人教版八年级数学上册试题 13.3 《等腰三角形与最短路径问题》一课一练（word版含答案）

《等腰三角形与最短路径问题》习题
一、选择题
1．列说法中正确的是(
)；
A．两个等边三角形全等；B．有一组对应边相等的两个等边三角形全等；
C．两个等腰三角形全等；D．有一组对应边相等的两个等腰三角形全等；
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为(
)
A．30°
B．40°
C．70°
D．80°
3．如图，直线，等边三角形的顶点、分别在直线和上，边与直线所夹的锐角为，则的度数为(
)
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
(1)△ABD≌△ACD；(2)AB＝AC；(3)∠B＝∠C；(4)AD是△ABC的一条角平分线．其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为(　　)
A．25°
B．35°
C．40°
D．50°
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是(
)
A．68°
B．112°
C．124°
D．146°
7．如图，在ABC中，AC＞BC，∠ACB为钝角．按下列步骤作图：
①在边BC、AB上，分别截取BD、BE，使BD＝BE；
②以点C为圆心，BD长为半径作圆弧，交边AC于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点G；
④作射线CG交边AB于点H．
下列说法不正确的是(　　)
A．∠ACH＝∠B
B．∠AHC＝∠ACB
C．∠CHB＝∠A+∠B
D．∠CHB＝∠HCB
8．如图，△ABC中，∠A=40°，AB=AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，且BD=CE，BE=CF，则∠DEF的度数是(　　)
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
9．如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点
C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中PC＝PD，CQ＝DQ，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①PCQ≌PDQ；②PQ⊥CD；③CE＝DE；④S四边形PCQD＝PQ?CD，其中正确的结论有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，△ABC的面积是1cm2，AD垂直于∠ABC的平分线BD于点D，连接DC，则与△BDC面积相等的图形是(
)
A．
B．
C．
D．
12．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为(　　)
A．40°
B．70°
C．40°或140°
D．70°或20°
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
14．如图所示，在中，是的平分线，于点，．给出下列结论：①是等腰三角形；②是等腰三角形；③；④．其中正确的是(
)
A．②③④
B．①②③④
C．②③
D．③
二、填空题
15．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连结CD，若
CD=
AC，∠A=50°，则∠B=________．
16．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC，AC
BC，C
90
，若点C(2，3)，A(2，6)，则点B的坐标是______．
17．如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．
18．如图，△ABC中，∠B=70°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为_____________．
三、解答题
19．命题：如果三角形一边上的中线与这条边所对内角的平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形．请自己画图，写出已知、求证，并对命题进行证明．
已知：如图，
求证：
证明：
20．如图，在中，于点于点相交于点．
试说明：(1)．
(2)．
21．中，，，的垂直平分线交于，为垂足，连结．
(1)求的度数；
(2)若，求长．
22．如图，在平面直角坐标系中：
(1)请画出关于y轴对称的，并写、点的坐标；
(2)直接写出的面积为_________________；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，请标出点P的在坐标轴上的位置．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
(1)若∠CAD=α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；(用含α的式子表示)
(2)求证：AC=FC．
24．如图1，在中，，，过点的直线垂直于线段所在的直线．设点，关于直线的对称点分别为点，
(1)在图1中画出关于直线对称的三角形．
(2)若，求的度数．(用表示)
(3)若点关于直线的对称点为，连接，．请写出、之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
25．已知：ABC为等边三角形．
(1)如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证：ABD≌BCE；
②求∠AFE的度数；
(2)如图2，点D为ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；
(3)如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
26．如图，ABC
中，AB
=
AC=2，∠B
=
40°，点
D
在线段
BC上运动(点D不与B，C重合)，连结AD，作∠ADE=40°，DE
交线段AC于E．
(1)当∠BAD=20°
时，∠EDC=
°；
(2)
请你回答：“当DC等于
时，ABD
DCE”，并把“DC等于
”作为已知条件，证明ABDDCE；
(3)在D点的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于
时，
ADE是等腰三角形．(直接写出结果，不写过程)
答案
一、选择题
1．B．2．A．3．C．4．D．5．B．6．B．7．D．8．B．9．D．
10．D．11．D．12．D．13．B.14．A．
二、填空题
15．．
16．(-1，3)或(5，3)．
17．66°
18．80°或140°或10°
三、解答题
19．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD平分∠BAC；
求证：AB=AC．
证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图所示：
则∠BED=∠CFD=90°，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
20．解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠DAC＋∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC＋∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AHE与△BCE中，
∵
∴△AEH≌△BEC，
(2)由△AEH≌△BEC得AH＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD．
21．解：(1)∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠ECD＝∠A＝36°；
(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠BEC，
∴BC＝CE＝5．
22．解：(1)如图所示：
B1(?2，?4)，C1(?4，?1)
；
(2)如图：面积为：；
(3)如图所示：点P即为所求点．
23．(1)①∵AD=AC，∠CAD=α，
∴∠BCA=(180°﹣α)=90°﹣，
②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠CAG=∠DAG=∠CAD=α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG=90°，
∴∠DCE=∠DAG=∠CAD=α，
即∠BCF=α；
(2)∵∠B=45°，AG⊥BC，
∴∠BAG=45°，
∵∠BAC=45°+∠CAG，∠AFC=45°+∠DCE，∠DCE=∠DAG，∠CAG=∠DAG，
∴∠BAC=∠AFC，
∴AC=FC．
24．(1)如图：
(2)解：∵，关于直线对称，
∴，，
∴，
∴，
又∵在中，，，
∴，
即；
(3)，，所成锐角为60°
∵，关于直线对称，
∴，，
∴，
∵
∴
在中，，
又∵，
∴．
∵点M、关于对称，
∴，，
∴，
∴∠4=，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
又∵由(2)得，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
即PA与PM所成角为60°.
25．(1)①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)．
②解：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
(2)解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，
∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，
∴△CDJ是等边三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，
∴∠BCJ＝∠ACD，
∵CB＝CA，
∴△BCJ≌△ACD(SAS)，
∴BJ＝AD，
∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．
(3)解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．
∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，
∴∠TCB＝∠DCA，
∴△TCB≌△DCA(SAS)，
∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，
∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD的最小值为1，最大值为5．
当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°．
26．解：(1)∵∠BAD=20°，∠B=40°，
∴∠ADC=60°，
∵∠ADE=40°，
∴∠EDC=20°．
(2)DC=AB=2时，
∵AB
=
AC=2，
∴∠B=∠C，
∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB，
∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE．
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE(AAS)；
(3)∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①若AD=AE时，则∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴△ADE不可能是等腰三角形；
②若DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=(180°-40°)=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
③若EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴当∠BAD=30°或60°时，△ADE是等腰三角形．