第一章
空间向量与立体几何
综合测试（一）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则（
）。
A、四点、、、必共面
B、四点、、、必共面
C、四点、、、必共面
D、五点、、、、必共面
【答案】B
【解析】由得：，可得四点、、、必共面，故选B。
2．设、是空间向量，则“”是“”的（
）。
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】取，则，∴，，∴，
故由推不出，
由，得，整理得，∴，
不一定能得出，故由推不出，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D。
3．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则（
）。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】，故选B。
4．（2020·福建省南安第一中学高三月考（文））若正四棱柱的体积为，，则直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B1（1，1，），C（0，1，0），D1（0，0，），
（0，1，），（0，﹣1，），
设直线AB1与CD1所成的角为θ，
则cosθ，又θ
∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°．
故选C．
5．（2020·安徽合肥一中高二月考（理））直三棱柱，中，，，．则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：
则，．
∴．
∴．
异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．
6．（2020·广东红岭中学高二期末）
与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据向量共线的定义，可知若与共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；
若AB∥CD，则与共线；
根据充分条件和必要条件的概念，可知与共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，
故选B
7．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则
（
）
A．
B．2:6
C．
D．
【答案】A
【详解】
如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故选：A
8．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设与所成角为，
则，
∴．
∴异面直线与所成的角为．
故选：A
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（2021·全国高二单元测试）在以下命题中，不正确的命题有（
）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
【答案】ABC
【解析】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；
必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设、、共面，
可设，
由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，
假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
10．（2021·江苏常州市）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对于A，由，，所以点P与A，B，C三点共面.
对于B，由，，所以点P与A，B，C三点共面.
对于C，由，，所以点P与A，B，C三点不共面.
对于D，由，得，而，所以点P与A，B，C三点不共面.
故选：AB
11．已知向量，，若，，则（
）。
A、
B、
C、
D、
【答案】AC
【解析】∵，∴，又∵，∴，
当时，则，当时，则，故选AC。
12．如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（
）。
A、直线与直线垂直
B、直线与平面平行
C、平面截正方体所得的截面面积为
D、点和点到平面的距离相等
【答案】BC
【解析】如图，以点为坐标原点，、、为，，轴建系，
则、、、、
、、，，
则、，则，
∴直线与直线不垂直，A错，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
则，，∴直线与平面平行，B对，
或取的中点，连接、，则、，
易证平面平面，∴直线与平面平行，B对，
如图，连接、，
易知四边形为平面截正方体所得的截面，
且、、共点于，，，
∴，则，C对，
，点到平面的距离，
，点到平面的距离，则，D对，
故选BC。
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2020·湖南高三月考（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.
【答案】
【解析】取CD的中点H，连接BH，EH.
依题意可得，.因为平面ABCD，所以，
从而平面ABCD，
所以BE与平面PCD所成角为，
且，则，则E为PC的中点.
在中，.
因为，，，
所以，所以.
将翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中，
当F为AE与PB的交点时，取得最小值，此时，.
故答案为：.
14．（2020·江苏启东中学高二期中）已知，若向量共面，则_________．
【答案】3
【解析】
试题分析：由于三个向量共面，所以存在实数，使得，即有，解得.
15．已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于
___________.
【答案】
【详解】
解：，，，，1，，
，，，
与垂直，
，
，
解得，，
，，
．
故答案为：.
16．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________．
【答案】
【详解】
取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，
如图所示，建立空间直角坐标系B-xyz，
则A，D(0，0，1)，C，
＝，
＝．
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令x＝2，z＝3，y＝0，
∴n＝(2，0，3)，
又为平面ABC的法向量，＝(0，0，1)，
∴cos〈n·〉＝＝．
∴平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为．
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量，
又＝，
∴cos〈〉＝－，
设AD与平面AA1C1C所成的角为α，
则sin
α＝|cos〈〉|＝．
故答案为：①；②.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（2021·全国高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
（Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为，
所以，
又因为，
所以，
所以，即有；
（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，
因为底面，平面，
所以，
因为，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
由，取，，，
所以平面的一个法向量为，
因为，
所以，所以平面平面.
