(共21张PPT)
3.4
实际问题与一元一次方程
第2课时
1.理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润及利润率等概念；能利用一元一次方程解决商品销售中的一些实际问题．
2.经历运用方程解决销售中的盈亏问题，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
3.培养学生走向社会，适应社会的能力．
跳楼价
清仓处理
满200返160
5折酬宾
探究销售中的盈亏问题:
1.商品原价200元，九折出售，卖价是
元.
2.商品进价是30元，售价是50元，则利润
是
元.
3.某商品原来每件零售价是a元,
现在每件降价10%,降价后每件零售价是
元.
4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为
元.
5.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是 元.
0.9a
1.25a
18.5
180
20
对上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量?
成本价(进价)
标价
销售价
利润
盈利
亏损
利润率
上面这些量之间有何关系?
=
商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系
:
商品售价＝
标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
例1
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25﹪，另一件亏损25﹪，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
￥60
￥60
想一想:
1.盈利率、亏损率指的是什么？
2.这一问题情境中有哪些已知量?哪些未知量?如何设未知数?相等关系是什么？
3.如何判断是盈是亏？
销售中的盈亏
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，
其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总
的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
分析：售价=进价+利润
售价=(1+利润率)×进价
分析：①
设盈利25%的那件衣服的进价是
元，
则商品利润是
元；
依题意列方程
由此得
x
=________.
②
设亏损25%的那件衣服的进价是
元，
则商品利润是
元；
依题意列方程
由此得
y
=________.
两件衣服的总进价是
x+y=
（元），
两件衣服的总售价是
（元），
因为
总进价
总售价.
所以可知卖这两件衣服总的盈亏情况是____.
x
0.25x
x
+
0.25x
=
60，
48
y
-0.25y
y
+（-0.25y）=60，
80
48+80=128
60×2=120
>
亏损
解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元,
另一件的进价
为y元.依题意，得
x+0.25x=60，
解得
x=48.
y－0.25y=60，
解得
y=80.
60+60－48－80=－8(元).
答：卖这两件衣服总共亏损了8元.
（1）随州某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
解：设盈利20%的那台钢琴进价为x元，它的利润是
0.2x元，则
x+0.2x=960，
得
x=800.
设亏损20%的那台钢琴进价为y元，它的利润是
-0.2y元，则
y-0.2y=960，
得
y=1200.
所以两台钢琴总进价为2
000元，而总售价为1920元，进价大于售价，因此两台钢琴总的盈利情况为亏损了80元.
（2）某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况如何？
解：设盈利60%的那个计算器进价为x元，它的利润是
0.6x元，则x+0.6x=64，
得
x=40.
设亏本20%的那个计算器进价为y元，它的利润是
-0.2y元，则y–0.2y=64，
得
y=80.
所以两个计算器总进价为120元，而总售价128元，进价小于售价，因此两个计算器总的盈利情况为盈利8元.
例2
某商店为了促销G牌空调机，承诺2011年元旦那天购买该机可分两期付款，即在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息（年利率为5.6%）在2012年元旦付清，该空调机售价为每台8224元.若两次付款数相同，那么每次应付款多少元？
解：设每次应付款为x元,依题意得
(8224-x)(1+5.6%)=x.
解得
x=4
224.
答：每次应付款4
224元.
某商场把进价为1
980元的商品按标价的八折出售，仍
获利10%,则该商品的标价为
元.
解：设该商品的标价为x元．
0.8x=1
980(1+10%)
解得 x=2
722.5.
答案：2
722.5
1.某商品每件的售价是192元，销售利润是60%，则该商品每件的进价多少元？
解：设该商品的进价是x元.
x＋0.6x＝192.
解得x＝120.
答：该商品的进价是120元.
2.某种商品零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店决定按售价9折降价并让利48元销售，仍可获利20%，则这种商品进货价是每件多少元？
解：设这种商品的进价是x元.
x＋0.2x＝900×0.9－48.
