北师大版八上数学 1.1.2验证并应用勾股定理课件（共20张）

(共20张PPT)
1.1
探索勾股定理
第2课时
验证并应用
勾股定理
第一章
勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
勾股定理的验证
勾股定理的应用
课时导入
复习提问
引出问题
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了
勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边
长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正
确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.
知识点
勾股定理的验证
知1－讲
感悟新知
1
做一做
为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形
适当割补后得到图2、图3.
图1
图2
图3
知1－讲
感悟新知
（1）
将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式
表示出来；
（2）
图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？
你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.
（3）
你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？
知1－讲
感悟新知
常用证法：验证勾股定理的方法有很多，有测量法、几何证明法，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证．
知1－讲
感悟新知
2．通过拼图证明勾股定理的思路：
(1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，
面积就不会改变；
(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3)利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系
→恒等变形→
推导命题结论．
知1－讲
感悟新知
议一议
观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，
b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为
c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理
正确性的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)说明勾股定理的正确性．
?
感悟新知
知1－练
例
1
感悟新知
知1－练
导引：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不
重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形．
解：方法一(补拼法)：(1)如图.
(2)因为大正方形的面积可以表示为(a＋b)2，
也可以表示为c2＋4×
ab，
所以(a＋b)2＝c2＋4×
ab，
a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab.
感悟新知
知1－练
所以a2＋b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方．
方法二(叠合法)：(1)如图.
(2)因为大正方形的面积可以表示为c2，
也可以表示为
ab×4＋(b－a)2，
所以c2＝
ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2.
所以a2＋b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
知1－讲
总
结
感悟新知
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关
系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，
补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证
的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、
梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证
的目的．
知识点
勾股定理的应用
知2－练
感悟新知
2
例2
我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一
辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得
汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能
帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：
根据题意，可以画出右图，
其中点A表示小王所在位置，点C、点B表示
两个时刻敌方汽车的位置.
感悟新知
知2－练
由于小王距离公路400m，因此∠C是直角，
这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，
也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离
为300×6×60=108000（m）,
即它行驶的速度为108km/h.
感悟新知
知2－练
1．勾股定理的应用范围:
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系.
利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题.
2．勾股定理应用的常见类型：
（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；
（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
（3）证明包含平方关系的几何问题；
（4）求解几何体表面上的最短路程问题；
（5）构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
感悟新知
知2－练
特别提醒
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1.从实际问题中抽象出几何图形；
2.
确定要求的线段所在的直角三角形；
3.
找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4.
求得结果.
〈实际应用题〉两棵树之间的距离为8
m，两棵树
的高度分别是8
m，2
m，一只小鸟从一棵树的树
顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少
米？
感悟新知
知2－练
例
3
导引：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直
角三角形，再利用勾股定理求解．
感悟新知
知2－练
解：根据题意画出示意图，如图所示，
两棵树的高度分别为AB＝8
m，CD＝2
m，
两棵树之间的距离BD＝8
m，
过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.
则BE＝CD＝2
m，EC＝BD＝8
m，
AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，
即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10
m.
答：这只小鸟至少要飞10
m．
课堂小结
勾股定理
　
用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
它一般都经过以下几个步骤：拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命
题结论．
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业