北师大版八上数学 1.3 勾股定理的应用 课件（共22张）

(共22张PPT)
第一章
勾股定理
1.3
勾股定理的应用
第一章
勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
利用勾股定理及直角三角形的判定求最值
勾股定理及直角三角形的判定的实际应用
课时导入
复习提问
引出问题
1、勾股定理的内容是什么？
2、勾股定理的逆定理是什么？
复
习
提
问
知识点
利用勾股定理及直角三角形的判定求最值
知1－讲
感悟新知
1
有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的
周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃
到上底面上与点A相对的点B处的食物，
沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）
自己做一个圆柱，尝试从点A到
点B沿圆柱侧面画出几条路线，
你觉得哪条路线最短呢？
如图所示，
知1－讲
感悟新知
将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点
A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧
面爬行的最短路程是多少？
（2）如图所示，
知1－讲
感悟新知
确定圆柱上的最短路线：
求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求
一个平面图形上对应线段的长.
其一般步骤：
（1）将圆柱的侧面展开为一个长方形；
（2）确定相应点的位置；
（3）连接相应点，构造直角三角形；
（4）利用勾股定理求解.
感悟新知
知1－练
例
1
如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12
cm，底
面周长为18
cm，在杯内壁离杯底4
cm的点C处
有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离
杯上沿4
cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂蜜
的最短路线长为________．
15
cm
感悟新知
知1－练
导引：
紧扣圆柱上最短路线的确定方法，确定路线，
再利用勾股定理求路线的长.
作CD⊥
FA
于D，
作A
关于EF
的对称点A′，
连接A′
C，与EF
交于B，连接AB，则A
→
B
→
C
为最短路线.
由题意知DC=9
cm，FD=8
cm，FA′
=4
cm，
在Rt
△
A′DC
中，A′C2=A′D2+DC2
=（FA′
+FD）2+DC2=（4+
8）2+92
=225=152，故A′C=15
cm.
因为AB+BC=A′B+BC=A′C，所以最短路线的长为15
cm.
解:
如图，
知识点
勾股定理及直角三角形的判定的实际应用
知2－讲
感悟新知
2
1.确定长方体上的最短路线:
求长方体（如图1）上A，B
两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式（如图2）.
图1
图2
感悟新知
知2－讲
（1）右侧面向前展开，
如图2
①，
此时AB2=（a+b）2
+
c2=a2+b2+c2+2ab.
（2）
上底面向前展开，
如图2
②，此时AB2=（c+b）2+
a2=a2+b2+c2+2bc.
（3）
上底面向左展开，
如图2
③，此时AB2=（a+c）2+
b2=a2+b2+c2+2ac.
通过对三种展开方式的分析，我们得到：
①当c
最大时，图2
①中AB
最短；
②当a
最大时，图2
②中AB
最短；
③当b
最大时，图2
③中AB
最短.
〈探究题〉如图，长方体的高为3
cm，底面是
正方形，其边长为2
cm.现有一只蚂蚁从A处出
发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最
短路线的长为(　　)
A．4
cm　　B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
感悟新知
知2－练
例2
B
感悟新知
知2－练
解：
考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况，
分类讨论求解．连接AC.
(2＋2)2＋32＝25；如图②，AC2＝22＋(3＋
2)2
＝29.因为29＞25，所以蚂蚁爬行的最短路线的
长为5
cm.
如图①，
AC
2＝
感悟新知
知2－练
做一做
李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别
垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，
边AB长是40cm,点B,D之间的距
离是50cm,边AD垂直于边AB吗?
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验
边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
感悟新知
知2－练
在解决一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，
要先结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是
把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作
直角三角形的一条边，然后利用勾股定理求解．
在日常生活中，判断一个角是否为直角，除了用三
角板、量角器等测量角度的工具判断外，还可以通
过测量长度，结合计算的方法来判断，其一般步骤
如下：
感悟新知
知2－练
（1）在要判断的角的两边上分别取两点，比如在∠C
的两边上分别取点A，B；
（2）测量出AC，BC，AB
的长度，比如AC=b，BC=a，
AB=c；
（3）验证a2+b2
与c2
是否具有相等关系，若c2=a2+b2，
则△
ABC
是直角三角形，且∠
C=90°；若c2
≠
a2+b2，
则∠
C
≠
90°
.
感悟新知
知2－练
特别提醒
在要判断的∠C的两边上选取A，B两点时，
最好取使AC，BC的长度是整数的点，这样可以大大加快计算的速度.
通过测量长度判定垂直的基本原理：
直角三角形的判定
方法.
感悟新知
知2－练
例
3
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，
则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度
CE=3m,
CD=1m,试求滑道AC的长.
感悟新知
知2－练
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2,
解得x=5.故滑道AC的长度为5m.
感悟新知
知2－练
例4
〈实际应用题〉假期中，小明和同学们到某海岛上
去探宝旅游，按照探宝图，他们在点A登陆后先
往东走8
km到达C处，又往北走了2
km，遇到障
碍后又往西走了3
km，再往
北走了6
km后往东拐，仅走了
1km就找到了藏宝点B，如
图，登陆点A到藏宝点B的
距离是________．
10km
感悟新知
知2－练
导引：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，连接AB，
则看图可以得出AD，BD的长度，在直角三角
形ABD中，AB为斜边，根据勾股定理计算出
AB的长即可．
课堂小结
勾股定理
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，
利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业