2.5
《二次函数与一元二次方程》习题1
一、选择题
1.抛物线y
=2
x2+3与两坐标轴的公共点个数为(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y>0成立的x的取值范围是(
)
A.x<-4或x>2
B.-4C.x<0或×>2
D.03.已知某二次函数的图象与轴相交于,两点.若该二次函数图象的对称轴是直线,且点的坐标是,则的长为(
)
A.5
B.8
C.10
D.11
4.已知函数的图象如图,那么关于x的方程的根的情况是
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个同号不等实数根
D.有两个异号实数根
5.已知抛物线y=x2﹣2x+1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2﹣2m+2010的值为(
)
A.2008
B.2009
C.2010
D.2011
6.如图,一次函数与二次函数交于和两点,则当时x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.或
7.已知函数,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
8.在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正实数,且满足b2=ac.设函数y1,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3,( )
A.若M1=2,M2=2,则M3=0
B.若M1=1,M2=0,则M3=0
C.若M1=0,M2=2,则M3=0
D.若M1=0,M2=0,则M3=0
9.下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值:
1
1.1
1.2
1.3
1.4
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程的一个近似根是(
)
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
10.已知抛物线的对称轴是,且(m为实数)在范围内有实数根,则m的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
11.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与y轴的一个交点坐标为(0,3),其部分图象如图所示,下列结论:①abc<0;②4a+c>0;③方程ax2+bx+c=3的两个根是x1=0,x2=2;④方程ax2+bx+c=0有一个实根大于2;⑤当x<0时,y随x增大而增大.其中结论正确的个数是(
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
12.二次函数y=(x﹣a)(x﹣b)﹣2,(a<b)的图象与x轴交点的横坐标为m,n,且m<n,则a,b,m,n的大小关系是( )
A.a<m<n<b
B.a<m<b<n
C.m<a<b<n
D.m<a<n<b
13.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,,有下列结论:①;②;③三次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b,则.其中,正确结论的个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
14.如图,抛物线(是常数,)与轴交于两点,顶点给出下列结论:①;②若在抛物线上,则;③关于的方程有实数解,则;④当时,为等腰直角三角形,其中正确的结论是(
)
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
二、填空题
15.抛物线与轴有两个交点,则原点左侧交点坐标为__________.
16.已知二次函数与一次函数图像交于,两点,则关于的不等式的解集为_______.
17.如图,二次函数的图象与轴交于点,与轴的一个交点为,点在抛物线上,且与点关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数的图象经过两点,根据图象,则满足不等式的的取值范围是_____________
18.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),顶点坐标为(1,n),则下列结论:
①2a+b<0;
②﹣1≤a≤﹣;
③对于任意实数m,a(m2﹣1)+b(m﹣1)≤0总成立;
④关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根.
其中结论正确的序号是_____.
三、解答题
19.已知函数y=x2+(m-3)x+1-2m(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
(2)不论m为何值,该函数的图像都会经过一个定点,求定点的坐标.
20.已知,二次函数的图象,如图所示,解决下列问题:
(1)关于的一元二次方程的解为;
(2)求出抛物线的解析式;
(3)为何值时.
21.已知抛物线C1:y=ax2﹣4ax﹣5(a>0).
(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;
(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.
22.已知二次函数自变量的值和它对应的函数值如下表所示:
…
0
1
2
3
…
…
3
0
0
…
(1)点M是该二次函数图象上一点,若点M纵坐标为8时,求点M的坐标;
(2)设该二次函数图象与轴的左交点为,它的顶点为,该图象上点的横坐标为4,求的面积.
23.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x﹣3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
24.如图,二次函数y=ax2+bx+4与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(﹣2,0),B点坐标为(8,0).
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)如果M为抛物线的顶点,连接CM、BM,求四边形COBM的面积.
25.(阅读理解)
我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值,此时的点称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数y=x-1的零点值,点(1,0)是函数y=x-1的零点.
(问题解决)
(1)已知函数,则它的零点坐标为________;
(2)若二次函数y=x2-2x+m有两个零点,则实数m的取值范围是________;
(3)已知二次函数的两个零点都是整数点,求整数k的值.
26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣2m+1与x轴交于点A,B.
(1)若AB=2,求m的值;
(2)过点P(0,2)作与x轴平行的直线,交抛物线于点M,N.当MN2时,求m的取值范围.
答案
一、选择题
1.B.2.B.3.C.4.C.5.B.6.D.7.D.8.B.9.C.
10.D.11.A.12.C.13.C.14.D
二、填空题
15.
16.
17.
18.②③.
三、解答题
19.(1)证明:令y=0,则x2+(m-3)x+1-2m=0.
