第三章
圆锥曲线的方程
综合测试（二）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（2020·全国高考）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（
）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.
2．（2020·湖北襄阳高二期末）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（
）
A．对任意的，
B．当时，；当时，
C．对任意的，
D．当时，；当时，
【答案】D
【解析】依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以．
所以当时，；当时，．
3.（2018·全国高考）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，所以，
从而可以求得，故选D
4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
【答案】A
【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，结合题意可得：，
整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
5．（2020·浙江高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
6．（2020·全国高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，故选：A.
7．（江西高二期末）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是(
)
A．2
B．3
C．
D．
【答案】A
【解析】
直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2．
8．（2020·四川成都七中高三其他模拟（文））已知P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,若<0,则x0的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
将原问题转化为椭圆与圆的交点问题，求得临界值，然后求解x0的取值范围即可.
【详解】
如图，设以O为原点、半焦距为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点.
由得，
要使<0，则点P在A、B之间，
∴x0的取值范围是．故选A．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．设抛物线：（）的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（
）。
A、
B、
C、
D、
【答案】BD
【解析】设，则，则，又，
则以为直径的圆的方程为，将代入，
得，即，，由得：，
解得或，则方程为或，故选BD。
10．我们把离心率为的双曲线（，）称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（
）。
A、双曲线是黄金双曲线
B、若，则该双曲线是黄金双曲线
C、若，则该双曲线是黄金双曲线
D、若，则该双曲线是黄金双曲线
【答案】BCD
【解析】A选项，，不是黄金双曲线，
B选项，，化成，即，
又，解得，是黄金双曲线，
C选项，∵，∴，∴，
化简得，由②知是黄金双曲线，
D选项，∵，∴轴，，且是等腰，∴，
即，由②知是黄金双曲线，
综上，BCD是黄金双曲线，故选BCD。
11．（2021·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二期末）已知曲线，、为实数，则下列说法正确的是（
）
A．曲线可能表示两条直线
B．若，则是椭圆，长轴长为
C．若，则是圆，半径为
D．若，则是双曲线，渐近线方程为
【答案】AC
【解析】
取，可判断A选项的正误；将曲线的方程化为标准方程，可判断B选项的正误；将方程化为圆的标准方程，可判断C选项的正误；分和两种情况讨论，将曲线的方程化为标准方程，求出双曲线的渐近线方程，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，，则曲线的方程为，即，
此时，曲线表示两条直线，A选项正确；
对于B选项，若，则，曲线的标准方程为，
此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，该椭圆的长轴长为，B选项错误；
对于C选项，若，曲线的方程为，
此时，曲线表示圆，且该圆的半径为，C选项正确；
对于D选项，若，，则曲线的方程为，
曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，，
此时，双曲线的渐近线方程为；
当，时，则曲线的方程为，
曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，，
所以，双曲线的渐近线方程为.
综上所述，D选项错误.
故选：AC.
12．（2020·湖南师大附中高二期末）已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线，经过点，以上一点为圆心的圆过定点，记，为圆与轴的两个交点（
）
A．抛物线的方程为
B．当圆心在抛物线上运动时，随的变化而变化
C．当圆心在抛物线上运动时，记，，有最大值
D．当且仅当为坐标原点时，
【答案】ACD
【解析】
由已知，设抛物线方程为，将点代入即可判断A选项；设圆心，求出圆的半径，写出圆的方程，令，可求得、，由此可判断B选项；设，，根据条件可求得，利用基本不等式讨论即可判断C选项；再根据可判断D选项．
【详解】
解：由已知，设抛物线方程为，，解得．
所求抛物线的方程为，故A正确；
设圆心，则圆的半径，
圆的方程为，
令，得，得，，
（定值），故B不正确；
设，，
，，
，
当时，，
当时，，
故当且仅当时，取得最大值为，故C正确；
由前分析，，即，
当且仅当时，，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13.（2020·山东泰安一中高二月考）已知双曲线（）的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】
【解析】由已知，所以，把代入双曲线方程得，所以，直线被双曲线截得的线段长为，从而，所以，，所求渐近线方程为.
