2 3二次函数与一元二次方程、不等式 （备课件）--2021-2022学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（23张PPT）

第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
人教A版2019高中数学必修第一册
函数、方程、不等式知识回顾
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
????=????+????
?
?
?
方程????+1=0的解为????=?1
?
?????
?
????
?
不等式????+1>0的解为????>?1
?
不等式????+1>1的解为????>0
?
函数、方程、不等式知识回顾
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
他们的联系又是怎样的呢？
????=????????????+????????+????
?
????????????+????????+????=????
?
????????????+????????+????>????
?
一元二次不等式的概念
【问题】园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种
植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大
于20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
【解】由题意设这个矩形的两条边长分别为????米和12?????米，则：
?
????12?????>20，其中????∈????0?
整理得????2?12????+20<0，????∈????0?
解得2?
即?????2?????10<0，?????2>0，?????10<0或?????2<0，?????10>0
?
一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，
称为一元二次不等式.它的一般形式是
????????????+????????+????>???? ， ????????????+????????+????????????????+????????+????≥????，????????????+????????+????≤????，
其中????，????，????都是常数且???? ≠0.
?
二次函数的零点
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
二次函数的零点
观察一下一元二次不等式????2?12????+20<0和二次函数????=????2?12????+20的
?
????>????
?
?????
????=????
?
关系.
一元二次不等式的解法
????????
?
????????
?
????????(????????)
?
两个不等实根????????，????????
????????+????????=?????????????(?????????
两个相等实根
????????=????????=?????????????
?
没有实数根
{????|????????????}
?
{????|????≠?????????????}
?
R
{????|?????????
?
?
【例题】求不等式????2?5????+6>0的解集.
?
【解】对于方程????2?5????+6=0，因为Δ>0，所以它有
两个实数根.解方程得????1=2,????2=3.画出函数
????=????2?5????+6的图像如图所示，
?
结合图像可知不等式????2?5????+6>0的解集为{????|????<2或????>3}
?
????
?
????
?
????
?
??????????????
?
????
?
一元二次不等式的应用
例题 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的
的摩托车数量????(单位:辆)与创造的价值????(单位:元)之间有如下的关系：
????=?20????2+2200????，若这家工厂希望在一个星期
内利用这条流水线创收60000元以上，则应该生产
摩托车多少辆？
?
【解】设一星期内生产摩托车????辆，由题意有：
?
?????????????????+????????????????????>????????????????????，整理得????2?110????+3000<0，
?
方程????2?110????+3000=0有两个实数根????1=50,????2=60.
?
结合图像可知????2?110????+3000<0的解集为
{????|50?
????
?
????
?
????
?
???????????????????????
?
一元二次不等式的应用
跟踪练习 某种汽车在水泥路面上的刹车距离????(单位:米)和汽车刹车前的速度????(单位: km/h)之间有如下关系:????=1180????2+120????.再一次交通
事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5米，那么
这辆车刹车前的速度至少为多少？
?
【解】根据题意得： 1180????2+120???? >39.5，整理得：
?
????????+?????????????????????????>????，方程????????+?????????????????????????=????有两个实数
根????1=?9?285212=?88， ????2=?9+285212=80，
?
结合图像可知????????+?????????????????????????>????的解集为
{????|????80}，即车速至少为80 km/h.
?
????
?
????
?
????
?
????????????????????????????????
?
练习①：解关于????的不等式2????2+????????+2>0.
?
【解】对于方程2????2+????????+2=0，Δ=????2?16=????+4?????4
?
【解含参数的一元二次不等式】
因为Δ的正负未知，故需要分类讨论：
?
①当????>4或????????1=14??????????2?16,????2=14?????+????2?16
?
所以原不等式的解集为{????|}????<14??????????2?16或????>14?????+????2?16
?
②当????=4时， Δ=0，方程2????2+????????+2=0有两个相等实根????1=????2=?1
?
所以原不等式的解集为{????|}????≠?1
?
练习①：解关于????的不等式2????2+????????+2>0.
?
【解】对于方程2????2+????????+2=0，Δ=????2?16=????+4?????4
?
【解含参数的一元二次不等式】
因为Δ的正负未知，故需要分类讨论：
?
③当????=?4时， Δ=0，2????2+????????+2=0有两个相等实根????1=????2=1,
?
④当?4?
所以原不等式的解集为R
所以原不等式的解集为{????|????≠1}
?
练习②：已知不等式????????2?????????+2<0的解集为{????|1?
【方法1】由题设条件知????>0，且1，2是方程????????2?????????+2=0的两实根.
?
【三个“二次”的关系】
由韦达定理知1+2=????????,1×2=2????,
?
解得????=1,????=3,
?
【方法2】把????= 1 ????=2，分别代入方程????????2?????????+2=0中，
?
得?????????+2=0,4?????2????+2=0,
?
解得????=1,????=3,
?
练习③：不论????取何值，不等式????????2?2????+?????2<0恒成立，求????的取值范围.
?
【解】因为不等式????????2?2????+?????2<0恒成立，即函数????=????????2?2????+?????2
的图像全部在????轴下方.
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【不等式恒成立的问题】
当????=0时，?2?????2<0，显然对任意????不能恒成立；
?
当????≠0时，由二次函数图像可知有????＜0,△=4?4????(?????2)＜0
?
解得????<1?2
?
综上可知，解得????的取值范围是{????|????<1?2}
?
THANKS
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