18．（2021·河南高二月考（理））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】如图，以为原点，分别以方向为，
z轴方向建立空间直角坐标系.由题意，可得，
，
（1）显然，是平面的一个法向量，
，故，即.
又因为平面，
故直线//平面.
（2）设平面的一个法向量为，由，有
即不妨取，可得.
由已知可得.
同理可求平面的一个法向量为.
所以，，
因此.
所以，二面角的正弦值为.
19．（12分）如图所示，在长方体中，、，为中点，为中点。
（1）求证：平面；
（2）若线段上存在点使得，求直线与平面所成角的正弦值。
【解析】（1）在长方体中，以为原点如图建系，设，
则、、、、、、
、、、，
∴，、，
∴、，∴、，
又，平面，∴平面；
（2）设，设，则，
∴、，，∴，
又，∴，
∵，，
∴，解得，∴，
故、、，
设平面的法向量为，则，即，
则，令，解得，则，
设直线与平面所成角的平面角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为。
20．如图所示，在直四棱柱中，为上靠近点的三等分点。
（1）若为的中点，试在上找一点，使平面；
（2）若四边形是正方形，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值。
【解析】（1）当点为的中点时平面，证明如下：
连接，∵、分别为、的中点，∴，在直四棱柱中，，∴，∵平面，平面，∴平面
（2）以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为，，则、、，
则、，设为平面的法向量，
则，即，令，则、，即，
∵与平面所成角的正弦值为，且，
∴，解得，∴，
又平面的一个法向量为，
，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，则。
21．（2020·天津一中高三月考）菱形中，平面，，，
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，
【解析】建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
则，，，
，，.
（1）证明：，，
设为平面的法向量，
则，即，
可得，
又，可得，
又因为直线平面，所以直线平面；
（2），，，
设为平面的法向量，
则，即，可得，
设为平面的法向量，
则，即，可得，
所以，
所以二面角的正弦值为；
（3）设，则，
则，，
设为平面的法向量，
则，即，
可得，
由，得，
解得或（舍），所以.
22．（2020·广西高二期末（理））在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，，．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）线段或其延长线上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）以为坐标原点、方向为轴、方向为轴、方向为轴建立空间直角坐标系，
则点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
由，，，设平面的法向量为
由，取，则
故与平面所成角的正弦值．
（2）证明：设点的坐标为，则，
设平面的法向量为
由，取，则，
若平面平面，则，解得：，
故点在的延长线上，且．第一章
空间向量与立体几何
综合测试（一）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则（
）。
A、四点、、、必共面
B、四点、、、必共面
C、四点、、、必共面
D、五点、、、、必共面
2．设、是空间向量，则“”是“”的（
）。
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
3．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则（
）。
A、
B、
C、
D、
4．（2020·福建省南安第一中学高三月考（文））若正四棱柱的体积为，，则直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·安徽合肥一中高二月考（理））直三棱柱，中，，，．则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·广东红岭中学高二期末）
与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则
（
）
A．
B．2:6
C．
D．
8．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（2021·全国高二单元测试）在以下命题中，不正确的命题有（
）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
10．（2021·江苏常州市）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知向量，，若，，则（
）。
A、
B、
C、
D、
12．如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（
）。
A、直线与直线垂直
B、直线与平面平行
C、平面截正方体所得的截面面积为
D、点和点到平面的距离相等
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2020·湖南高三月考（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.
14．（2020·江苏启东中学高二期中）已知，若向量共面，则_________．
15．已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于
___________.
16．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（2021·全国高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面．
18．（2021·河南高二月考（理））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
19．（12分）如图所示，在长方体中，、，为中点，为中点。
（1）求证：平面；
（2）若线段上存在点使得，求直线与平面所成角的正弦值。
20．如图所示，在直四棱柱中，为上靠近点的三等分点。
（1）若为的中点，试在上找一点，使平面；
（2）若四边形是正方形，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值。
21．（2020·天津一中高三月考）菱形中，平面，，，
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.
22．（2020·广西高二期末（理））在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，，．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）线段或其延长线上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．