14．（2020·福建莆田一中高二月考）椭圆的左、右焦点分别为焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于
.
【答案】
【解析】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即.又故，那么.，，.
15.（2020·大连24中高二月考）设抛物线的焦点为
，点在
上，，若以
为直径的圆过点（0,2），则的方程为
.
【答案】或
【解析】∵抛物线
方程为,∴焦点，
设,由抛物线性质,可得，
因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为或.
16．数学中有许多形状优美?寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，曲线C对应的图象如图所示，下列结论：
①直线AB的方程为：；
②曲线C与圆有2个交点；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12；
④曲线C恰好经过4个整点(即横?纵坐标均为整数的点).
其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【详解】对于①，曲线，
令，则；令，则；
所以点，，所以直线AB的方程为：即，
故①错误；对于②，由可得或，所以曲线C与圆有2个交点，，故②正确；对于③，在曲线上取点，，，，顺次连接各点，如图，
则，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：，，，有6个，故④错误.
故答案为：②③.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
（2）经过点，两点；
（3）与椭圆有相同离心率且经过点。
【解析】（1）由已知得，，解得，，，
∴所求椭圆方程为或；
（2）设椭圆方程为（，且），则代入、两点，
解得，，∴所求椭圆方程为；
（3）若焦点在轴上，设所求椭圆方程为：（），
将点代入得，故所求方程为，
若焦点在轴上，设所求椭圆方程为：（），
将点代入得，故所求方程为。
18．已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
【详解】
(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得解得
a
=
4
,
c
=
3
又∵b2＝a2－c2，∴b＝
7
，
所以椭圆C的方程为
.
(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，由已知
及点P在椭圆C上可得
，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．
①当λ＝时，化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝±
(－4≤x≤4)．轨迹是两条平行于x轴的线段．
②当λ≠时，方程变形为
，其中x∈[－4,4]．当0<λ<时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分；当<λ<1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆
19．（已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（1）求E的方程；
（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
【详解】（1）设，则
化简得；
(2)①当直线与x轴不垂直时，设的方程为，
与双曲线联立消去y得
，由题意知且，
设，则，
＝
＝
因为，所以直线AB的方程为，
因此M点的坐标为，
，同理
因此；
②当直线与x轴垂直时，则方程为，则，
AB的方程为，
因此M点的坐标为，，
同理可得
因此
综上，即，
故以线段MN为直径的圆经过点F.
20.（2020·全国高考）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：，
，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为
当时，
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点．
21．（2019·福建省永春第一中学高二期末（文））已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）在轴上存在定点满足题意.
【解析】
（1）由圆的方程求出点与点的坐标，结合题意可得点的轨迹为以，为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得即．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．
【详解】
（1）由题意得，
∴点的轨迹为以为焦点的椭圆
∵，
∴
∴点的轨迹的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，可设其方程为，设
联立可得，
由求根公式可得
假设在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，
则即
∵
，
，
由解得
∴在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
当直线的斜率不存在时，经检验可知也满足以为直径的圆恒过点.
因此在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
22．（2021·福建厦门一中高二期中）设O是坐标原点，以为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和C恰好有两个交点，
（1）求C的方程；
（2）P是C外的一点，设其坐标为，过P的直线均与C相切，且的斜率之积为，记u为的最小值，求u的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题设条件有、，结合椭圆参数的关系，即可写出椭圆的方程；
（2）设过的切线，联立椭圆方程并整理为关于x的一元二次方程，由l与椭圆C相切有，整理为关于k的一元二次方程，根据根与系数的关系及求得，最后由得到最小值，结合m的范围求u的范围.