解得x＝635.
答：该商品的进价是635元.
3.（江西中考）剃须刀由刀片和刀架组成.某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可更换），有关销售策略与售价等信息如下表所示：
某段时间内，甲厂家销售了8
400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲的两倍，问这段时间内，乙销售了多少把刀架？多少片刀片？
老式剃须刀
新式剃须刀
刀架
刀片
售价
2.5(元/把)
1
(元/把)
0.55(元/片)
成本
2
(元/把)
5
(元/把)
0.05(元/片)
解：设这段时间内乙厂家销售了x把刀架.
依题意，得
(0.55-0.05)×50x+(1-5)x=2×(2.5-2)×8
400.
解得ｘ=400.
销售出的刀片数=50×400=20
000（片）.
答：这段时间乙厂家销售出400把刀架，20
000片刀片.
通过本节课的学习，同学们应理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润及利润率等概念；并能利用一元一次方程解决商品销售中的一些实际问题.
=
商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系
商品售价＝
标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
商品销售中常用关系式(共14张PPT)
3.4
实际问题与一元一次方程
第1课时
1.进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤．
2.
通过分析零件配套问题及工作量中的相等关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用．
3.培养学生自主探究和合作交流的意识和能力，体会数学的应用价值．
思考：（1）两人合作32小时完成对吗？为什么？
（2）甲每小时完成全部工作的
；
乙每小时完成全部工作的
；
甲x小时完成全部工作的
；
乙x小时完成全部工作的
.
1.一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成.那么两人合作多少小时完成？
分析：一个人做1小时完成的工作量是
；
一个人做x小时完成的工作量是
；
4个人做x小时完成的工作量是
.
2.整理一块地，由一个人做要80小时完成.那么4个人做需
要多少小时完成？
（1）人均效率（一个人做一小时的工作量）是
.
（2）这项工作由8人来做，x小时完成的工作量
是
.
总结：一个工作由m个人n小时完成，那么人均效率是
.
3.一项工作，12个人4个小时才能完成.若这项工作由8
个人来做，要多少小时才能完成呢？
例1
整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?
分析:这里可以把工作总量看作
1
请填空:
人均效率(一个人做1小时完成的工作量)为
,
由x人先做4小时,完成的工作量为
,
再增加2人和前一部分人一起做8小时,完成的
工作量为
,
这项工作分两段完成任务,两段完成任务的工作量
之和为
.
或1
解:设先安排x人工作4小时,根据相等关系:
两段完成的工作量之和应等于总工作量
列出方程:
解得x=2
则应由2人先做4小时
一个道路工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做24天
完成.现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下
的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
解：设乙队还需要x天才能完成.
解得
x=13.
答：乙队还需要13天才能完成.
列方程解应用题的步骤：
→
实际问题
数学问题
（一元一次方程）
设未知数
列方程
↓
解方程
数学问题的解
x=a
检验
←
↓
实际问题的
答案
已知关于x的方程3x
+
a
=
0的解比方程
2x–3
=x
+
5的解大2，则a
=
.
2.关于x的方程2-(1-x)=-2与方程mx-3(5-x)=-3的解相
同,则m=______.
-30
-7
3.（河北中考）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（
）
(A)
B．
(C)
D．
【解析】选A.设所用的1元纸币为x张，则所用的5元纸币为（12-x）张，根据题意所列方程为x+5(12-x)=48.
(B)
(D)
4.一项工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要12小时完成.现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作.剩下的部分需要多少小时完成？（用两种方法列方程解答）
解：设剩下的部分需要x小时完成.
方法二：利用各人完成的工作量之和=完成的工作总量列
出方程,
方法一:利用各阶段完成的工作量之和=完成的工作总量
列出方程,
解得
x=6.
答：剩下的部分需要6小时完成.
1.在工程问题中，通常把全部工作量简单的表示为1.如果一件工作需要n小时完成，那么平均每小时完成的工作量就是
.
2.工作量=
3.各阶段工作量的和=总工作量.
