6.1.1向量的概念练习题-2021-2022学年高中数学人教版B版（2019）必修第二册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 6.1.1向量的概念练习题-2021-2022学年高中数学人教版B版（2019）必修第二册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 282.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-12 19:55:01 | ||
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文档简介
向量的概念
一、选择题
1．(多选题)下列说法错误的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
2．下列结论正确的是( )
A．向量必须用有向线段来表示
B．表示一个向量的有向线段是唯一的
C．有向线段和是同一向量
D．有向线段和的大小相等
3．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.下列选项正确的是( )
A．①②④ B．①③④
C．①②③ D．②③④
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
二、填空题
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
7．给出以下四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
8．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
三、解答题
9．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
10．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
素养达标
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
12．下列结论中，正确的是( )
A．2 020 cm长的线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度选定，则l上有且只有两点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D．一个人从点A向东走500米到达B点，则向量不可能表示这个人从点A到点B的位移
13．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.
14.如图所示，E1，E2，F1，F2，G1，G2，H1，H2分别是矩形ABCD所在边上的三等分点，若||＝6，||＝3，则以图中16个点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，模等于2且与平行的向量有________个，模等于1的向量有________个，模等于的向量有________个．
15．如图所示，已知＝＝.求证：
(1)△ABC≌△A′B′C；
(2)＝，＝.
一、选择题
1．(多选题)下列说法错误的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
ABD [向量∥包含所在的直线与所在的直线平行或重合两种情况，故A错误；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错误；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误．]
2．下列结论正确的是( )
A．向量必须用有向线段来表示
B．表示一个向量的有向线段是唯一的
C．有向线段和是同一向量
D．有向线段和的大小相等
D [向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段和的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D项正确．]
3．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.下列选项正确的是( )
A．①②④ B．①③④
C．①②③ D．②③④
C [与方向相同，大小相等，所以①正确；与方向相同，所以∥，所以②正确；因为AB∥CD，所以与共线，③正确；因为与方向不同，所以＝错误．故选C．]
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [与共线的有，，.]
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
C [由＝，可知四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．]
二、填空题
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
0 [因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.]
7．给出以下四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
①③④ [共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显符合要求的只有①③④.]
8．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
，，，，， [满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：，，，；
模长为3的向量有：，.]
三、解答题
9．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
10．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
[证明] 因为＝，
所以||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB．
又因为与的方向相同，所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以＝.
因为||＝||，||＝||，所以||＝||.
又与的方向相同，所以＝.
素养达标
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
D [两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线．]
12．下列结论中，正确的是( )
A．2 020 cm长的线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度选定，则l上有且只有两点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D．一个人从点A向东走500米到达B点，则向量不可能表示这个人从点A到点B的位移
B [一个单位长度取2 020 cm时，2 020 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行的，故C错误；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故D错误．]
13．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.
(1)(2)(3) [(1)错误，单位向量也可以平行；
(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；
(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．]
14.如图所示，E1，E2，F1，F2，G1，G2，H1，H2分别是矩形ABCD所在边上的三等分点，若||＝6，||＝3，则以图中16个点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，模等于2且与平行的向量有________个，模等于1的向量有________个，模等于的向量有________个．
24 24 36 [与平行包括与同向和反向，因而模等于2且与平行的向量个数为12×2＝24，模等于1的向量有12×2＝24个，模等于的向量有9×4＝36个．]
15．如图所示，已知＝＝.求证：
(1)△ABC≌△A′B′C；
(2)＝，＝.
[证明] (1)∵＝，
∴||＝||，且∥.
又∵A不在上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)由(1)知四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||.
∴＝.同理可证＝.
一、选择题
1．(多选题)下列说法错误的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
2．下列结论正确的是( )
A．向量必须用有向线段来表示
B．表示一个向量的有向线段是唯一的
C．有向线段和是同一向量
D．有向线段和的大小相等
3．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.下列选项正确的是( )
A．①②④ B．①③④
C．①②③ D．②③④
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
二、填空题
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
7．给出以下四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
8．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
三、解答题
9．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
10．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
素养达标
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
12．下列结论中，正确的是( )
A．2 020 cm长的线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度选定，则l上有且只有两点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D．一个人从点A向东走500米到达B点，则向量不可能表示这个人从点A到点B的位移
13．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.
14.如图所示，E1，E2，F1，F2，G1，G2，H1，H2分别是矩形ABCD所在边上的三等分点，若||＝6，||＝3，则以图中16个点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，模等于2且与平行的向量有________个，模等于1的向量有________个，模等于的向量有________个．
15．如图所示，已知＝＝.求证：
(1)△ABC≌△A′B′C；
(2)＝，＝.
一、选择题
1．(多选题)下列说法错误的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
ABD [向量∥包含所在的直线与所在的直线平行或重合两种情况，故A错误；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错误；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误．]
2．下列结论正确的是( )
A．向量必须用有向线段来表示
B．表示一个向量的有向线段是唯一的
C．有向线段和是同一向量
D．有向线段和的大小相等
D [向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段和的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D项正确．]
3．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.下列选项正确的是( )
A．①②④ B．①③④
C．①②③ D．②③④
C [与方向相同，大小相等，所以①正确；与方向相同，所以∥，所以②正确；因为AB∥CD，所以与共线，③正确；因为与方向不同，所以＝错误．故选C．]
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [与共线的有，，.]
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
C [由＝，可知四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．]
二、填空题
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
0 [因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.]
7．给出以下四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
①③④ [共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显符合要求的只有①③④.]
8．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
，，，，， [满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：，，，；
模长为3的向量有：，.]
三、解答题
9．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
10．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
[证明] 因为＝，
所以||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB．
又因为与的方向相同，所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以＝.
因为||＝||，||＝||，所以||＝||.
又与的方向相同，所以＝.
素养达标
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
D [两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线．]
12．下列结论中，正确的是( )
A．2 020 cm长的线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度选定，则l上有且只有两点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D．一个人从点A向东走500米到达B点，则向量不可能表示这个人从点A到点B的位移
B [一个单位长度取2 020 cm时，2 020 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行的，故C错误；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故D错误．]
13．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.
(1)(2)(3) [(1)错误，单位向量也可以平行；
(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；
(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．]
14.如图所示，E1，E2，F1，F2，G1，G2，H1，H2分别是矩形ABCD所在边上的三等分点，若||＝6，||＝3，则以图中16个点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，模等于2且与平行的向量有________个，模等于1的向量有________个，模等于的向量有________个．
24 24 36 [与平行包括与同向和反向，因而模等于2且与平行的向量个数为12×2＝24，模等于1的向量有12×2＝24个，模等于的向量有9×4＝36个．]
15．如图所示，已知＝＝.求证：
(1)△ABC≌△A′B′C；
(2)＝，＝.
[证明] (1)∵＝，
∴||＝||，且∥.
又∵A不在上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)由(1)知四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||.
∴＝.同理可证＝.