【详解】
（1）由题意知：，
∴，又以为直径的圆和C恰好有两个交点，则，
∵，可得，
∴椭圆C的方程为；
（2）由题意知，直线、的斜率存在且不为零，
设过的切线，
联立椭圆方程，消去y可得，
由直线l与椭圆C相切，则，
整理可得（易知），
设直线、的斜率分别为、，它们是上述方程的两根，
∴，整理得，则，
∴，易知：当时，有，
∵，
∴，即u的取值范围是．第三章
圆锥曲线的方程
综合测试（一）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．抛物线的焦点坐标为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】把抛物线化为标准方程，可得抛物线的焦点在轴上，开口向下，且，即，所以焦点坐标为.故选：D.
2．“”是“曲线表示椭圆”的
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为曲线为椭圆，所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：A
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知
.
4．（2021·揭阳第一中学高二期中）已知椭圆：与双曲线：（，）具有共同的焦点，，离心率分别为，，且.点是椭圆和双曲线的一个交点，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设，.根据圆锥曲线定义与勾股定理可得，从而可得，结合，可得结果.
【详解】
设，.
在椭圆中，，
所以.
在双曲线中，，
所以，
所以，即，
得，即.
因为，所以，解得.
故选：C
5．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.
【详解】
由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理可得，
又由得，所以，.
故选：A.
6．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（文））已知抛物线：的焦点为，点，分别在抛物线上，且，，则（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【解析】
由抛物线的定义及其性质，解三角形的知识结合焦点弦公式，即可解出．
【详解】
令，则，过，作准线：的垂线，垂足为，，过作，垂足为，如图，易得，
∴在中，，
∴直线的倾斜角为，焦点弦，
∴，
故选：B.
7．已知为坐标原点，是椭圆：（）的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴。过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（
）。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】作图，由题意得、、，设，
由得，则①，
又由，得，则②，
由①②得，即，则，故选A。
8．已知直线（）与抛物线：相交于、两点，为的焦点，若，则（
）。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】设抛物：的准线为：，
直线（）恒过定点，
如图过、分别作于，于，
由，则，
点为的中点，连接，则，
∴，点的横坐标为，
故点的坐标为，∴，故选D。
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9.已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（
）
A．若，则点的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】因为双曲线的方程为，所以，，则，
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，
选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；
选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；
选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；
选项D：因为的周长为，所以选项D正确.故选：ACD
10.
（2020·江苏南京高二期末）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（
）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
【答案】BCD
【解析】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，
其方程是，故A错误点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，
即两者是没有交会的轨迹，故B正确要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，把代入抛物线，消去y并整理得
因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；
把代入抛物线，消去y并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD
11．（2021·江苏高三专题练）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F点的直线与抛物线E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB的中点，则下列结论正确的是（
）
A．∠CFD＝90°
B．直线AB的斜率为
C．△CMD为等腰直角三角形
D．线段AB的长为
【答案】ABD
【详解】由抛物线的方程可得：F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，设直线AB的方程为：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣1，y1），D（﹣1，y2），联立方程消去x整理可得：y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以，所以FC⊥FD，即∠CFD＝90°，所以A正确，选项B：因为|AF|＝3|BF|，所以，即y1＝﹣3y2，且y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，解得，所以直线AB的斜率为，故B正确，选项C：由A正确，则CM⊥DM不可能，且角C和角D不可能为直角，故C错误，选项D：
故D正确，故选：ABD．
12．（2021·聊城市·山东聊城一中高三）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（
）
A．对于半径为的圆，其圆上任一点的曲率半径均为
B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为
C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为
D．对于椭圆上点处的曲率半径随着的增大而碱小
【答案】AC
【详解】A：由题设知：圆的方程可写为，所以圆上任一点曲率半径为，正确；
B、C：由弯曲最大处为，最小处为，所以在处有，在处有，即，故B错误，C正确；
D：由题意，处的曲率半径，而，
所以，令，
则在上有恒成立，故在上随着的增大而增大，错误；故选：AC.
