5.1.1利用函数性质判断方程解的存在性 第三课时 课件（共41张PPT）-2021-2022学年上学期高一数学北师大版（2019）必修第一册

第三课时
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性
北师大（2019）必修1
看看这一节我们要学什么
1.求零点
2.判断零点个数.
3.求参.
4.根的分布.
本节的两个特点
1.函数图像方面加入了变换法（平移、对称、翻折）
2.函数类型方面增加了：抽像函数、分段函数
环节一
求零点
分段
?
?
分段
?
?
环节二
判零点个数
判零点个数 指反比例型组合
例2（1）已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是(　　)．
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点
D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点
?
选项B正确
判零点个数 指对组合
例2（2）f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解法一：f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.
例2（2）f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解法二：令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
判零点个数 指对组合
?
判零点个数 指对组合
?
化成指数方程
换元成二次方程
令t=2x>0,则(*)变为(1-a)t2+at+1=0(**)
只需其仅有一正根.
?
判零点个数 指对组合
分析二次方程
?
①当a=1时,t=-1不合题意;
②当(**)式有一正一负根时,需有
?
?
判零点个数 分段函数 符号函数
?
?
判零点个数 分段函数 二次+二次
当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.
a的取值范围是(-1,1).
?
判零点个数 分段函数 二次+对数型
?
由图可知,f(x)的零点个数为2.
例2（1）
判零点个数 分段函数 二次+指数型
?
例2（1）
判零点个数 分段函数 二次+指数型
?
y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.
判零点个数 分段函数 周期函数
例2（8）已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，求函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数．
解析　当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.
判零点个数 分段函数 含绝对值函数
例2（9）已知0函数y＝a|x|－|logax|(0交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.
例2（10）若函数y=f(x)是R上的增函数,则函数y=f(x)的零点(　　)
A.至少有一个 B.至多有一个
C.有且只有一个 D.可能有无数个
判零点个数 抽像函数
解析:由于函数y=f(x)是R上的增函数,所以函数的图象最多与x轴有一个交点,即函数y=f(x)的零点至多有一个.故选B.
例2（11）
判零点个数 抽像函数
解析:由x,f(x)的对应值表可f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0.
由零点存在定理,可知f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均存在零点,故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
123.56
21.45
-7.82
11.57
-53.76
-126.49
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点有(　　)
A.两个 B.3个
C.至多两个 D.至少3个
判零点个数 抽像函数
例2（12）若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或区间(1,4)或区间(1,5)内,则①函数f(x)的零点在区间(1,2)或区间(2,3)内;②函数f(x)在区间(3,5)内无零点;③函数f(x)在区间(2,5)内有零点;④函数f(x)在区间(2,4)内不一定有零点;⑤函数f(x)的零点必在区间(1,5)内.以上说法错误的是　　　
解析:由于三个区间是包含关系,而区间(1,5)范围最大,所以零点可能在区间(1,5)的任何一个子区间内,故①②③错误.
判零点个数 抽像函数
例2（13）已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有　　　　个零点,这几个零点的和等于　　　　.?
解析: 【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0..
环节三
求参
求参 非分段 二次+对勾
?
可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.
求参 非分段 二次+对勾
?
(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)和f(x)的图象,如图.
因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.
求参 非分段 比例型+指数
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解析　由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0求参 分段 一次+二次
?
解析:令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m.由题意,函数f(x)与y=m的图象有3个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)与y=m的图象,
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求参 分段 反比例+二次
?
?
求参 分段 一次+指数
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【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函y=2x(x≤0)的图象,如图所示
因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].
求参 分段 指数+对数
?
函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示
由图可知,-a≤1,解得a≥-1.
求参 分段 指数+对数
?
作出函数f(x)的图象,由图象知,
当0求参 翻折 一次含绝对值
例3（9）已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是　　.?
解析:函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
求参 翻折 二次含绝对值
例3（10）已知函数f(x)=x2-|x|+3+a有4个零点,求实数a的取值范围. ?
?
函数f(x)有4个零点,即方程
?
求参 翻折 二次含绝对值
例3（11）若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是　　　　
【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知
要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0求参 翻折 比例型含绝对值
?
由函数f(x)的图象可知，当0求参 翻折 指数型含绝对值
例3（13）已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？　
令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图像如图所示，
由图像看出，当m＝0或m≥2时，
函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解；
求参 翻折 对数型含绝对值
?
?
?
双绝对值，内部的【右翻左】，外部的【下翻上】
环节四
根的分布
根的分布 指反比例型组合
?
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只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.
根的分布 指对组合