因为a=1,b=m-3,c=1-2m,
所以b2-4ac=(m-3)2-4(1-2m)=m2+2m+5=(m+1)2+4>0.
所以方程有两个不相等的实数根.
所以不论m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
(2)解:y=x2+(m-3)x+1-2m=(x-2)m+x2-3x+1.
因为该函数的图像都会经过一个定点,
所以x-2=0,解得x=2.
当x=2时,y=-1.
所以该函数图像始终过定点(2,-1).
20.解:(1)观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点,
∴方程的解为x1=-1,x2=3,
故答案为:-1或3;
(2)设抛物线解析式为y=-(x-1)2+k,
∵抛物线与x轴交于点(3,0),
∴(3-1)2+k=0,
解得:k=4,
∴抛物线解析式为y=-(x-1)2+4,
即:抛物线解析式为y=-x2+2x+3;
(3)抛物线与x轴的交点(-1,0),(3,0),当y<0时,则函数的图象在x轴的下方,由函数的图象可知:x>3或x<-1;
21.(1)当a=1时,抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,
∴对称轴为x=2;
∴当y=0时,x﹣2=3或﹣3,即x=﹣1或5;
∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0)或(5,0);
(2)①抛物线C1解析式为:y=ax2﹣4ax﹣5,
整理得:y=ax(x﹣4)﹣5;
∵当ax(x﹣4)=0时,y恒定为﹣5;
∴抛物线C1一定经过两个定点(0,﹣5),(4,﹣5);
②这两个点连线为y=﹣5;
将抛物线C1沿y=﹣5翻折,得到抛物线C2,开口方向变了,但是对称轴没变;
∴抛物线C2解析式为:y=﹣ax2+4ax﹣5,
(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,
则x=2时,y=2或者﹣2;
当y=2时,2=﹣4a+8a﹣5,解得,a=;
当y=﹣2时,﹣2=﹣4a+8a﹣5,解得,a=;
∴a=或;
22.解:(1)根据二次函数图象的对称性,设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3),
∵点(0,3)是图象上一点,
∴a(0-1)(0-3)=3,解得:a=1,
∴二次函数的解析式为y=(x-1)(x-3),即y=x2-4x+3,
当y=8时,x2-4x+3=8,解得:x=-1或x=5.
∴点M的坐标是(-1,8)或(5,8);
(2)根据二次函数图象的对称性及已知表格可得点B、A、C的坐标是分别是(1,0)、(2,﹣1)、(4,3),
过B作BD⊥x轴,过C作CD⊥BD,垂足为D,过A作AE⊥BD,垂足为E,如图所示.
则D、E的坐标分别为(1,3)、(1,-1).
∴.
23.解:(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x﹣3,得0=a+4﹣3,解得:a=﹣1,
∴y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1,
∴A(2,1),
∵抛物线的对称轴是直线x=2,B、C两点关于直线x=2对称,
∴C(3,0),
∴当y>0时,1<x<3;
(2)∵D(0,﹣3),A(2,1),
∴点D平移到点A,抛物线应向右平移2个单位,再向上平移4个单位,
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣(x﹣4)2+5.
24.(1)∵二次函数与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(﹣2,0),B点坐标为(8,0),
∴,得,
即经过A,B,C三点的抛物线的解析式是;
(2)∵,
∴点C的坐标为(0,4),点M的坐标为(3,),
∴四边形COBM的面积是:,
即四边形COBM的面积是31.
25.
(1)令y=0,由得:x=3,所以零点坐标为
(3,0);
(2)因为当Δ﹥0时,方程x2-2x+m=0的有两个不相等的根,则函数有两个零点,由Δ=4-4m﹥0解得,所以数m的取值范围是m﹤1;
(3)解方程得:,
∴或.
∵函数的两个零点都是整数,是整数,
∴是整数,∴.
26.解:(1)抛物线y=mx2﹣2mx﹣2m+1的对称轴为直线.
∵点A、B关于直线x=1对称,AB=2
∴抛物线与x轴交于点A(0,0)、B(2,0),
将(0,0)代入y=mx2﹣2mx﹣2m+1中,
得﹣2m+1=0即;
(2)抛物线y=mx2﹣2mx﹣2m+1与x轴有两个交点,
∴△>0即(﹣2m)2﹣4m(﹣2m+1)>0,
解得:或,
①若,开口向上,
当MN≥2时,则有﹣2m+1≤2解得,
所以,可得;
②若m<0,开口向下,
当MN≥2时,则有﹣2m+1≥2
解得
所以可得,
综上所述m的取值范围为或.