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2021·安徽高二期中（文））已知抛物线的焦点是椭圆的左焦点，则抛物线的准线方程是__________．
【答案】
【解析】
先求得椭圆的左焦点，然后利用抛物线交点与准线的关系求解即可.
【详解】
椭圆中，．
于是抛物线的焦点是，故其准线方程是．
故答案为：.
14．（2021·四川广元市·高二期末（理））抛物线的焦点为，已知抛物线在点处的切线斜率为2，则直线与该切线的夹角的正弦值为______．
【答案】
【解析】
利用导数的几何意义，结合切线的斜率求解切点坐标，然后求解切线与的正切值，再利用三角函数恒等变换公式可求得结果
【详解】
解：由，得，则，
设点的坐标为，则由题意可得，解得，则，所以，
因为抛物线的焦点，所以，
设切线与的夹角为，则，
所以，
故答案为：
15．如图所示，已知是椭圆（）的左焦点，是椭圆上的一点，轴，（为原点），则该椭圆的离心率是
。
【答案】
【解析】，又与相似，则，
解得，又得。
16．设抛物线：（）的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交于、两点，若，的面积为，则
。
【答案】
【解析】∵，，∴，
又∵，∴，，
∴到准线的距离，
∴，解得。
四、解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17.
（2020·全国高二单元练）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
【解析】
（1）设P（x，y），M（）,则N（），
由得.
因为M（）在C上，所以.
因此点P的轨迹为.
由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则
，
.
由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.
所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
18．（12分）已知双曲线.
（1）求双曲线的两条渐近线的夹角的大小；
（2）设定点A(a，0)(a>0)，求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）双曲线C的两条渐近线方程是，
则它们的夹角是；
（2）设为双曲线上任意一点，则
，
二次函数的对称轴，定义域为
当，即时，当时，
当，即时，当时，
综上所述
19．（12分）如图，直线与抛物线相切于点.
（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.
【详解】
（1）直线与抛物线相切于点.
则，得，（
）
因为直线与抛物线相切，
所以，
解得.
（2）由（1）可知，故方程（
）即为，
解得，代入，得.
故点，
因为圆与抛物线的准线相切，
所以圆的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，
即，所以圆的方程为.
20．（2021·河南高二月考（理））已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，椭圆C的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P，若椭圆C上有两个点A，B使得的平分线垂直于坐标轴，且点B与点A的横坐标之差为，求直线AP的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意可得关于参数的方程，解之即可得到结果；
（Ⅱ）设直线AP的斜率为k，联立方程结合韦达定理可得A点坐标，同理可得B点坐标，结合横坐标之差为，可得直线方程.
【详解】
（Ⅰ）由抛物线方程可得焦点为，
则椭圆C的一个顶点为，即.
由，解得.
∴椭圆C的标准方程是；
（Ⅱ）由题可知点，
设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为，
设，，直线AP的方程为，即.
联立方程组
消去y得.
∵P，A为直线AP与椭圆C的交点，
∴，即.
把换成，得.
∴，解得，
当时，直线BP的方程为，经验证与椭圆C相切，不符合题意；
当时，直线BP的方程为，符合题意.
∴直线AP得方程为.
21．已知椭圆：（）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点。过椭圆右焦点作直线与椭圆交于、两点。
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程。
【解析】（1）四边形的面积为，∴，
又点在：上，则，
∴，，∴椭圆的方程为；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点，
①当直线无斜率时，直线的方程为，
则、，不成立，舍，
②当直线有斜率时，设直线方程为将，
代入椭圆方程，整理得，恒成立，
设、，则，，
又，
，
即，解得，
则直线的方程为：。
22．（12分）已知抛物线：（），直线与交于、两点，且，其中为坐标原点。
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为、，证明：为定值。
【解析】（1）联立方程组，消元得：，恒成立，
设、，∴，，
又，
∴，从而；
（2）∵，，∴，，
∴
，
又，，则，
即为定值。
