面积最大即可，而S△ABC＝BC?AC?sin∠ACB，
因为BC＝AC，则S△ABC＝AC2?sin∠ACB，在三角形ABC中cos∠ACB＝＝，
所以sin2∠ACB＝1﹣＝，
所以S△ABC2＝AC4?sin2∠ACB＝?，当AC2＝4，即AC＝2时，S△ABC2最大，即S最大，
这时三角形ABC为等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝2，由余弦定理可得cos∠BAC＝＝＝﹣，
所以∠BAC＝，
设三角形ABC的外接圆的半径为r，则＝2r，所以2r＝，所以r＝2，
因为DA⊥平面ABC，所以三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心和中截面的交点，
设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝4+1＝5，所以R＝，
所以外接球的体积为：V＝＝π＝π，
故选：D．
【点评】本题考查三棱锥的体积最大时的条件及三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，和球的体积公式，属于中档题．
7．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．16π
B．20π
C．32π
D．64π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．
【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，接圆的半径r，
正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，
设为O，连接OA
得，r＝，∴r＝2，
即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，
由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得R＝4，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．
故选：D．
【点评】考查正三棱锥的外接球的表面积，属于中档题．
8．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，AP＝，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（ ）
A．
B．9
C．18π
D．40π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】首先确定三角形ABC为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．
【解答】解：如图所示：
三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AP＝，
M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，
则：当AM⊥BC时，线段PM达到最小值，
由于：PA⊥平面ABC，
所以：PA2+AM2＝PM2，
解得：AM＝1，
所以：BM＝，
则：∠BAM＝60°，
由于：，∠BAC＝120°，
所以：∠MAC＝60°
则：△ABC为等腰三角形．
所以：BC＝2，
在△ABC中，设外接圆的直径为2r＝，
则：r＝2，
所以：外接球的半径R＝，
则：S＝，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．
9．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意画出图形，结合已知求出三棱锥外接球的半径，则外接球的表面积可求．
【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，；
如图，
由已知可得，△ABC与△ACD均为等边三角形，
取AC中点G，连接BG，DG，则BG⊥AC，
∴DG＝?cos∠GDA＝?∠GDA＝?∠ADC＝；
∵二面角B﹣AC﹣D为直二面角，则BG⊥平面ACD，
分别取△BCD与△ABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，
则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，
由△BCA与△ACD均为等边三角形且边长为2，
可得OE＝OF＝DG＝．
∴DE＝DG﹣GE＝．
∴OD＝＝＝．
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π×R2＝4π×（）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，AP＝3，，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．45π
B．57π
C．63π
D．84π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，
如图所示；则sinθ＝＝，且sinθ的最大值是，
∴（PQ）min＝2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，
∴AQ⊥BC，∵AB＝2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC＝6；
取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，
∴＝2r，解得r＝2；
∴O′A＝2，
取H为PA的中点，∴OH＝O′A＝2，PH＝，
由勾股定理得OP＝R＝＝，
∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是
S＝4πR2＝4×＝57π．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题．
题型5、内切球问题
1．三棱锥P﹣ABC中，顶点P在底面ABC的投影为△ABC的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面面积为24，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为（ ）
A．
B．12π
C．
D．16π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由已知可求解底面的面积，然后利用分割等体积可求内切球的半径，根据球的表面积公式即可求解．
【解答】解：设S△PBC＝12，S△PAC＝16，S△PAB＝20，△ABC的内心H，过H作HD⊥BC，HE⊥AB，HF⊥AC，
由题意可得HD＝HE＝HF，
所以PH⊥平面ABC，
所以PD＝PE＝PF，
因为SPBC：SPAC：S△PAB＝12：16：20＝3：4：5，
所以BC：AC：AB＝3：4：5，
所以∠ACB＝90°，
设BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x，
则＝24，
解可得x＝2，
设△ABC内切圆半径r，则＝24，
所以r＝＝2，
因为S△PBC＝＝12，
所以PD＝＝4，
Rt△PHD中，PH＝＝2，
所以三棱锥P﹣ABC的体积V＝＝16，
三棱锥P﹣ABC内切球半径设为R，则×R＝16，
则R＝，S＝4πR2＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了空间几何体内切球的应用，分割法的应用是求解问题的关键．
2．已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为16π，则其底面边长为（ ）
A．18
B．12
C．6
D．4
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设正三棱锥的底面边长为2a，计算出该正三棱锥的体积V以及表面积S，并计算出内球的半径r，利用等体积法得到关于a的方程，求出a即可得出答案．
【解答】解：如下图所示，
设正三棱锥P﹣ABC内切球的半径为r，则4πr2＝16π，得r＝2．
设该正三棱锥P﹣ABC的底面边长为2a，则其底面积为．
该三棱锥的体积为．
过点P作PQ⊥平面ABC，垂足点为点Q，则点Q为△ABC的中心，
∵PQ⊥平面ABC，QM?平面ABC，∴PQ⊥QM，
易知，，则，且∠MAQ＝30°，所以，，
由勾股定理得，
∵PA＝PB，M为AB的中点，∴PM⊥AB，则△PAB的面积为，
所以，正三棱锥P﹣ABC的表面积为，
由等体积法可得，即，解得a＝6．
因此，该正三棱锥的底面边长为12．
故选：B．
【点评】本题考查内切球，解决本题的关键在于计算出锥体的体积与表面积，并利用等体积法构建等式求解，考查计算能力，属于中等题．