各人完成的工作量的和=完成的工作总量.
人均效率×人数×时间.(共14张PPT)
3.4
实际问题与一元一次方程
第4课时
1.掌握用一元一次方程解决实际问题的方法步骤，并会验证解的合理性．
2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般过程．
3.培养学生主动探索与合作交流的意识能力，体会一元一次方程的应用价值．
两种移动电话计费方式表
全球通
神州行
月租费
50元/月
0
本地通话费
0.40元/分
0.60元/分
(1)一个月内在本地通话200分和300分,按两种计费方式各须交费多少元?
(2)对于某个本地通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗?
怎么计算交费
交费=月租费＋当月通话时间×单价(元/分)
全球通
神州行
200分
300分
解:(1)
(2)设累计通话t分钟,则用“全球通”要收费(50＋0.4t)元,用“神州行”要收费0.6t。如果两种收费一样，则
0.6t=50＋0.4t解此方程得:
0.2t=50.
∴
t=250.
答:如果一个月内通话250分,那么两种计费方式相同.
130元
120元
170元
180元
问题:什么情况下用“全球通”优惠一些?什么情况下用“神州行”优惠一些?
小明想在两种灯中选购一种,其中一种是11瓦(即0.011千瓦)
的节能灯,售价60元;另一种是60瓦(即0.06千瓦)的白炽灯,
售价3元.两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同(3
000小
时以上).节能灯售价较高,但是较省电;白炽灯售价低,但是
用电多.如果电费是0.5元/(千瓦时),选哪种灯可以节省费用(灯的售价加电费)?
分析:问题中有以下基本等量关系:
费用=灯的售价＋电费;
电费=0.5×灯的功率(千瓦)
×照明时间(时).
(1)设照明时间为t小时,则
总费用
售价
电费
节能灯
60元
白炽灯
3元
(2)用特殊值试探:如果取
t=2
000时,
节能灯的总费用为:60＋0.5×0.011t
=60＋0.5×0.011×2
000=71;
白炽灯的总费用为:3＋0.5×0.06t
=3＋0.5×0.06×2
000=63;
60＋0.5×0.011t
3＋0.5×0.06t
0.5×0.011t
0.5×0.06t
由两组数值可以说明,照明
时间不同,为了省钱而选择
用哪种灯的答案也不同.
如果取t=2
500呢?
请你算一算节能灯与白炽灯哪个费用较低?
解:设照明时间为t小时,
则节能灯的总费用为[60＋0.5×0.011t]元;
白炽灯的总费用为[3＋0.5×0.06t]元;
如果两个总费用相等,则有
60＋0.5×0.011t
=3＋0.5×0.06t
解此方程得:t≈2327(小时)
因此我们可以取t=2
000小时和t=2
500小时,分别计算节能灯和白炽灯的总费用.
当t=2000时,
节能灯的总费用为:60＋0.5×0.011t
=
60＋0.5×0.011×2
000=71;
白炽灯的总费用为:3＋0.5×0.06t
=
3＋0.5×0.06×2
000=63;
当t=2500时,
节能灯的总费用为:60＋0.5×0.011×2
500=73.75;
白炽灯的总费用为:3＋0.5×0.06×2
500=78;
因此由方程的解和试算判断:
在t<2
327小时时,选择白炽灯优惠一些;
在t=2
327小时时,两种灯的总费用一样;
在t>2
327小时而不超过使用寿命时,选择节能灯优惠一些.
小明想在两种灯中选购一种,其中一种是11瓦(即0.011千
瓦)的节能灯,售价60元;另一种是60瓦(即0.06千瓦)的白
炽灯,售价3元.两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同
(3000小时以上).节能灯售价较高,但是较省电;白炽灯售
价低,但是用电多.如果电费是0.5元/(千瓦时),选哪种灯
可以节省费用(灯的售价加电费)?
