苏科版 八年级数学上册 3.2 勾股定理的逆定理 一课一练 试题（Word版 含答案）

3.2《勾股定理的逆定理》
一、选择题
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
2．适合下列条件的△ABC中,
直角三角形的个数为
①②，∠A=45°;③∠A=32°,
∠B=58°；
④⑤⑥
⑦⑹
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3.下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．
B．0.6，0.8，1.0
C．1，2，3
D．9，40，41
4.下列命题：①如果3、4、5为一组勾股数，那么3k、4k、5k仍是勾股数；②含有45°角的直角三角形的三边长之比是1∶1:；③如果一个三角形的三边是9，12，13，那么此三角形是直角三角形；④一个直角三角形的两边长是3和4，它的斜边是5．其中正确的个数是
(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
1.如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,
PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
2.如图，点，把线段分割成三条线段，和，若以，和为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．若，，则的长的平方为____．
3.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．
三、解答题
1.如图，，，，
，．
（1）试判断以点，，为顶点的三角形的形状，并说明理由；（2）求该图的面积．
2.如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，
CD=15m，AD=20m.（1）判断∠ADC是否是直角，并说明理由；（2）试求四边形草坪ABCD的面积.
3.下图是由边长为1的小正方形组成的网格．
（1）求四边形的面积（2）判断与的关系，并说明理由．
4.如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．
5.如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由．
6.在中，，，.设为最长边.当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
（1）当三边分别为6、8、9时，为______三角形；当三边分别为6、8、11时，为______三角形．
（2）猜想，当______时，为锐角三角形；当______时，为钝角三角形．
（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．
7.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是
AB上一点，且AF=AB．
求证：CE⊥EF．
8.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为、、.①判断三角形的形状，说明理由．②求这个三角形的面积．（直接写出答案）
9.（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　
　．
（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为　
　．
10.（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为　　　　．
（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．
（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．
11.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝　
°；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为　
．
12.在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
答案
一、选择题
1．B.
2．C.
3.D．
4.A
二、填空题
1.150°
2.5或13
3.13，84，85
三、解答题
1.
解：（1）连接，
由勾股定理可知，，
又，
是直角三角形
（2）该图的面积，，
．
答：该图的面积为24
．
2.（1）∠D是直角，理由如下：连接AC，
∵∠B=90°，AB=24m，BC=7m，
∴AC2=AB2+BC2=242+72=625，∴AC=25（m）．
又∵CD=15m，AD=20m，152+202=252，即AD2+DC2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，或∠D是直角；
（2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=234（m2）．
3.解：（1）由题意可知四边形ABCD的面积=大正方形的面积-四个小直角三角形的面积
（2）AD⊥CD，理由如下：，
∴AD2+DC2=AC2=25，∴△ADC是直角三角形，∴AD⊥CD，
4.解：∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15，
∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2．∴△ABD、△BDC是直角三角形．
∴∠A=90°，∠DBC=90°．故这个零件符合要求．
S四边形=+=114.
5.（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）解：结论△ABE是直角三角形．
理由：∵AB＝AD＝12，AE＝AC＝9，BE＝15，
∴AB2+AE2＝122+92＝225，BE2＝225，
∴AB2+AE2＝BE2，∴∠BAE＝90°，∴△BAE是直角三角形．
6.（1）锐角，钝角．（2），．
（3）为最长边，．
当，，即时，为锐角三角形；当，，即时，为直角三角形；当，，即时，为钝角三角形．
7.连接，
∵为正方形
∴，．
设
∵是的中点，且
∴，∴．
在中，由勾股定理可得
同理可得：
．
∵∴为直角三角形
∴
∴．
8.（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；
（2）如图所示：
∵DE=，EF=2，DF=，∴DE2+EF2=DF2，∴△DEF是直角三角形．
△DEF的面积=．
9.
[问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，
∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．
[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；
[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．
10.问题原型：如图1中，
，，
如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED=∠ACB=90°．
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=8．
∵S△BCDBC?DE，∴S△BCD=32．故答案为：32．
初步探究：△BCD的面积为a2．
理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．
∵S△BCDBC?DE，∴S△BCDa2；
简单应用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，BFBCa，∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF=DEa．
∵S△BCDBC?DE，∴S△BCD?a?aa2，∴△BCD的面积为a2．
11.解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．
在△ACE和△ABD中，
，∴△ACE≌△ABD（SAS）；
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；故答案为：90；
（2）①不发生变化．∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，
在△ACE和△ABD中
∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD＝45°
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°∴∠BCE的度数不变，为90°；
②∵BC＝3，CD＝6，∴BD＝9，∵△ACE≌△ABD，∴CE＝BD＝9，
在Rt△ECD中，=117，
在Rt△ADE中，∵AD=AE∴
=117，，
∴△ADE的面积＝；故答案为：.
12.解：（1）在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5
∴AC＝=3
（2）在Rt△DOA中，∠DOA＝900，∴OD2+OA2＝AD2
同理：OD2+OC2＝CD2
OB2+OC2＝BC2
OA2+OB2＝AB2
∵AB2+
CD2＝OA2+OB2+
OD2+OC2
AD2+
BC2＝OD2+OA2+
OB2+OC2
∴AB2+
CD2＝AD2+
BC2
（3）∵∠GBC=∠EBA=900
∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA
∴∠ABG=∠EBC
如图1，在△ABG和△EBC中
∴△ABG≌△EBC（SAS）
∴如图2，∠1＝∠2
，∠3＝∠4
∴∠5＝∠AIJ＝900
∴AG⊥CB
连接CG、AE，由（2）可知
AC2+GE2＝CG2+AE2
在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2
CG2＝42+42＝32
在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2
AE2＝52+52＝50
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2
52＝AC2+42
AC2＝9
∴AC2+GE2＝CG2+AE2
9+
GE2＝32+50
GE2＝73