11.2 与三角形有关的角 课时练习（含解析）

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人教版2021年八年级上册：11.2 与三角形有关的角 精品课时练习
一、选择题
1．下列命题正确的是 (　　)
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角
C．三角形的一个内角小于与它不相邻的外角
D．三角形的外角和是180°
2．一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（　　）
A．75° B．60° C．45° D．40°
3．三角形的三个内角( )
A．至少有两个锐角 B．至少有一个直角
C．至多有两个钝角 D．至少有一个钝角
4．如图，下列说法中错误的是（ ）
A．不是三角形的外角
B．
C．是三角形的外角
D．
5．如图，∠B＝40°，∠ACD＝108°，若B、C、D三点在一条直线上，则∠A的大小是（　　）
A．148° B．78° C．68° D．50°
6．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于()
A．30° B．40°
C．60° D．70°
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
8．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝46°，则∠A的度数为_____．
10．如图，△ABC中，D是AC延长线上一点，E是AB上一点，ED⊥BC于O，∠A=37°，∠D=20°，则∠B=________°，∠ACB=________°.
11．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于__．
12．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．
13．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝_____°．
14．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度．
三、解答题
15．如图，在中，，，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求、和的度数．
16．如图，是的边上的高，是的一条角平分线，若，.求和的度数.
17．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．
（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．
18．小明在学习过程中，对一个问题做如下探究：

（1）（问题回顾）已知：如图（1），在中，，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F.求证：.
（2）（变式思考）如图（2），在中，，CD是AB边上的高.若的外角的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由.
（3）（探究延伸）如图（3），在中，AB上存在一点D，得，平分线AE交CD于点F.的外角所在直线MN与BC的延长线交于点M.试判断与的关系，并说明理由.
参考答案
1．C
【详解】
【分析】根据三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，分别进行分析即可．
【详解】A、三角形的外角大于与它不相邻的内角，故A选项错误；
B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，故B选项错误；
C、三角形的一个内角小于和它不相邻的任何一个外角，故C选项正确；
D、三角形的外角和是360°，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，关键是熟练掌握性质定理．
2．C
【分析】
利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】
因为三角形内角和为180°，且∠A = 60°，∠B = 75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.
【点睛】
三角形内角和定理是常考的知识点.
3．A
【分析】
根据三角形的内角和是180°判断即可．
【详解】
解：根据三角形的内角和是180°，知：三个内角可以都是60°，排除B；
三个内角可以都是锐角，排除C和D；
三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角和是180°．
4．D
【分析】
根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，判断A正确，D错误；由三角形外角的定义，判断C正确；三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，判断B正确．
【详解】
A.?不是三角形的外角，正确；
B.?，正确；
C.?是三角形ABC的外角，正确；
D.?，故D错误．
故选D.
【点睛】
本题考查的知识点是三角形外角的性质以及考查三角形内角与外角的关系，解题关键是熟练掌握三角形的性质．
5．C
【分析】
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和即可直接得出答案．
【详解】
解：∵∠B＝40°，∠ACD＝108°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝108°﹣40°＝68°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
6．A
【详解】
∵AB∥CD，∠A=70°，
∴∠1=∠A=70°，
∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°，
∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°．
故选A．
7．C
【分析】
由AE平分∠BAC，可得∠BAE和∠EAC相等，由∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，可求得∠EAD的度数，已知∠BAE和∠EAD，求出∠BAD，在直角三角形ABD中利用两锐角互余，可求得答案．
【详解】
解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC =∠EAD+∠CAD，
∴∠EAD=∠BAE -∠CAD =30°-20°=10°，
∴∠BAD=∠BAE＋∠EAD=40°
∴Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-40°=50°
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线、中线和高的相关知识．
8．B
【分析】
首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.
【详解】
∵
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°
∵、是的外角角平分线
∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°
∴∠A=60°
故选：B.
【点睛】
此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.
9．44°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余即可求解.
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝46°，
∴∠A＝90°﹣46°＝44°，
故答案为44°
【点睛】
此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键熟知熟知直角三角形两锐角互余.
10．33°； 110°
【分析】
根据三角形外角的性质，可得∠DEB＝∠A＋∠D＝57°，再根据三角形的内角和定理，求得∠B的度数，由三角形外角的性质求∠ACB即可．
【详解】
∵∠A＝37°，∠D=20°，
∴∠DEB＝∠A＋∠D＝57°，
∵ED⊥BC于O，
∴∠BOE=∠COE =90°，
∴在△BOE中，∠B＝180°?（57°＋90°）＝33°，
∵∠ACB是△COD的一个外角，
∴∠ACB＝∠COD＋∠D＝110°，
故答案为33°，110°
【点睛】
此题主要考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
11．40°
【解析】试题解析：设最小角度数为x，则最大角为2x，另一角为2x﹣20°，
列方程得，x+2x+2x﹣20°=180°，
解得x=40°．
答：这个三角形的最小角度数为40°．
12．30
【分析】
根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.
【详解】
∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，
∵∠PBC+∠P=∠PCM，
∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，
故答案为30
【点睛】
本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.
13．50°或90°
【详解】
分析：分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．
详解：当AP⊥ON时，∠APO=90°，则∠A=50°，
当PA⊥OA时，∠A=90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A=50或90°．
故答案为50°或90°．
点睛：此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
14．：
【分析】
根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为15．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.
15．∠ABE=30°，∠ACF=30°，∠BHC=120°．
【分析】
在△ABC中，根据三角形的内角和定理可得∠A的度数，再由BE是AC边上的高，可得∠ABE=30°．同理即可得∠ACF=30°，再利用三角形外角的性质可得∠BHC的度数．
【详解】
∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．
又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，
∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．
同理，∠ACF=30°，
∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
16．；.
【分析】
由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC= ∠BAC，故∠EAD=∠EAC-∠DAC．
【详解】
解：∵∠B=42°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=68°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=34°．
∵AD是高，∠C=70°，
∴∠DAC=90°-∠C=20°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=34°-20°=14°，
∠AEC=90°-14°=76°．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．
17．（1）见解析；（2）2∠E＝∠A+∠C，理由见解析
【分析】
（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论．
（2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）结论：2∠E＝∠A+∠C．
理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，
∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，
∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，
∴∠A+∠C＝∠E+∠E，
∴2∠E＝∠A+∠C ．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18．（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据三角形外角的性质求解即可；
（2）根据角平分线的性质和直角三角形的性质可得到结果；
（3）由题可知，与（1）（2）的方法相同；
【详解】
（1）证明：，CD是高，
，
.
∵AE是角平线，.
，
.
（2）.理由如下：
∵AF为的平分线，
.
∵CD为边AB上高，
.
又，
．
（3）.理由如下：
∵AE，AN分别为的平分线，
.
.
，，，，
．
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