问题:
如果灯的使用寿命都是3
000小时,而计划照明3
500
小时,则需要购买两个灯,试设计你认为能省钱的选灯方案.
参考方案:买白炽灯和节能灯各一只,用白炽灯照明500小时,
节能灯照明3
000小时.
在这种方案中的总费用为:
60＋0.5×0.011×3
000＋3＋0.5×0.06×500
=60＋16.5＋3＋15
=94.5(元).
你的方案的总费用是多少?
【解析】选D.以总人数为不变的量由题意得
1.（綦江中考）2010年“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位，则下列方程正确的是（
）
(A)30x-8=31x+26
(B)30x+8=31x+26
(C)30x-8=31x-26
(D)30x+8=31x-26
2.（潼南中考）一套运动装标价200元，按标价的八折销售，则这套运动装的实际售价为
元.
【解析】设实际售价为x元，由题意得
答案：160
解得
x=160.
x=200×80%.
根据以上问题的解决过程，你能从中发现什么？
实际问题
实际问题的答案
数学问题
（一元一次方程）
数学问题的解
（x＝a）
列方程
解方程
检验(共24张PPT)
3.4
实际问题与一元一次方程
第3课时
1.进一步掌握用方程解决实际问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力．
2.经历“探究2”的活动，激发学生的学习潜能，促使他们在自主探究与合作交流的过程中，理解和掌握基本的数学知识、技能和数学思想方法．
3.发展学生勇于探究、积极参与讨论、合作交流的意识，在“建模”中感受数学的应用价值．
=
商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系
:
商品售价＝
标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
例1
某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率为40％.今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了
20千克，含油率提高了10个百分点.
（1）今年与去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20％，今年油菜种植面积是多少亩？
（2）油菜种植成本为210元／亩，菜油收购价为6元／千
克，请比较这个村去、今两年油菜种植成本与菜油全部售
出所获的收入.
问题中有什么基本的等量关系？
问题中有以下基本等量关系：
产油量＝油菜籽亩产量×含油率×种植面积
（1）设今年种植油菜x亩，
则可列式表示去、今两年的产油量
去年产油量＝160×40％×（x＋44）
今年产油量＝______________________.
根据今年比去年产油量提高20％，列出方程
解方程，得今年油菜种植面积是
亩.
180×（40％＋10％）x
180×50％x＝160×40％（x＋44）（1＋20％）
256
(2)去年油菜种植成本为：210（x＋44）＝
元,
售油收入为
元，
售油收入与油菜种植成本的差为：____________________
元
今年油菜种植成本为：
元,
售油收入为
元，
售油收入与油菜种植成本的差为：____________________元.
63
000
160×40％（x＋44）×6＝16×4×300×6＝115
200
115
200－63
000＝52
200
210x＝210×256＝53
760
180×50％x×6＝18×5×256×6＝138
240
138
240－53
760＝84
480
两年相比，油菜种植成本、售油收入有什么变化？
油菜种植成本今年比去年减少：210×44＝9
240（元）.
售油收入今年比去年增加：138
240－115
200＝23
040（元）.
为了准备小颖6年后上大学的学费15
000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式：
(1)先存一个3年期的，3年后将
本息和自动转存一个3年期；
(2)直接存一个6年期的.
你认为哪种储蓄方式
开始存入的本金比较少？
期数
年利率（﹪）
一年
2.25
三年
3.24
六年
3.60
利息＝本金×期数×利率
本息和＝本金＋本金×期数×利率
分析
解：设开始存入x元.
（1＋3.24％×3）（1＋3.24％×3）x
＝
15
000.
解得
x≈12
460.
如果按照第一种储蓄方式有：
（1＋3.60％×6）x
＝15
000.
解得
x≈12
336.
如果按照第二种储蓄方式有：
∵12
460＞12
336.
∴第二种储蓄方式开始存入的本金少.
