6.1.4数乘向量练习题-2021-2022学年高中数学人教版B版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

数乘向量　向量的线性运算
一、选择题
1．－等于(　　)
A．a－b＋2c　　　　　 B．5a－b＋2c
C．a＋b＋2c D．5a＋b
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．B，C，D B．A，B，C
C．A，B，D D．A，C，D
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
4．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
5．设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则(　　)
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
二、填空题
6．化简：2(a－3b)＋3(2b－a)＝________.
7．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
三、解答题
9．计算：
(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；
(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
(3).
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
素养达标
11．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　)
A．＝2　　　 B．＝
C．＝3 D．2＝
12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)
A．2　 B．3　　　　
C．4　　　　 D．5
13．(一题两空)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________.
14．若＝3e1，＝3e2，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量用e1，e2可表示为＝________.
15．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
一、选择题
1．－等于(　　)
A．a－b＋2c　　　　　 B．5a－b＋2c
C．a＋b＋2c D．5a＋b
A　[－＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A．]
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．B，C，D B．A，B，C
C．A，B，D D．A，C，D
C　[＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．]
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
A　[由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝AB，所以＝＋＝＋＝a＋b.]
4．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
AB　[由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．]
5．设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则(　　)
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
B　[因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确．]
二、填空题
6．化简：2(a－3b)＋3(2b－a)＝________.
－a　[2(a－3b)＋3(2b－a)＝2a－6b＋6b－3a＝－a.]
7．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
－4　[∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4(∵方向相反，∴λ＜0?k＜0)．]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
　[由＝－＝－＝(－)＋＝－＋，得λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.]
三、解答题
9．计算：
(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；
(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
(3).
[解]　(1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
(3)原式＝
＝
＝a－b.
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
[解]　(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
素养达标
11．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　)
A．＝2　　　 B．＝
C．＝3 D．2＝
B　[因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，
所以＝－，所以＝.]
12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)
A．2　 B．3　　　　
C．4　　　　 D．5
B　[因为＋＋＝0，
所以＋＋＋＋＝0，
从而有＋＝－3＝3＝m，
故有m＝3.]
13．(一题两空)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________.
　　[取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD．
∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，
∴λ＝，μ＝.]
14．若＝3e1，＝3e2，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量用e1，e2可表示为＝________.
2e1＋e2　[如图，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝×3e2＋×3e1＝2e1＋e2.]
15．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
[解]　(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
又与有公共点A，
∴A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，
若点B在线段AM上，
则与同向且||＞||(如图所示)．
∴λ＞1．