4.1.2.2全概率公式、贝叶斯公式同步练习-2021-2022学年高二数学人教版B版（2019）选择性必修第二册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 4.1.2.2全概率公式、贝叶斯公式同步练习-2021-2022学年高二数学人教版B版（2019）选择性必修第二册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 153.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-12 20:01:49 | ||
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文档简介
全概率公式、贝叶斯公式
一、选择题
1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8．则甲正点到达目的地的概率为( )
A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84
2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
3．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )
A． B． C． D．
5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书． 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱． 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．
8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
三、解答题
9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
(1)从乙盒取出2个红球的概率；
(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
素养达标
1．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
2．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个整数，记为Y，则P(Y＝2)＝( )
A． B． C． D．
3．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化， 往往会去分析影响股票价格的基本因素， 比如利率的变化． 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%． 根据经验， 人们估计， 在利率下调的情况下， 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下， 其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________．
4．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．
(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．
(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)
5.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
一、选择题
1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8．则甲正点到达目的地的概率为( )
A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84
C [设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9．
由全概率公式得
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86．故选C．]
2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
D [设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则它们构成样本空间的一个划分．设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：
P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)
＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05
＝0.482 5．故选D．]
3．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
A [以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，
P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
P(B|A3)＝；
则由全概率公式，所求概率为
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝0.08．]
4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )
A． B． C． D．
B [设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，
由全概率公式：
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝．
又由贝叶斯公式：
P(B|A)＝＝＝．故选B．]
5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书． 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱． 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A． B． C． D．
B [用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．
由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝．
P(B1|A)＝＝＝÷＝．故选B．]
二、填空题
6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
0.087 [由题设，有
P()＝1－P(C)＝0.995，P(A|)＝1－P(|)＝0.05，
由贝叶斯公式，
得P(C|A)＝≈0.087．]
7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．
[设A＝“第二次取出的均为新球”，
Bi＝“第一次取出的3个球恰有i个新球”(i＝0,1,2,3)．
由全概率公式
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝·＋·＋·＋·
＝．]
8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
[答案]
三、解答题
9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
(1)从乙盒取出2个红球的概率；
(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
[解] (1)设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球和1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝．
(2)P(A1|B)＝＝＝＝．
10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
[解] 设A表示枪已校正，B表示射击中靶．
则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0.9，
P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6．
(1)由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)
＝×0.9＋×0.4＝0.7．
(2)由贝叶斯公式可得P(|)＝＝＝0.8．
素养达标
1．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
ABC [P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，
P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，
P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，
由全概率公式得P(S)
＝(Di)P(S|Di)
＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02．
由贝叶斯公式得：
P(D1|S)＝＝
＝0.4，
P(D2|S)＝＝
＝0.45，
P(D3|S)＝＝＝0.15．]
2．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个整数，记为Y，则P(Y＝2)＝( )
A． B． C． D．
C [由题意，知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝．易得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝，P(Y＝2|X＝3)＝，P(Y＝2|X＝4)＝，由全概率公式，可得P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4)＝×＝．]
3．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化， 往往会去分析影响股票价格的基本因素， 比如利率的变化． 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%． 根据经验， 人们估计， 在利率下调的情况下， 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下， 其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________．
64% [记A为事件“利率下调”， 那么即为 “利率不变”， 记B为事件“股票价格上涨”． 依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%．]
4．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．
(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．
(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)
(1)0.083 (2)0.287 [(1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}．
三个厂的次品率分别为，，，
∴P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝．
12箱产品中，甲占，乙占，丙占，
由全概率公式得P(A)＝P(A|Bk)P(Bk)＝×＋×＋×≈0.083．
(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时用贝叶斯公式：
P(B2|A)＝≈≈0.287．]
5.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
[解] 设Ai ＝“第i次接通电话”，
i ＝ 1,2,3，
B＝“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为B＝A1∪(1A2)∪(12A3)．
利用概率的加法公式和乘法公式
P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)＝＋×＋××＝．
若已知最后一位数字是奇数，则
P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)＝＋×＋××＝．
一、选择题
1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8．则甲正点到达目的地的概率为( )
A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84
2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
3．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )
A． B． C． D．
5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书． 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱． 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．
8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
三、解答题
9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
(1)从乙盒取出2个红球的概率；
(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
素养达标
1．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
2．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个整数，记为Y，则P(Y＝2)＝( )
A． B． C． D．
3．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化， 往往会去分析影响股票价格的基本因素， 比如利率的变化． 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%． 根据经验， 人们估计， 在利率下调的情况下， 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下， 其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________．
4．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．
(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．
(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)
5.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
一、选择题
1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8．则甲正点到达目的地的概率为( )
A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84
C [设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9．
由全概率公式得
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86．故选C．]
2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
D [设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则它们构成样本空间的一个划分．设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：
P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)
＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05
＝0.482 5．故选D．]
3．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
A [以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，
P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
P(B|A3)＝；
则由全概率公式，所求概率为
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝0.08．]
4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )
A． B． C． D．
B [设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，
由全概率公式：
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝．
又由贝叶斯公式：
P(B|A)＝＝＝．故选B．]
5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书． 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱． 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A． B． C． D．
B [用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．
由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝．
P(B1|A)＝＝＝÷＝．故选B．]
二、填空题
6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
0.087 [由题设，有
P()＝1－P(C)＝0.995，P(A|)＝1－P(|)＝0.05，
由贝叶斯公式，
得P(C|A)＝≈0.087．]
7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．
[设A＝“第二次取出的均为新球”，
Bi＝“第一次取出的3个球恰有i个新球”(i＝0,1,2,3)．
由全概率公式
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝·＋·＋·＋·
＝．]
8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
[答案]
三、解答题
9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
(1)从乙盒取出2个红球的概率；
(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
[解] (1)设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球和1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝．
(2)P(A1|B)＝＝＝＝．
10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
[解] 设A表示枪已校正，B表示射击中靶．
则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0.9，
P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6．
(1)由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)
＝×0.9＋×0.4＝0.7．
(2)由贝叶斯公式可得P(|)＝＝＝0.8．
素养达标
1．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
ABC [P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，
P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，
P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，
由全概率公式得P(S)
＝(Di)P(S|Di)
＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02．
由贝叶斯公式得：
P(D1|S)＝＝
＝0.4，
P(D2|S)＝＝
＝0.45，
P(D3|S)＝＝＝0.15．]
2．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个整数，记为Y，则P(Y＝2)＝( )
A． B． C． D．
C [由题意，知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝．易得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝，P(Y＝2|X＝3)＝，P(Y＝2|X＝4)＝，由全概率公式，可得P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4)＝×＝．]
3．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化， 往往会去分析影响股票价格的基本因素， 比如利率的变化． 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%． 根据经验， 人们估计， 在利率下调的情况下， 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下， 其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________．
64% [记A为事件“利率下调”， 那么即为 “利率不变”， 记B为事件“股票价格上涨”． 依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%．]
4．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．
(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．
(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)
(1)0.083 (2)0.287 [(1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}．
三个厂的次品率分别为，，，
∴P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝．
12箱产品中，甲占，乙占，丙占，
由全概率公式得P(A)＝P(A|Bk)P(Bk)＝×＋×＋×≈0.083．
(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时用贝叶斯公式：
P(B2|A)＝≈≈0.287．]
5.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
[解] 设Ai ＝“第i次接通电话”，
i ＝ 1,2,3，
B＝“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为B＝A1∪(1A2)∪(12A3)．
利用概率的加法公式和乘法公式
P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)＝＋×＋××＝．
若已知最后一位数字是奇数，则
P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)＝＋×＋××＝．