你学会了吗？
例2
问题1：通过观察积分榜，你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？进而你能得到胜一场积几分吗？
从最下面一行数据可以看出：负一场积1分,
设胜一场积x分，从第一行列方程
10x＋4＝24．
由此得
x＝2．
即：负一场积1分，胜一场积2分．
问题2：用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系.
如果一个队胜
m
场，则负（14－m）场，
胜场积分2m
分，负场积分（14－m）分，
总积分为:2m＋（14－m）＝（m＋14)分．
问题3：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
设一个队胜了x场，则负了（14－x）场．
如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，
则得方程2x－（14－x）＝0．
由此得
因此没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分．
男生都喜欢看NBA,激烈的对抗中比分交替上升,最终由积分显示牌上的各队积分进行排位.下面我们来看一个赛季国内篮球甲A联赛常规赛的最终积分榜.
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
八一双鹿
22
18
4
40
上海东方
22
18
4
40
北京首钢
22
14
8
36
记录恒和
22
14
8
36
辽宁盼盼
22
12
10
34
广东宏远
22
12
10
34
前卫奥神
22
11
11
33
江苏南钢
22
10
12
32
山东润洁
22
10
12
32
浙江万马
22
7
15
29
双星济军
22
6
16
28
沈部雄师
22
0
22
22
(1)?列式表示积分与胜负场数之间的数量关系;
(2)?某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
八一双鹿
22
18
4
40
上海东方
22
18
4
40
北京首钢
22
14
8
36
记录恒和
22
14
8
36
辽宁盼盼
22
12
10
34
广东宏远
22
12
10
34
前卫奥神
22
11
11
33
江苏南钢
22
10
12
32
山东润洁
22
10
12
32
浙江万马
22
7
15
29
双星济军
22
6
16
28
沈部雄师
22
0
22
22
观察积分榜,从最下面一行可看出什么？
设胜一场积X分的话,从表中其他任何一行可以列方程,求出X的值.
从第一行得出方程:
18X+1×4=40，
由此得出
X=2.
由表中其他行可以验证,
得出结论:负一场积1分,胜一场积2分.
如果一个队胜M场,则负(22-M)场,胜场积分为2M,负场积分为22-M,总积分为
2M+(22-M)=M+22.
设一个队胜了X场,则负了(22-X)场,如果这个队的胜场总积分等于负场总积分,则有方程
2X=(22-X).
计算得
X=22/3.
(1)利用方程不仅能计算未知数的值,而且可以进一步进行推理.
(2)对于解决实际问题,检验解出的结果是否合乎实际意义是必要的.
1.一份试卷共25题,每道题都给出四个答案,其中只有一个是正确的,要求学生把正确答案选出来,每题选对得4分,不选或选错扣1分,如果一个学生得90分,那么他选对几道题?现有500名学生参加考试,有得83分的同学吗?为什么?
【解析】设他选对了x道题，由题意得
4x-(25-x)=90，
解得
x=23.
若4x-(25-x)=83，x=21.6（不符合题意）.
答案：如果一个学生得90分,那么他选对23道题，没有得83分的同学.
2.（凉山中考）高一某班在入学体检中，测得全班同学平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%
，而女同学人数比男同学人数多20%
.求男、女同学的平均体重.
【解析】
.
，
，
.
.
3.长风乐园的门票价格规定如下表所列.某校七年级(1),(2)两个班级共104人去游长风乐园,其中(1)班人数较少,不到50人,(2)班人数较多,有50多人.经估算,如果两班都以班为单位分别购票,则一共应付1240元，问两班各有多少名学生?如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节省多少钱？
购票人数
1～50人
51～100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
【解析】设（1）班有x人，则（2）班有（104-x）人.
由题意得：
13x+11（104-x）=1240.
解得
x=48.
则（2）班有104-48=56（人）.
1240-（9×104）=1240-936=304（元）.
答：（1）班有48人，（2）班有56人；如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节省304元.
本课通过对结论不确定问题的探索，初步学习了对不同情况进行分类讨论的方法，学会了对较复杂问题逐层分析、层层推进的解题策略．