3．一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为1，要能够完全装下一个半径为r的球体，则球径r的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】作出图形，计算出四面体的体积V和表面积S，然后利用公式可得出r的最大值．
【解答】解：如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝PA＝1，
易知四面体PABC的四个面均为直角三角形，且，，
△ABC的面积为，
四面体PABC的体积为，
四面体PABC的表面积为S＝S△ABC+S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝＝．
因此，r的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查内切球球体半径的计算，解决本题的关键在于计算出四面体的体积和表面积，考查计算能力，属于中等题．
4．在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，当三棱锥A﹣BCD的表面积最大时，其内切球的半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】画出图形，求出表面积，判断表面积取得最大值时的位置，然后求解体积，设出内切球的半径，转化求解即可．
【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，
三棱锥A﹣BCD的表面积为S，
故当AB⊥BD时，表面积最大，为，
过A作BC的垂线，垂足为E，连接ED，
三棱锥A﹣BCD的体积为V，
设内切球的半径为r，
因为，所以．
故选：A．
【点评】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于表面积最大时的情况以及求解内切球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
5．正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，求正四棱锥O﹣ABCD的内切球的表面积 ．
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，可得斜高，利用等体积法求出正四棱锥O﹣ABCD的内切球的半径，根据球的表面积公式计算即得结论．
【解答】解：正四棱锥O﹣ABCD的体积V＝Sh＝×h＝，
∴h＝，
∴斜高为＝，
设正四棱锥O﹣ABCD的内切球的半径为r，则
×（+4×）r＝，
∴r＝
∴正四棱锥O﹣ABCD的内切球的表面积为4πr2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属中档题．北师大版（新教材）高一必修2重点题型N14
立体几何
考试范围：简单几何体的再认识；考试时间：100分钟；命题人：
题型1、柱、锥、台的侧面积与表面积问题
1．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为 ．
2．已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
3．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于 ．
4．已知三棱柱ABO﹣DCE的顶点A、B、C、D、E均在以顶点O为球心、半径为2的球面上，其中AB＝2，则三棱柱的侧面积为（ ）
A．2+2
B．2+4
C．4+4
D．4+6
5．若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为8cm3，则它的侧面积为
．
题型2、柱、锥、台的表面积问题
1．已知圆锥的母线l＝10，母线与旋转轴的夹角α＝30°，则圆锥的表面积为 ．
2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BB1C1C是菱形，且∠ABB1＝∠ABC．
（1）求证：AC1⊥B1C；
（2）若∠BCC1＝60°，AC＝AB，∠ACB＝45°，三棱锥A﹣BB1C的体积为18，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．
3．已知一个正三棱柱，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是 ．
4．正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求：
（1）棱锥的侧棱长和斜高；
（2）棱锥的表面积．
5．将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，设圆锥、球体的表面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝ ．
题型3、柱、锥、台的体积问题
1．若一个圆锥的母线与底面所成的角为60°，侧面积为14π，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A．60π
B．61π
C．62π
D．63π
3．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，P，M，N分别为DD1，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4、外接球问题
1．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2，CD＝，AC＝AD＝，则球O的表面积为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
2．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PC＝BC＝2，AB＝4，∠APC＝120°，平面PAC⊥平面ABC，则球O的体积为（ ）
A．4π
B．
C．
D．8π
3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
4．三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，且AB＝BC＝CA＝PC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．
B．4π
C．
D．
5．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为矩形，∠DPA＝，AD＝2，AB＝2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．16π
6．已知三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，AB＝AD＝2，BC＝AC，则三棱锥D﹣ABC体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．16π
B．20π
C．32π
D．64π
8．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，AP＝，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（ ）
A．
B．9
C．18π
D．40π
9．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，AP＝3，，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．45π
B．57π
C．63π
D．84π
题型5、内切球问题
1．三棱锥P﹣ABC中，顶点P在底面ABC的投影为△ABC的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面面积为24，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为（ ）
A．
B．12π
C．
D．16π
2．已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为16π，则其底面边长为（ ）
A．18
B．12
C．6
D．4
3．一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为1，要能够完全装下一个半径为r的球体，则球径r的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，当三棱锥A﹣BCD的表面积最大时，其内切球的半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，求正四棱锥O﹣ABCD的内切球的表面积
．
